XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Теорема Бойяи-Гервина занимала и занимает особое место в геометрии и математике в целом. Одна из самых распространенных и легких математических утверждений поможет решить массу задач и упростить ход решения многих задач.

У Яноша Бойяи, великого венгерского математика, занимавшегося параллельными прямыми и создавшего независимо от Гаусса и Лобачевского свою неэвклидову геометрию, отец Фаркаш тоже был математиком. Занимался он разными проблемами, иногда достаточно сложными и громоздкими, но вот одна теорема, хотя и касается при обобщении вещей сложных, сама по себе доказывается настолько просто и красиво, а теорема сама магическая и довольно интересная.

Теорема. Два любых равновеликих многоугольника равносоставлены.

Рассмотрим понятия равновеликие и равносоставленные фигуры.

Равновеликие фигуры — плоские фигуры одинаковой площади, а равносоставленные фигуры — фигуры, которые можно разрезать на одинаковое число соответственно равных частей. 

Идея доказательства теоремы довольно проста: сначала нужно показать, что любой многоугольник можно разрезать на треугольники. Затем треугольники превратить в параллелограммы. Наконец, показать, что равновеликие параллелограммы можно порезать нужным образом. 

Очевидно, что если из первого многоугольника можно, разрезая и складывая, построить второй, то от второго можно вернуться к первому, разбирая и собирая в обратном порядке. Очевидно также, что если из первого, разрезая и складывая, можно построить третий, и из второго, разрезая и складывая, можно построить третий, то и из первого (через третий, мысленно склеив фигуры от первого и разрезав на фигуры для второго) можно построить второй. Иначе вышеперечисленные свойства называются эквивалентностью и транзитивностью.

Докажем, что любой многоугольник можно представить с помощью разрезаний и складываний в виде прямоугольника с малой, наперёд заданной стороной.

Превратив каждый из составляющих многоугольник А треугольников в такой прямоугольник с заданной заранее стороной, и состыковав эти прямоугольники, получим один прямоугольник С с заданной стороной. Такой же результат получим и для многоугольника В. Полученные прямоугольники должны быть равны в силу равновеликости А и В. Но, если из А можно получить С, и из В можно получить С, то из А, проводя операции в обратном порядке от С, можно получить В. Теорема доказана.

Эту теорему можно пояснить так: если имеется пряник в форме многоугольника и многоугольная коробка совершенно другой формы, но той же площади, то можно так разрезать пряник на конечное число кусков, что удастся вложить в эту коробку.

Вариант этой задачи был предложен на одной из московских математических олимпиад в следующей шуточной форме.

Чудак-кондитер испек торт (а у торта, в отличие от пряника, верхняя сторона покрыта кремом) в форме разностороннего треугольника. Сделали и коробку к торту, но по недосмотру склеили ее неверно, так что торт и коробка оказались симметричными друг другу. Нужно (по возможности экономно) разрезать торт на части, которые удалось бы уложить в эту коробку. Разумеется, части торта нельзя укладывать кремом вниз (решение: на каждой стороне треугольника построим серединные перпендикуляры, точку пересечения которых соединим с вершинами треугольника. Получится три равнобедренных треугольника, которые можно уложить в коробку.). Доказательство теоремы основано на решении следующих трёх задач.

1. Разрежьте прямоугольник на части, из которых можно сложить квадрат.

2. Разрежьте треугольник на части, из которых можно сложить прямоугольник.

3. Разрежьте два квадрата на части, из которых можно сложить один квадрат.

Задачи на разрезание:

№1 Задание:

Разрежьте прямоугольник а*2а на такие части ,чтобы из них можно было составить квадрат

Решение:

1) Прямоугольник ABCD разрежем на три части по линиям MD и MC (M- середина AB)

2) Треугольник AMD переместим так, чтобы вершина M совместилась с вершиной C, катет AM переместится на отрезок DC.

Треугольник MBC переместим влево и вниз так, что катет MB на ложится на половину отрезка DC.

№2 Задание:

Разрезать квадрат на части так, чтобы из них можно было сложить два квадрата

Решение:

1) Обозначим исходный квадрат ABCD. Отметим середины сторон квадрата – точки M, N, K, H. Проведем отрезки MT, HE, KF, NP –части отрезков MC, HB, KA и ND соответственно.

Разрезав квадрат ABCD по проведенным линиям ,получим квадрат PTEF и четыре четырехугольника MDHT, HCKE, KBNE, NAMP.

2) PTEF- уже готовый квадрат. Из оставшихся четырехугольников составим второй квадрат.

3) Вершины A, B, C и D совместим в одну точку ,отрезки AM и BK, MD и KC , BN и CH, DH и AN совместятся. Точки P, T , E и F станут вершинами нового квадрата.

Таким образом, рассмотренная теорема имеет место быть в курсе школьной математики. Причина популярности в том, что формулировка утверждения проста и доступна .

Рассмотренные задачи на разрезание, в основе которых лежит теорема Бойяи-Гервина, применимы на занятиях по математике с целью развития пространственного мышления обучающихся.

Список используемых источников

В. Г. Болтянский, А. Н. Савин. Равновеликие и равносоставленные фигуры. — Гостехиздат, 1956. — 64 с. — (Популярные лекции по математике, Выпуск 22).

«Равновеликие и равносоставленные фигуры». Популярные лекции по математике. Выпуск 22. - М.: Государственное издательство Технико-теоретической литературы.1956.

«Разрезание и складывание многоугольников». – Учебно –методическая газета «Математика. 1 сентября», 3(2006).

И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевгин «Задачи на смекалку», М., «Просвещение»,2006

Код для цитирования: Скопировать