XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Одно из важнейших понятий математики является уравнение. Начиная с зарождения математики как науки были известны некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Решение уравнений было вызвано необходимостью решать задачи, связанные с измерением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также процветания астрономии и самой математики. В вавилонских тексах было освещено правило решения этих уравнений, оно соприкасается с решением уравнений в нынешнее время, хотя неизвестно как они смогли продумать это правило.

Многие мыслители своего времени рассматривали способы решения уравнений как квадратных, так и уравнений высших степеней. Одни из первых, кто выводил некоторые способы решения были арабы. Известный математик Ал-Хорезми в своей книге «Ал-Джабар» представлял многие способы решения всевозможных уравнений. Особенность уравнений заключалась в том, что Ал-Хорезми применял непростые радикалы для нахождения решения. Надобность таких уравнений была нужна для вопросов о разделение наследства.

Кроме арабов в Индии тоже решали квадратные уравнения. Индийский математик и астроном Ариабхатт в своем астрономическом трактате «Ариабхаттиам» составленном в 499 году расписал задачи относящиеся к квадратным уравнениям. Ещё один индийский ученый, Брахмагупта растолковал общее правило решения квадратных уравнений. Если сопоставлять правило Брахмагупта с правилом наших дней, то содержание совпадает. Индийцам нравилось устраивать соревнования в решении сложных задач. В старинных индийских книгах рассказывается о таких соревнованиях, в одной из книг говориться следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи» . Для условий задач часто использовалась стихотворная форма.

Древнегреческий математик Диофант Александрийский, в честь которого названы данные уравнения, пытался ответить на вопрос: «Дано уравнение с целыми коэффициентами. Имеет ли оно целые решения?".

Диофантовые уравнения – это уравнение с несколькими неизвестными, где коэффициенты целые числа, а неизвестные являются целыми или рациональными числами

Спустя некоторое время появилось большое разнообразие диофантовых уравнений, но не смотря на трудности нам необходимо уметь их решать. Поскольку они требуются для решения некоторых космических, астрономических задач, задач арифметической геометрии, молекулярной физики и органической химии при поиске оптимальных структур приводят к уравнениям, в результате неизвестные величины могут быть только целые числа.

Рассмотрим способы решения некоторых видов диофантовых уравнений высших степеней с двумя неизвестными.

Как известно, уравнение второй степени с двумя не известными

где может не иметь решений в целых числах, может иметь их только конечное число и, наконец, может иметь бесконечное множество таких решений, причём в последнем случае пары чисел, которые могут быть решениями уравнения первой степени. Это обстоятельство не случайно. Оказывается, что уравнения с двумя неизвестными степени выше второй, вообще говоря, могут иметь только конечное число решений в целых числах. Исключения из этого правила крайне редки. А. Туэ доказал, что уравнение

где имеет только конечное число решений в целых числах, за исключением, может быть, случаев, когда левая однородная часть этого уравнения есть степень однородного двучлена первой степени или трёхчлена второй степени. Метод А. Туэ даёт возможность найти границу для числа решений уравнения, правда, достаточно грубую. Для отдельных классов уравнений эта граница может быть значительно уточнена.

Например, Б.Н. Делоне показал, что уравнение при a целом может иметь, кроме тривиального не более одного решения в целых числах. Кроме того, он показал, что уравнение

может иметь, не более пяти решений в целых числах.

К. Зигель доказал, что уравнение где – неприводимый многочлен выше второй степени относительно x и y, может иметь бесконечное множество решений в целях числах только тогда, когда существуют числа

и

такие, что при подстановке в данное уравнение

получаются тождество относительно t. Здесь n – некоторое целое число.

Рассмотрим решение уравнения в целых числах.

Решение. Пусть – тройка чисел, удовлетворяющих условию задачи, тогда

Откуда следует, в частности, что то есть

Поскольку является квадратом целого числа , то равно либо 0, либо 1, либо 4, либо 9. Перепишем

в виде

Если , то Так как и целые числа, большие 1, а 37 – простое число, то последнее равенство выполняться не может, значит .

Если , то

Так как и то последнее равенство можно представить в виде совокупности двух систем:

либо

Вторая степень не имеет решений, а решением первой являются пары

Ответ:

Из всего вышеизложенного следует вывод о том, что данная тема разносторонняя и можно сказать безграничная. Не напрасно над ней трудились и трудятся ученые в процессе развития математики. Само решение уравнений высших степеней в целых числах очень занимательное, так как практически для каждого уравнения необходимо либо найти тривиальное решение, либо вывести формулу общего решения, либо доказать его неразрешимость. Однако единого способа решения данных видов уравнения не существует и тем самым появляются трудности их применения в реальной жизни, но чаще всего встречаются уравнения способы которых уже давно известны.

Список используемой литературы

Рыбников, К.А. История математики: учебник / К.А Рыбкин. – М.: Издательство Московский Государственный Университет, 1994. – 496 с.

Латанская, И.В. О решении диофантовых уравнений высших степеней / И.В. Латанская, С.А. Курманова. // Студенческий: электрон. научн. журн. 2019. – № 21(65). – URL: https://sibac.info/journal/student/65/145045 (дата обращения: 06.12.2019).

Серпинский, В.Ф. О решении уравнений в целых числах / Перевод с польского И.Г. Мельникова – М.: Физматлит, 1961 – 88 с.

Код для цитирования: Скопировать