XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

В нечеткой математике [1] изучаются объекты самых разных типов, например, нечеткие числа, нечеткие точки, нечеткие отображения и отношения. Эти объекты, или элементы на основе некоторых свойств, которые описываются функциями принадлежности, объединяются в нечеткие совокупности или нечеткие множества [2-3]. Нечеткое множество можно рассматривать как объединение его составляющих одноточечных нечетких множеств, носители которых состоят из единственной точки [4-7]. При изложении теории одноточечных нечетких множеств и одноточечных нечетких чисел, в работах [2-5] введены в основу понятия четкого и нечеткого прямого произведения четких и нечетких множеств. Нам представляется, что изложение теории одноточечных нечетких чисел можно построить на трех элементарных понятиях: «нечеткое множество», «принадлежность» и «взаимно-однозначное соответствие», что в свою очередь с философской, логической и методологической точек зрения является более целесообразным, чем введение в основу этой теории прямого произведения множеств [7].

В данной работе мы предлагаем рассмотрение построения теории нечетких натуральных чисел на основе теории нечетких множеств.

В основе понятия нечеткого множества лежит представление того, что элементы, которые создают это множество и владеют общим свойством, могут обладать этим свойством в разной степени и, следовательно, принадлежат этому множеству с разной степенью [1-3].

Пусть Е-универсальное множество, х-элемент Е, а G-некоторое свойство. Обычное четкое подмножество А универсального множества Е, элементы которого имеют свойство Gпредставляет собой множество упорядоченных пар , где – характеристическая функция принадлежности, которая принимает значение 1, если xимеет свойства G, и 0-в противоположном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из Eнет однозначного ответа «нет» или «да» относительно свойства Gи нечеткое подмножество универсального множества Е представляет собой множество упорядоченных пар , где функция принадлежности, которая принимает значения некотором целиком упорядоченном множестве M(например, M=[0;1]) [1-3].

Дальнейшее рассмотрение построения основ теории нечетких натуральных чисел будем в основном проводить относительно конечных четких неправильных множеств (ЧНМ), то есть множеств, элементы которых имеют одно и тоже фиксированное значение функции принадлежности : и количеству элементов которых можно поставить в соответствие некоторое целое положительное число. ЧНМ будем обозначать символом [2]. Чтобы найти соответствующее число для непустого конечного множества , достаточно просто пересчитать все его элементы.

Если два конечных множества и , имеет одинаковое количество nэлементов, то они имеют одинаковую количественную характеристику n. Такие конечные множества будем называть равночисленными. Однако для того чтобы установить равночисленность или неравночисленность множеств и нет необходимости уметь считать, а достаточно установить взаимно-однозначное соответствие или отношение эквивалентности между элементами множеств и

Ранее мы говорили, что если в качестве простейших понятий использовать понятия «нечеткое множество», и «взаимно-однозначное соответствие», то можно построить теорию одноточечных натуральных чисел.

Покажем, как это можно сделать. Рассмотрим всевозможные одноэлементные ЧНМ (множества, состоящие из одного элемента), и объединим их в класс - класс одноэлементных ЧНМ. Несмотря на разновидность элементов, из которых могут состоять эти множества, все они, а, следовательно, и весь их класс, имеют одно общее, свойственное только этим множествам. Этим общим является их количественная характеристика, то есть их мощность.

Мощность множеств класса одноэлементных множеств ЧНМ назовем нечетким натуральным числом «нечеткая единица» с определенным значением функции принадлежности . Теперь рассмотрим все двухэлементные множества. Мощность множеств класса двухэлементных ЧНМ назовем одноточечным нечетким натуральным числом «два» с определенным значением функции принадлежности и так далее.

Вообще нечетким одноточечным натуральным числом назовем мощность множеств класса равночисленных множеств, которые определяются его зависимостью от значения функции принадлежности этих элементов к данному множеству [7].

Представим нечеткое натуральное число нечетким множеством , которое, в свою очередь, представляет собой объединение одноточечных нечетких множеств. Воспользуемся свойствами нечетких множеств относительно операции объединения [1-2].

Каждое непустое нечеткое множество в X можно представить в виде:

– нечеткое множество, которое складывается из тех , значений функции принадлежности для которых больше или рано α, а – при – ЧНМ в X, причем для всех . Таким образом, – это множество α–уровня с носителем .

Вообще дискретное и непрерывное нечеткое натуральное число можно определить равенством:

где – степень принадлежности множеству , характеризуемая функцией принадлежности , символ ∫ определяет объединение по всем ; символ означает, что степень принадлежностиx множеству равна .

Итак, например, имеем следующее представление для «нечеткого натурального числа 6»: .Непрерывное «нечеткое натуральное число 6» можно представить, например, гауссовым нечетким числом с функцией принадлежности:

Список литературы.

Раскин Л.Г. Серая О.В. Нечеткая математика. Основы теории. Приложения. – Х.: Парус, 2008. – 352 с.

Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Нечеткие графы и гиперграфы. – М.: Научный мир, 2005. – 256 с.

Новак В., Перфильева И., Мочкорж И. Математиеские принципы нечеткой логики / пер. с англ.: под ред. Аверкина А.Н. – М.: Физматлит, 2006. – 352 с.

Баришевський С.О. Основи теорії точкових нечітких множин // Праці: Таврійський державний агротехнологічний університет – Мелітополь: ТДАТУ, 2012. – Вип.4. – Т. 52. С.141 – 144.

Баришевський С.О. Точкові нечіткі множини та їх відображення. // Праці: Таврійський державний агротехнологічний університет – Мелітополь: ТДАТУ, 2012. – Вип.4. – Т. 54. – С. 3 – 8.

Баришевський С.О. Элементы теории нечетких множеств и развитие понятия нечетких систем. Международный журнал экспериментального образования. – 2015. - № 10 (часть 1) – С. 39-40.

Барышевский С.О. Развитие понятия однородного нечеткого натурального числа. // Сборник: Современные проблемы науки и образования. - 2018. – №1 – С. 68-69.

Код для цитирования: Скопировать