XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям.

В теории вероятностей первичными понятиями являются испытания и события. Пусть проводится некоторое испытание со случайным исходом. Множество всех возможных взаимоисключающих исходов данного испытания называется множеством элементарных событий. Совокупность всех элементарных событий называется достоверным событием. Всякое подмножество множества элементарных событий называется случайным событием.

Основные элементы комбинаторики

Комбинаторика — раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения k элементов из некоторого множества n элементов в соответствии с заданными правилами. Ниже будем рассматривать множества, состоящие из n различных элементов

Размещения

Это любое упорядоченное подмножество m из элементов множества n.

Перестановки

Если m=n, то эти размещения называются перестановками.

Сочетания

Это любое подмножество из m – элементов, которые принадлеңат множеству, состоящему из n – различных элементов.

Решение задач

Примеры на размещения:

Пример №1 Расписание дня состоит из 5 различных уроков. Определите число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Решение

Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом, так и порядком следования. поэтому:

Ответ:55440

Пример №2 Составить различные размещения по 2 из элементов множества {1,2,3}; подсчитать их число.

Решение

Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: (1;2) (1;3) (2;3) (2;1) (3;1) (3;2) Согласно формуле размещения их число: = 3×2 = 6.

Ответ: 6

Примеры на перестановки:

Пример №1 На книжной полке 4 тома романа «Война и Мир». Найти вероятность того, что на первом месте будет стоять 1 том.

Решение

Число перестановок четырех томов равно 4!=24.

3!=6

Из этих 24-х вариантов перестановок нас устраивает только 6.

Тогда искомая вероятность равна P=6:24=0.25

Ответ:0,25

Пример №2 Составить различные перестановки из элементов множества Е={2, 7, 8}; подсчитать их число.

Решение

Из элементов данного множества можно составить следующие перестановки: (2,7,8); (2,8,7); (7,2,8); (7,8,2); (8,2,7); (8,7,2). По формуле имеем:

= 3! = 1×2×3 = 6.

Ответ:6

Примеры на сочетания:

Пример №1 У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Решение

Имеем набор {я, я, г, г, г}. Всего перестановок пятиэлементного множества 5!, но мы не должны учитывать перестановки, в которых объекты одного типа меняются местами несколько раз, поэтому нужно поделить на возможное число таких перестановок: 2! · 3!. Получаем в итоге

Ответ: 10 способов.

Список используемых источников

Сапунцов, Н.Е. Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»: учеб. пособие / И.Э. Гамолина, Г.В. Куповых. Южный федеральный ун-т, Н.Е. Сапунцов .— Ростов н/Д. : Изд-во ЮФУ, 2017 .— 135 с. — ISBN 978-5-9275-2650-5 

"Сила знаний" [Электронный ресурс] URL: http://ya-znau.ru/znaniya/zn/80

"Студопедия" [Электронный ресурс]URL: https://studopedia.su/10_161443_elementi-kombinatoriki.html

Код для цитирования: Скопировать