Основные формулы теории вероятностей и математической статистики - Студенческий научный форум

XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Основные формулы теории вероятностей и математической статистики

Павлова Л.В. 1, Балобанова К.А. 1
1еи кфу
 Комментарии
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Мы живем в мире, где происходят разные случайные ситуации. Основы теории вероятности помогают человеку предугадать некие обстоятельства и выбрать наиболее верные решения. Путем наблюдения (испытаний, эксперементов) происходит познание явлений действительного мира.

Теория вероятностей- это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.( Данное определение было сформулировано лишь в 1929 году.)

История возникновения теории вероятности

Данный раздел математики можно считать молодым. Теория вероятности получила строгое обоснование только в 1929 году.

Основы теории вероятности начали формироваться в 17 веке. Стимулом возникновения сначала служили желание победить в азартных играх. Затем область применения начинает расширяться. На этом этапе вклад внесли Паскаль и Ферма.

Свойства вероятностей

Р(А) , так как Р(А)= ;m

P(A) , так как m, n>0

P(U) = 1, так как m=n

P(V)= 0, таккак m=0

P(A+ ) = P(A) + P( ) = 1 (A – противоположные события)

Рассмотрим основные понятия теории вероятности.

Испытаниесоздание некоторого комплекса условий, который мы по крайней мере в принципе, можем воспроизводить многократно.

Пример : стрельба по мишени, бросание монеты.

Событие событие, которое может произойти или не произойти в результате данного испытания.

Пример:попадание или промах, выпадение орла или решки.

Виды событий:

Достоверные (события, которые обязательно произойдут в результате данного испытания )

Невозможные ( события никогда не произойдут в результате данного испытания )

Несовместные ( два события, которые не могут появляться одновременно )

Совместные ( события, которые могут произойти одновременно )

Равновозможные ( если ни одно из событий не является объективно более возможным, чем другое )

Пространство элементарных исходов - множество, элементами которого являются все несовместные равновозможные исходы данного испытания. Обозначают « Ω ».

Случайная величина – переменная, значения которой представляют собой исходы какого-нибудь случайного феномена или эксперемента, то есть численное выражение результата случайного события. Обозначают « Х».

Существуют две категории случайной величины:

Дискретные случайные величины

Величина , которая в результате испытания может принимать определенные вероятностью, образующие счетное множество. Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.

Непрерывные случайные величины

Величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Количество значений непрерывной случайной величины - бесконечно

Математическое ожидание – распределенная вероятность случайной величины. Обозначается « М ( х )»

Дисперсия случайной величины – мера разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Обозначается « D »

D= M

x- случайные величины

М – математическое ожидание

Свойства дисперсии

2. .

3

4 Дисперсия суммы независимых случайных величин  равна сумме их дисперсий

.

5 Дисперсия разности двух случайных независимых величин равна сумме дисперсий этих величин

.

Основные формулы теории вероятности

Классическая вероятность Р( А ) = , где m-число благоприятствующих событию А исходов, n- число всех элементарных равновозможных исходов в испытании

Теорема о сложении вероятностей :А В

Р(А+В) = Р( А ) + Р( В ) – вероятность появления одного из двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А*В) - вероятность суммы совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Теорема об умножении вероятностей: А В

Р(АВ) = Р( А ) * Р( В\А) – вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место

Р(АВ) = Р( А ) * Р( В ) – вероятность произведения двух независимых событий равна произведнию вероятностей этих событий

Формула полной вероятности:

Р( А ) = , где , , …, - полная группа гипотез

Формулы комбинаторики:

Число перестановок: = n! = 1* 2 * 3 * … * (n-1)n

Число размещений: = n( n-1)* … *( n - m +1)

Число сочетаний: = =

Число перестановок с повторениями: ( , …, ) =

Число размещений с повторениями: = n * n * … * n =

Число сочетаний с повторениями: = =

Формула Байеса

P(|A) = = , где , , …, - полная группа гипотез

Формула Бернулли

= * * (1-p = * * , вероятность появления события ровно k раз в n независимых испытаниях, p – вероятность появления события при одном испытании

Приближенная формула Пауссона:

(k) = λ * , если число испытаний n велико, и при этом вероятность p наступления события в каждом испытании крайне мала, так что выполняется условие np . здесь лямбда= n*p обозначает среднее число появления события.

Рассмотрим несколько задач по теориям вероятностей:

1 Задание. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Решение.Имеем набор {я, я, г, г, г}. Всего перестановок пятиэлементного множества 5!, но мы не должны учитывать перестановки, в которых объекты одного типа меняются местами несколько раз, поэтому нужно поделить на возможное число таких перестановок: 2! · 3!. Получаем в итоге 5! 2! · 3! = 3 · 4 · 5 2 · 3 = 10.

Ответ: 10 способов.

2 задание. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После перемешивания из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5, 4, 3?

Решение: Обозначим через А событие «число на взятой карточке кратно 5». В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию А благоприятствую 6 исходов (числа 5, 10,15,20,25,30). Следовательно

Р(А)= 6/30= 0,2

Ответ: 0,2

3 Задача:  В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других только составом пар участников, т. е. представляет собой сочетания из 16 элементов по 2. Их число равно 

Ответ: 120

Использованная литература

Информио [ электронный ресурс ] URL: www.Informio.ru

Студопедия [ электронный ресурс ] URL: www.studopedia.su

Вся элементарная математика [ электронный ресурс ] URL: www.bymath.net

Википедия [ электронный ресурс ] URL: www.Wikipedia.org

Просмотров работы: 82