XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020
ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ЛУНЫ
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Актуальность темы работы. Новое геометрическое понятие «фрактал» был введен Бенда Б. Мандельбротом для описания объектов и явлений, не имеющих определенного линейного размера. Характерной особенностью фрактального образования является то, что его структура выявляется только при совместном разделении нескольких уровней, разница масштабов которых затрудняет наглядное представление этой структуры и последовательное описание многих масштабных структур, непосредственные наблюдения которых затруднено, может быть достигнут в рамках фрактальной геометрии. В настоящее время нашло широкое применение фракталов в различных разделах математики, физики и астрофизики к описанию таких объектов и явлений, которые в своем воплощении опираются на математически определенный дробный показатель геометрической степени описываемых фрактальных эффектов. Кроме того, эти фрактальные объекты характеризуются иерархической соподчиненностью, самоподобием и масштабной инвариативностью. Для поверхности Луны характерна самоподобие поверхности и контуров кратеров и применения методов фрактальной геометрии для описания поверхности Луны позволяет предоставить новые возможности для ее анализа.
Цель работы заключается в рассмотрении сведений о фракталах и фрактальной геометрии и применение фрактальной геометрии для исследования поверхности Луны.
Выполнение поставленной цели требует выполнения следующих задач:
1. Привести представление о фракталах;
2. Навести представление о фрактальной геометрии;
3. Изучить понятие о геометрических сходства;
4. Исследовать фрактальную размерность распределения диаметров кратеров Луны.
Объектом исследования является Луна.
Предметом исследования является моделирование поверхности месяца с помощью аппарата фрактальной геометрии.
При реализации поставленных задач были использованы методы фрактальной геометрии, которые включают в себя: теоретические: анализ и синтез, что позволило выделить основные теоретические положения и направления исследования; эмпирические: интерпретационные методы, которые дают возможность обобщения и объяснения установленных фактов и их взаимосвязи.
Методологической основой выполненных исследований являются работы ученых: Горобец Ю.И., Кучко А.М., Вавилова И.Б. [1]; Мандельброт Б. Б. [2]; Шредер М. [3]; Ницин Д.А. [4]; Божокин С.В. [5]; Ванин В.В., Залевская А.В. [6-9,14]; Федер Б. [13].
Новизна работы заключается в теоретическом рассмотрении основ фрактальной геометрии и метода фрактальной аппроксимации.
Практическая ценность этой работы заключается в применении методов фрактальной геометрии для исследования поверхности Луны.
Фракталы.
В наше время нет однозначного определения «фрактала». Что же такое фрактал? Фрактал - это геометрическая фигура, в которой один и тот же фрагмент повторяется при каждом уменьшении масштаба [1]. Мандельброт предложил другое определение фрактала. Фрактал - это такое множество, которая имеет хаусдорфовую (или фрактальную) размерность, большую топологической [2].
В первом определении «фрактал» - это от латинского «fractus», что значит ломаный, в другом - от английского «fractional» - дробный.
Геометрическое понятие фрактал - был введен для описания объектов и явлений, не имеющих определенного линейного размера [3].
Чаще всего фракталы классифицируют по двум группам: математические фракталы, то есть такие, которые созданы учеными, и природные фрактальные объекты, в частности физические фракталы [1, с. 10] (рис.1). Среди математических фракталов выделяют детерминированы: геометрические (рис. 2) и алгебраические (рис.3) НЕ детерминированные (стохастические) (рис. 4). Мы дальше уделим внимание описанию свойств математических фракталов, проанализируем физические фракталы (кратеры Луны и его поверхность) с помощью методов фрактальной геометрии.
Рис.1 Физический фрактал Рис. 2 Геометрический фрактал
Рис. 3 Алгебраический фрактал - фрактал мандельброта
Рис. 4 Стохастический фрактал
Фрактальная геометрия
В прошлом математики концентрировали внимание на множествах и функциях, в которых можно применить методы классических вычислений. Функции, которые не являются достаточно гладкими и регулярными, часто игнорировались как «патологические» и такие, которые не стоят изучения. В последний годы отношение к негладким функциям (или нерегулярным множествам) изменилось, потому что нерегулярные функции (множества) обеспечивают значительно лучшее представление многих природных явлений, чем те, что дают объекты классической геометрии [1, с.11]. Примером могут быть геометрия траекторий частиц; линий тока в гидродинамике, волн и береговых линий; ландшафтов, гор, островов, рек, ледников и отложений; зерен в скалистых породах, металлах и композитных материалах; геометрическая структура кристаллов и прочее. Фрактальная геометрия навязана с изучением таких нерегулярных множеств [4-14].
В широком смысле фрактал означает геометрическую фигуру, которая имеет свойство самосходства, то есть состоит из частей каждая из которых подобна своей фигуре в целом. Геометрическое подобие - понятие, которое характеризует наличие в геометрических фигурах одинаковой формы независимо от их размеров. Две фигуры называются подобными, если между их точками можно установить взаимно однозначное соответствие, для которой отношение расстояний между любыми парами соответствующих точек равна одной и той же постоянной, что называется коэффициентом подобия. Геометрическое преобразование, при котором все фигуры переходят в подобные с тем же коэффициентом сходства, называется преобразованием подобия, или гомотетиею, или скейлингом [1, с.20].
Строгого и полного определения фрактала не существует. В работе «Фрактальная геометрия природы» Мандельброта дает такое объяснение: «Понятие фрактал я сформировал от латинского fractus. Соответствующий глагол frangere переводится как ломать, рушить, то есть создавать объекты неправильной формы» [4, стр.18]. В широком смысле фрактал означает геометрическую фигуру, которая имеет свойство самоподобия, то есть состоит из частей каждая из которых подобна всей фигуре в целом. Если каждая часть некоторой формы геометрически подобная целому, то и форма, и ее каскад называют самоподобными [2, стр.59].
Самоподобность означает, что у объекта нет характерного масштаба, то есть нельзя отличить снимок всего объекта от увеличенной копии любого его фрагмента. Множество G называется самоподобным, если его можно представить в виде объединения множеств Gi, каждая из которых подобна всему множеству со своим коэффициентом сходства ki и попарное пересечение множеств Gi - незначительно (пустое, либо значительно меньшее нежели сами множества).
Разделим отрезок прямой на N равных частей. Каждый из полученных отрезков можно считать копией всего отрезка, уменьшенного в δ раз. Тогда, N= δ1. Если квадрат разбить на N равных квадратов, каждый из которых является копией всего квадрата уменьшенного в δ раз, то соотношение будет выглядеть N= δ2. Аналогично, если куб разбить на N равных кубов, то N= δ3.
Топологическая размерность - это целая величина, характеризующая топологический объект: для линии = 1, для плоскости - = 2, для поверхности - Показатель степени в рассмотренных выше примерах совпадает с топологической размерностью объекта, который рассматривается. Итак, N= δ0.
Объекты, которые рассматривались имели целую размерность. Возможно, что при разбиении множества на N подмножеств без самопересечений, полученные масштабированием оригинала с коэффициентом δ, чтобы выражалось НЕ целым числом?
Да. Такие множества называют самоподобным фракталом, а величину - самоподобной размерностью.
N= δOs- степенная функция. Прологарифмуемо обе части равенства.
Получим, ;
(1)
Ограниченные множества точек, в частности отрезок прямой или прямоугольник на плоскости, не имеют трансляционной симметрии. Но применив скейлинг, например, к прямоугольнику, то есть изменив длины его сторон в г <1 раз, получим его уменьшенную копию. При этом новая множество точек I, которые образуют уменьшенный прямоугольник, является подмножеством множества точек I, которые образуют искомый прямоугольник. Применяя параллельный перенос, можно подобрать такое значение параметра r, при котором искомый прямоугольник будет полностью покрыт своими n-уменьшенными непересекающимися копиями. То есть прямоугольник является самоподобным с коэффициентом подобия r. Обобщая, можно утверждать, что множество I является самоподобным с коэффициентом подобия r. Например, для отрезка прямой единичной длины , где N- любое целое число. Для прямоугольника с единичными длинами сторон , для прямоугольного параллелепипеда с единичными длинами сторон .
В общем случае масштабное (скейлинговое) преобразование удовлетворяет такой формуле:
где параметр
(2)
называется размерностью подобия (самоподобия). Для прямых, плоскостей и кубов размерности подобия соответственно равны 1, 2 и 3.
Метод фрактальной аппроксимации
Под фрактальной аппроксимацией будем понимать аппроксимацию фрактального объекта детерминированным фракталом с указанной точностью. Метод фрактальной аппроксимации позволяет предоставить математическое описание объектам близких к фрактальных, что позволяет управлять динамическим процессом, который описывает среду, с помощью фрактальных свойств детерминированных фракталов. Это позволяет установить общей способ исследования динамических объектов в определенный момент времени. Для того, чтобы выполнить фрактальную аппроксимацию объекта, необходимо:
1 Определить фрактальную размерность исследуемой среды согласно алгоритму, предложенному в п. 2
2 Используя таблицу 1 определить детерминированы фракталы, которым соответствует заданная фрактальная размерность.
3 Определить точность аппроксимации каждым из фракталов, выбранных с помощью пункта 2.6
4 Сравнить точность аппроксимации с каждым фракталом и установить ближайший (точность аппроксимации наибольшая).
5 Провести аппроксимацию объекта детерминированным фракталом, точность аппроксимации с лучшей (по сравнению с найденными фракталами).
Под детерминированным фракталом будем понимать фракталы, что уже математически описаны и их свойства исследованы. Это могут быть как регулярные фракталы, так и стохастические. Соответствие некоторых фракталов и их фрактальной размерности приведем в таблице 1.
Таблиця 1
|
Детерминированный фрактал |
Приближенное значение фрактальной размерности детерминированного фрактала |
|
1 |
2 |
|
Множество Кантора |
0,6309 |
|
Снежинка Коха |
1,2618 |
|
Треугольник Серпинського |
1,5849 |
|
Ковер Серпинського |
1,8928 |
|
Губка Менгера |
2,7268 |
|
Кривая Пеано |
2 |
|
Кривая Госпера |
2 |
|
Лист Папороти |
0,3288-1,568 |
|
Множество Жюлиа |
В зависимости от количества итераций меняется от 1 до 3 |
|
Кривая Джузеппе Пеано |
1,5236 |
|
Логистическое отображение |
0,500+-0,005 |
|
Атрактор Лоренса |
2,05+-0,01 |
|
Кривая Гильберта |
2 |
|
Фрактал Теркотта |
2,585 |
|
Множество Мандельброта |
В зависимости от количества итераций меняется от 1.1 до 3 |
|
Агрегация клеток |
1,6-1,7 |
|
Организация нейронов |
1,2-1,5 |
|
Модель агрегации нейронов |
2,5 |
|
Треугольник «невода» |
1,944 |
|
Кривая Мандельброта-Гивена с ветвями |
1,89 |
|
Крива Мандельброта-Гивена без ветвей |
1,63 |
По мере исследований таблица дополняется фракталами, для которых установлена фрактальная размерность и изучены фрактальные свойства.
4. Фрактальная аппроксимация на примере кратера Луны
Рассмотрим переходные процессы на примере формообразования кратера Луны на базе его фазовых портретов. На следующих рисунках 5 и 6 изображены фазовые портреты кратера Луны. [9]
С рисунков 5 и 6 видно, что структура имеет свойство самоподобия, а, следовательно, имеем фрактальную структуру. Проведем фрактальную аппроксимацию объекта согласно методу, описанному в п. 2-3
Рис. 5 Фазовый портрет кратера Луны при формообразовании. Глубина сечения 75 метров.
Рис. 6 Фазовый портрет кратера Луны при формообразовании. Глубина сечения 55 метров.
Рассмотрим фрактальную аппроксимацию кратера Луны. Поверхность Луны не является идеально ровной, поэтому для ее исследования используем обобщенную фрактальную размерность для поверхности, что позволяет проводить исследования в целом.
Нахождение фрактальной размерности через подсчет пикселей предоставляет возможность установки приближенной фрактальной размерности не только поверхности кратера, но и его контура.
Было установлено, что для длины ячейки l = 145м фрактальная размерность поверхности кратера Луны является 2.137, а его контура 1.24.
Фрактальная аппроксимация поверхности кратера Луны и его контура предоставляет возможность для фрактального аппроксимирования его структуры, что позволяет применять математический аппарат фрактальной геометрии, для дальнейшего исследования структуры поверхности.
Итак, поверхность кратера Луны, а также сам контур аппроксимируем множествами Мандельброта соответствующей размерности. Для контура используем 2-модели изображения множества Мандельброта, для аппроксимации Кратера - 3-х мерное. Количество итераций для построения детерминированного фрактала выбираем исходя из их фрактальной размерности
Результат фрактальной аппроксимации изображено на рис. 7
Рис. 7 Фрактальная аппроксимация кратера Луны [9]
Таким образом математическое описание кратера может быть задан детерминированным фрак талом множеством Мандельброта, что задается итерационным законом:
Где с является комплексной переменной, а закон описывает скорость следования точки в бесконечность.
Кратеры Луны самоподобны, следовательно, большинство кратеров Луны описываются детерминированным фракталом - множеством Мандельброта. Разница заключается лишь в том, что меняется фрактальная размерность множества. Фрактальная размерность множества Мандельброта зависит от количества итераций, необходимых для построения данного фрактала.
Фрактальная размерность распределения диаметров кратеров Луны
Поверхность Луны, как известно, характеризуется наличием многочисленных кратеров различных диаметров, которым не свойственна определенная характеристическая длина (рис. 8).
Рис. 8 Кратеры Луны
Пусть вероятность того, что любой выбранный кратер имеет размер, больше, чем r, составляет Р (r). Эта вероятность связана с плотностью вероятности P (r) соотношением . Масштабная инвариантность типа (2) требует, чтобы при преобразовании r на λ • r для любого положительного значения λ для вероятности было справедливым соотношение Р(r) = Р(• r). Как было показано в п. 2, эта функция должна иметь степенную форму Р (r) =r-D.Что означает фрактальная размерность распределения диаметров кратеров на поверхности Луны? Например, вы наблюдаете кратеры с разрешением г, то есть кратеры с размерами, меньшими чем г, не выявляются. Количество наблюдаемых кратеров будет пропорциональной Р (r). С уменьшением разрешения вдвое (до2r) количество наблюдаемых кратеров уменьшится в 2D раз. [1 c.215]
Рассмотрим рис.9, на котором представлены распределение диаметров кратеров на Луне [15]. Нетрудно увидеть, что кумулятивная количество кратеров с диаметрами, большими нежели r, имеет степенную зависимость вида N(r) ос r-D, для которой фрактальная размерность D = 2,0.
Рис. 9 График распределения диаметров кратеров на Луне (в логарифмическом масштабе) [15]
Поскольку подавляющее большинство кратеров образовалась вследствие бомбардировки планет и Луны метеоритами или астероидами, следует ожидать, что распределение диаметров этих тел также будет фрактальным. Действительно, для метеоритов с массами, большими за 100 кг, распределение масс придерживается степенного закона с фрактальной размерностью D = 2,3 [15].
Как показано в [15], порядок величины фрактальной размерности для астероидов D = 2,1. Как и ожидалось, полученные величины фрактальных размерностей распределений кратеров (см. Рис.8), метеоритов и астероидов совпадают со значением фрактальной размерности распределения размеров обломков массивной каменной глыбы D = 2,0 [16], значение фрактальной размерности оказалось универсальным для распределения диаметров как кратеров Луны, так и Венеры, и Марса. Такое согласование фрактальных размерностей распределений может быть дополнительным подтверждением теории совместного формирования планет и астероидов Солнечной системы с планетозималей.
ВЫВОДЫ
В данной работе рассмотрены основные сведения о фракталах и фрактальной геометрии. Изучены понятия об основных геометрических сходствах. Рассмотрены алгоритмы нахождения фрактальной размерности, фрактальных объектов (множеств) и метода фрактальной аппроксимации.
Рассмотрена фрактальная аппроксимация на примере кратера Луны. Показано, что поверхность кратера Луны, а также сам контур аппроксимируем множествами Мандельброта соответствующей размерности.
Исследована фрактальная размерность распределения диаметров кратеров Луны. Полученные величины фрактальных размерностей распределений кратеров Луны и распределений метеоритов и астероидов совпадают. Значение фрактальной размерности оказалось универсальным для распределения диаметров как кратеров Луны, так и Венеры, и Марса. Такое согласование фрактальных размерностей распределений может быть дополнительным подтверждением теории совместного формирования планет и астероидов Солнечной системы с планетозималей.
Полученные в данной работе результаты могут быть использованы для фрактальной аппроксимации галактик и космических туманностей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Горобець Ю.И. Фрактальная геометрия в естествознании / Воробей Ю.И., Кучко А.М., Вавилова И.Б. - К.: Наукова думка, 2008. - 230 с.
2. Мандельброт Бенуа Б. Фрактальная геометрия природы / Мандельброт Бенуа Б. – М. : Институт компьютерных исследований, 2002. – 656 с.
3. Шредер М. Фракталы, хаос, Степенные законы / Шредер М. –Иржевск: НИЦ "РХД", 2001 –528 с.
4. Ницин А.Ю., Ницин Д.А. Фрактальная размерность группы объектов с разной фрактальной размерностью. / Ницин А.Ю., Ницин Д.А .// труда ТДАТУ. – Вип.4. Прикладная геометрия и инженерная графика. – Т.47 –Мелитополь: ТДАТН 2010–С. 36–43.
5. Божокин С.В. Фракталы и мультифракталы / Божокин С.В., Паршин Д.А. – Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 128 с.
6. Ванин В.В. Точность фрактальной аппроксимации структуры поверхностного слоя близкой к фрактальной / Ванин В.В., Залевская А.В. // Труды Таврического государственного агротехнологического университета: сб. наук. трудов. – Мелитополь: ТДАТУ, 2011. – Вып. 4: Прикладная геометрия и инженерная графика. – Т. 50. – С. 14–17.
7. Ванин В.В. Исследование точности фрактальной аппроксимации структуры деталей из композиционных материалов / Ванин В.В., Залевская А.В. // первый конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Прикладная геометрия, дизайн и инновационная деятельность»: тезисы доп. – М.: НТУУ «КПИ», 2012. – С. 7–9.
8. Ванин В.В. Моделирование процесса диагностики заболеваний аденомы ушной зоны методом фрактальной геометрии / Ванин В.В., Залевская А.В. // Научно-аналитический журнал «Научный обозреватель ». – Уфа, 2013. – № 10 (34). – С. 76–79.
9. Ванин В.В. Фрактальная размерность поверхности кратера Луны и его контура, его фрактальная аппроксимация / Ванин В.В., Залевская А.В. // Труда Таврического государственного агротехнологического университета: сб. наук. пр. – Мелитополь: ТДАТУ, 2012. – Вып. 4: Прикладная геометрия и инженерная графика. – Т. 53. – С. 18–22.
10. Дресвянников А.Ф. Фракталы и их прикладной аспект / Дресвянников А.Ф., Колпаков М.Е. – Казань: Казан. гос. технол. Ун–т., 2006. – 28 с.
11. Кроновер Р.X. Фракталы и хаос в динамических системах. основы теории / Кроновер Р.X. – М.: Посмаркет, 2000. – 352 с.
12. Ницин А.Ю., Ницин Д.А. Фрактальная размерность группы объектов с разной фрактальной размерностью. / Ницин А.Ю., Ницин Д.А .// труда ТДАТУ. – Вип.4. Прикладная геометрия и инженерная графика.–Т.47– Мелитополь: ТДАТН 2010–С. 36–43.
13. Федер Е. Фракталы / Федер Е. – М. Мир, 1991. – 260 с.
14. Ванин В.В. Описание устойчивых положений динамических систем средствами фрактальной аппроксимации / Ванин В.В., Залевская А.В. // Современные проблемы моделирования: сб. наук. трудов. - Мелитополь: МГПУ им. Б.Хмельницкого, 2015 – Вып. 4. – С. 18–21.
15. Mizutani H. The science of craters. – Tokyo Univ. Press, 1980.
16. Turcotte D.I. Fractals and chaos in geology and geophysics. – Cambridge Univ. Press, 1992. – 221 p.