XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Понятие тождества является важнейшим в математической теории. Рассматриваются тождественные преобразования выражений, алгебраических задач, для логарифмирования, решения уравнений, исследование функций и т.д.

Впервые тождества, обе части которого являлись квадратичными формами, доказывались в древности, с помощью геометрической алгебры. Вторая книга «Начал» Евклида содержит ряд алгебраических тождеств, сформулированных и доказанных геометрически.

Заметим, что когда надо подчеркнуть тождественность выражений в отличие от их равенства в уравнениях, часто используется математический знак «тождественно равно», введенного в 1857 году Бернхардом Риманом.

Тождества встречаются в области математической и теоретической физики, в геометрии, в алгебре и в математическом анализе.

Определение. Тождество – равенство двух аналитических выражений, справедливое для любых допустимых значений входящих в него букв.

Например, тождество, справедливое при всех положительных значениях и (если и отрицательны, то левая часть существует, но правая теряет смысл).

Определение.«Тождественное преобразование: 1) замена одного аналитического выражения другим, тождественно ему равным, но отличным по форме, 2) преобразование (отражение в себя) некоторого множества, оставляющее на месте каждый его элемент» [7, с.581].

Для тождественных преобразований можно использовать формулы сокращенного умножения, свойства степеней, свойства арифметических корней, свойства логарифмов и др.

Для доказательства тождеств применяются три основных приема:

1. Можно взять левую часть равенства, подлежащего доказательству, и преобразовать ее к правой части этого равенства или, наоборот, правую часть равенства преобразовать к левой части.

Пример 1. Доказать тождество:

Решение. Преобразуем правую часть равенства:

откуда заключаем, что правая часть равна левой части при любых значениях a и b, что и требовалось доказать.

2. Можно каждую из частей равенства, подлежащего доказательству, преобразовать к одному и тому же выражению.

Пример 2. Доказать тождество:

Решение. Преобразуем левую часть равенства:

Преобразуем правую часть равенства:

Обе части тождества преобразованы в одно и то же выражение. Следовательно, тождество доказано.

3. Можно доказать, что разность между левой и правой частями данного тождества равна нулю.

Пример 3. Доказать тождество:

Покажем, что разность между левой и правой частями данного тождества равна нулю.

Имеем:

Следовательно, тождество доказано.

Рассмотрим тождество, на котором применяются все три приёма:

Пример 4. Доказать тождество:

Докажем тождество 1 приёмом: возьмём левую часть равенства и преобразуем ее к правой части этого равенства.

Решение.

Преобразуем левую часть равенства:

откуда заключаем, что левая часть равна правой части при любых значениях a, b и x, что и требовалось доказать.

Докажем тождество 2 приёмом: каждую из частей равенства преобразуем к одному и тому же выражению.

Решение.

Преобразуем левую часть равенства:

Преобразуем правую часть равенства:

Обе части тождества преобразованы в одно и то же выражение. Следовательно, тождество доказано.

Докажем тождество 3 приёмом: покажем, что разность между левой и правой частями данного тождества равна нулю.

Решение.

Имеем:

Следовательно, тождество доказано.

Таким образом, рассмотрены основные приемы доказательства тождеств. Какой приём выбрать в данном конкретном случае, зависит от тождества, которое вам необходимо доказать, а также можно сделать вывод о рациональности использования разных приёмов.

Список использованных источников

1. Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. / Под ред. В.Н. Молодшего. - М.: Просвещение, 1964. - 376 с.

2. Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю.В.Прохорова. – М.: Советская энциклопедия, 1988.

3. Медынский М.М.. Полный курс элементарной математики в задачах и упражнениях. Книга 3: Тождественные преобразования выражений. – М.: Эдитус, 2015. - 256 с.

4. Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Алгебра и анализ элементарных функций: Справочное пособие / Оформл. А. Ярин. – 2 изд., перераб. и доп. – М.: АО «Столетие», 1996 – 736 с.

Код для цитирования: Скопировать