XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Чтобы решить уравнение, его, как правило, преобразовывают, заменяя последовательно другими, более простыми. Этот процесс замены продолжают до тех пор, пока не получат уравнение, решения которого можно найти известным способом. Но чтобы эти решения были решениями заданного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получались уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называются равносильными. Уравнение – это математическое равенство с одной или несколькими неизвестными величинами. Для того чтобы решить самое простое линейное уравнение необходимо:

Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной – в другую.

Привести подобные слагаемые.

Разделить полученное уравнение на коэффициент при

Но помимо линейных уравнений, существуют множество других. Например, квадратное уравнение.

Квадратное уравнение - алгебраическое уравнение общего вида

где - неизвестное,

- коэффициенты, причём, не равен нулю.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент, .

Для нахождения корней квадратного уравнения существует множество способов. Одним из самых удобных является решение с помощью дискриминанта. Но также есть способ с использованием теоремы Виета. Он является более рациональным, но применяется, как правило, при решении приведённых квадратных уравнениях.

Франсуа Виет - крупнейший французский математик XVI века. Его иногда называют отцом современной буквенной алгебры, так как он много поработал над введением в алгебру буквенных обозначений. Им было установлена связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения. Также Виету принадлежат и другие научные заслуги. Например, такие как:

новый тригонометрический метод решения неприводимого кубического уравнения. виет применил его для решения древней задачи трисекции угла, которую свёл к кубическому уравнению;

первый пример бесконечного произведения, формула виета для приближения числа π;

полное аналитическое изложение теории уравнений первых четырёх степеней;

идея применения трансцендентных функций к решению алгебраических уравнений;

оригинальный метод приближённого решения алгебраических уравнений;

частичное решение задачи аполлония о построении круга, касающегося трёх данных, в сочинении apollonius gallus (1600). решение виета не подходит для случая внешних касаний.

Теорема Виета:

Сумма корней приведенного квадратного трехчлена равна его второму коэффициенту взятому с противоположным знаком, а произведение - свободному члену .

Пример. Найти корни уравнения по теореме Виета.

Решение. В соответствии с теоремой Виета, получаем, что

Методом подбора найдём корни уравнения

Ответ: ,

Существует и обратная теорема Виета.

Обратная теорема Виета:

Если числа и удовлетворяют соотношениям , , то они удовлетворяют квадратному уравнению , то есть являются его корнями.

Пример. Составьте квадратное уравнение, имея, что ,

Решение.

Тогда:

Ответ:

С данной теоремой мы знакомились ещё в школе, но также существует и обобщенная теорема Виета для решения уравнений высших степеней.

Число называется корнем многочлена , если при подстановке этого числа в многочлен вместо неизвестного многочлен принимает значение нуль, то есть

Теорема:

Пусть многочлен имеет коэффициентом при старшей степени неизвестного 1, то есть

и пусть – его корни. Тогда имеют место следующие формулы Виета:

Доказательство:

В указанных предположениях имеет место следующее разложение

Перемножая скобки, приводя подобные и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного, получим формулы Виета.

Для многочлена третьей степени , например, имеем:

Пример: Найти многочлен четвёртой степени

если известно, что он имеет простыми корнями числа 5 и -2 и двукратным корнем число 3.

Решение: По формулам Виета имеем:

Искомый многочлен равен:

Если старший коэффициент многочлена отличен от 1, то для применения формул Виета следует сначала все коэффициенты разделить на , что не повлияет на его корни!

Применение формул Виета является очень удобным способом решения алгебраических уравнений.

Список используемой литературы

Мир математических уравнений [Электронный ресурс]: – Режим доступа: http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/numtheory.htm

Биографии знаменитостей [Электронный ресурс]: – Режим доступа: http://biografiivsem.ru/viet-fransua

Код для цитирования: Скопировать