XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Математические обозначения начинают свои первые шаги из глубины веков. Сила и несокрушимость знаков, перед годами, кроется в их простоте и компактности. Проходит время. Многое забывается. Появляются более «важные» ценности. Из поколения в поколение передается только часть информации. Другая же часть остаётся для нас тайной. Поэтому не все знаки сохранились и известны ученым в современном мире. Математическим обозначениям не всегда устраивали тех, кто ими пользовался. Многие из-за своей формы или трудной записи остались в далеком прошлом. С помощью математических знаков, люди решали задачи, и люди же помогли знакам добраться до их вершины.

Математические обозначения представляют собой символы ёмкого содержания с глубоким смыслом, предназначенные для максимально короткой записи математических примеров и формул. За последние несколько столетий придумано большое количество таких символов. Прежде чем были придуманы простые символы, существовали письменные разъяснения каждому математическому действию, которые приходилось писать каждый раз, когда нужно было выполнить арифметическое действие. Тем самым даже простые примеры казались сложными, и только подготовленные люди моги справиться с подобными расчётами. Такие громоздкие математические действия можно заметить в «Началах» Евклида.

Накопленные столетиями и проверенные временем, математические символы образовали великий международный язык математических знаков. Этот язык понятен многим математикам мира. Можно сказать, что люди просто хотели облегчить себе работу в счёте, а также сделать счет доступнее для всего общества. Постепенно сокращая записи, год за годом, столетие за столетием, люди смогли уместить математическое действие в одном простом символе.

В любой цивилизации древнейшим из математических обозначений является запись чисел. По способу образования древние системы нумерации делятся на три типа.

Аддитивная (от лат. additio — сложение). Пример: римское число XXX, которое состоит из трёх римских символов «десять» и изображает значение 30.

Субтрактивная (от лат. subtractio — вычитание). Пример: римское число IX, где символ единицы стоит слева от десятки и поэтому вычитается из неё.

Мультипликативная (от лат. multiplicatio — умножение). Пример - китайская система записи чисел.

Позднее появилась позиционная система счисления, в которой числовое значение цифры зависит не только от самой цифры, но и от её позиции в записи числа. Знаки операций, отношения и другие символические обозначения также появились позже, первоначально алгоритмы и формулы излагались словесно.

Математики арабских стран в период примерно с VII по XIII век внесли свой вклад в развитие античных и индийских знаний. В числе прочего они переняли индийскую десятичную позиционную нумерацию и освоили десятичные дроби. Подробное описание десятичной арифметики опубликовал Аль-Каши в XV веке, но и тогда широкого распространения в исламском мире десятичные дроби не получили. Для отделения дробной части числа Аль-Каши использовал вертикальную черту или чернила другого цвета. Все формулы излагались словесно; исключением стали труды испано-мавританского математика Ал-Каласади (1486) и его учеников. Ал-Каласади придумал знаки для неизвестного, его квадрата, квадратного корня и знака равенства, однако распространения они не получили.

Начиная с XII века, античные и арабские труды стали проникать в Европу и переводиться на латинский язык. Одновременно, особенно в торговой среде, быстро распространяются индийские цифры и правила действий с ними. В первых сочинениях европейских математиков все формулы по-прежнему излагаются словесно. Первый набросок алгебраической символики дал Лука Пачоли, крупнейший алгебраист XV века.

Ещё один важный шаг сделала немецкая алгебраическая школа XV века, называвшая себя коссистами. В учебнике арифметики Иоганна Видмана (1489) символы сложения и вычитания Пачоли были заменены современными плюсом и минусом. Степени неизвестного коссисты обозначали комбинацией готических букв, эти «коссические знаки» получили некоторое распространение.

Спустя столетие после аль-Каши вышла книга Симона Стевина «Десятая» (1585), с которой начинается повсеместное применение десятичных дробей в Европе. Стевин для наглядности указывал над десятичными разрядами их номера в кружках. Этими же средствами он записывал алгебраические выражения; цифра в кружке обозначала номер переменной, перед ней, если надо, указывалась степень этой переменной: sec (квадрат) или ter (куб). В качестве знаков умножения и деления Стевин использовал буквы M и D соответственно. Стевин свободно использовал дробные показатели степени, также заключаемые им в кружки.

Из других устоявшихся обозначений, появившихся в XVI веке, можно назвать знак равенства (1557, Роберт Рекорд) и десятичную запятую (Джованни Маджини, 1592). Немецкий математик Кристоф Рудольф из школы коссистов заменил обозначение Пачоли для квадратного корня на современный знак радикала (1525). Необычная судьба постигла открытые в XVI веке комплексные числа — введенные поначалу как условные, бессодержательные символы, они два века спустя обрели ясный смысл и доказали огромную практическую пользу в качестве легального математического объекта.

В конце XVI века были опубликованы труды французского математика Франсуа Виета, произведшие революцию в алгебре. Виет поставил целью разработку нового языка, своего рода обобщённой арифметики, которая дала бы возможность проводить математические исследования с недостижимыми ранее глубиной, общностью и доказательной силой. В своих исследованиях Виет сразу решает задачи в общем виде и только потом приводит числовые примеры. Он обозначал буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты». До Виета обозначение буквенными символами операндов алгебраических законов и исходных данных уравнений эпизодически встречалось у Региомонтана, Кристофа Рудольфа, Адама Ризе, Джероламо Кардано и Михаэля Штифеля, но только Виет сумел верно оценить возможности такого подхода и положить его в основу своей алгебры.

Виет использовал для именования переменных только заглавные буквы – гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов. Из знаков операций он использовал три: плюс, минус и черту дроби для деления; умножение обозначалось латинским предлогом in. Вместо скобок он, следуя Шюке, надчёркивал сверху выделяемое выражение (в нескольких случаях Виет использовал фигурные скобки).

В XVII веке продолжателем дела создания символической алгебры после Виета стал английский математик Томас Хэрриот, его главный труд был издан посмертно в 1631 году. Хэрриот упростил символику Виета и сократил запись формул — вместо заглавных букв он использовал строчные, поддержал знак равенства Рекорда.

Свои усовершенствования ввели Альбер Жирар (1626) и Уильям Отред (1631). У Жирара появились круглые скобки и знак плюс-минус. Квадратный корень к этому времени уже имел очертания, похожие на современные; Жирар предложил записывать показатель кубического и других корней высоких степеней над знаком радикала, и эта конструкция осталась в математике.

Заслугой Отреда является введение следующих символов: знака умножения (косой крестик ×), знака деления (косая черта /}. Историки подсчитали, что Отред использовал около 150 различных математических обозначений, своих и чужих.

Алгебраическая символика Декарта почти полностью была принята последующими поколениями учёных, лишь необычный декартовский знак равенства, получивший некоторое распространение во Франции и Голландии, был заменён на более удачный символ Роберта Рекорда. Кроме того, были сняты ограничения на коэффициенты, значения которых Декарт считал по умолчанию всегда неотрицательными, а символы отрицательных величин он помечал спереди знаком «минус». Если знак коэффициента был неизвестен, Декарт ставил перед ним многоточие. Нидерландский математик Иоганн Худде уже в 1657 году позволил буквенным переменным принимать значения любого знака. В монографии Ньютона «Универсальная арифметика» (1707), выдержавшей пять переизданий, не считая переводов, используются обозначения Декарта и знак равенства Рекорда. Унификация алгебраических обозначений к концу XVII века в основном завершилась.

Леонард Эйлер, ведущий математик XVIII века, внёс значительный вклад в систему обозначений. Эйлер дал имена трём фундаментальным числовым объектам — для «числа Эйлера», для отношения длины окружности к её диаметру и i для мнимой единицы. У него появились также символ двойного интеграла по произвольной плоской области (1769), знак суммы (1755), Симон Люилье в 1787 году предложил один из важнейших символов анализа — обозначение предела, «шлифовка» которого разными математиками продолжалась до конца XIX века.

В XIX веке продолжалось формирование символики математического анализа. У Вейерштрасса в 1841 году появился символ абсолютной величины. Утвердилось современное оформление для границ определённого интеграла (Фурье, 1816), а также для криволинейного, поверхностного и объёмного интегралов. К концу века в основном утвердились стандартные обозначения для важнейших функций анализа.

В XIX веке появилось немало новых разделов математики, потребовавших разработки для них специфических удобных обозначений. В частности, в линейной алгебре возникло общепринятое оформление матриц, определителей и действий с ними. С этой деятельностью смыкается создание и начало широкого применения векторного исчисления и векторного анализа, что вызвало появление богатой символики для обозначения векторов, тензоров и операций с ними.

В XIX веке было положено начало длительной работе по формализации математической логики, которая была продолжена в XX веке. Первые символы, заменяющие союзы «следовательно» и «потому что», предложил Иоганн Ран ещё в XVII веке. Лейбниц в своих работах по основаниям математической логики не предложил какой-либо новой символики. Развёрнутые системы логических обозначений одновременно опубликовали английские математики Август де Морган и Джордж Буль в 1847 году. Символика де Моргана была далека от современной, местами громоздка, а Буль старался не изобретать новых символов (он использовал обычные арифметические знаки операций, которым придал логический смысл), но фактически он определил символы для базовых логических операций — конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Тем самым был создан первый набросок алгебры для логических объектов и разработаны правила логических преобразований.

В конце XIX века в трудах Георга Кантора появились первые символы теории множеств, они касались в основном мощности основных множеств математики и операций со знаками мощности. Новым идейным этапом в математической логике стали две монографии Готлоба Фреге (1879 и 1893 годы), но разработанная Фреге логическая символика была неудачной, и, кроме общих идей и «знака выводимости», мало что из неё осталось в науке. Почти одновременно вышли в свет работы Эрнста Шрёдера (1877 и 1890) и Джузеппе Пеано (1895 и 1897) с оригинальными символами, часть которых (в частности, квантор существования ∃, символы «содержит» ∋ и «содержится» ∈) остались в науке.

В работе 1895 года Пеано уверенно заявил: можно изменить форму обозначений, можно некоторые убрать и добавить другие, но «мы теперь в состоянии выразить все математические утверждения с помощью небольшого числа знаков, которые имеют точный смысл и подчиняются чётко определённым правилам».

В XX веке были стандартизованы обозначения для интервала вещественных чисел: (a,b). Во второй половине XX века обширная работа по созданию новой символики понадобилась при разработке языков программирования. Проблема в том, что алфавиты этих языков были основаны на кодировке символов ASCII (семи- или восьмибитной), которая не содержит многих оформительских средств, привычных в математике — в частности, в ней нет надстрочных и подстрочных символов, многих диакритических знаков, многих специальных символов (знак корня, плюс-минус) и т. п.

История математических обозначений началась с рождения первого математического символа. Для простоты счета у людей появлялась необходимость в создании цифр и арифметических операций. Все системы счисления требуют уважения. Каждая из них имеет преимущество перед другими. Наши предки трудились веками над созданием уникальных систем счисления. Благодаря уже созданным математическим трудам, современному человеку легче вести инженерные расчёты. Огромная точность в расчётах ведет к уменьшению несчастных случаев и предсказанию всех возможных вариантов событий.

Список использованных источников

1. Александрова, Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4 – Текст : электронный.

2. Рыбников, К.А. История математики / К.А. Рыбников. – Москва : Издательство Московского университета, 1960. – Т. 1. – 200 с. : ил. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=426810 (дата обращения: 27.11.2019). – Текст : электронный.

3. Цейтен, И.Г. История математики в Древности и в Средние века : [16+] / И.Г. Цейтен ; пер. с фр. П. Юшкевич. – Репр. изд. 1932 г. – Москва : Директ-Медиа, 2014. – 232 с. : ил. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=130690 (дата обращения: 27.11.2019). – ISBN 978-5-4458-1530-3. – Текст : электронный.

4. Попов, Г.Н. История математики : [16+] / Г.Н. Попов. – Стер. изд. 1920 г. – Москва : Директ-Медиа, 2014. – вып. I. – 237 с. – Режим доступа: по подписке. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=143955 (дата обращения: 27.11.2019). – ISBN 978-5-4458-2716-0. – Текст : электронный.

5. Полякова, Т. С. История математики. Период математики постоянных величин. Математика Древней Греции: Краткий очерк : учебное пособие / Т. С. Полякова. — Ростов-на-Дону, Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2018. — 102 c. — ISBN 978-5-9275-2903-2.— URL: http://www.iprbookshop.ru/87922.html (дата обращения: 27.11.2019).-– Текст : электронный.

Код для цитирования: Скопировать