XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Последовательность Фибоначчи представляет собой ряд чисел, в котором каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел.

Данная последовательность была предложена Леонардо Пизанским («Фибоначчи» его прозвище). Он знал арабский язык. В арабском переводе Фибоначчи читал трактаты античных и индийских математиков. Эти трактаты в те времена без устали размножали в библиотеках Багдада. В своей “книге абака” Фибоначчи сообщил европейцам о десятичной системе счисления, которую арабы переняли у индийцев. Привычная и понятная нам позиционная система счисления, позволяющая для написания любого, сколь угодно большого числа, обойтись всего десятью цифрами, была для европейцев того времени откровением. До тех пор они пользовались римскими цифрами. При такой записи чисел даже сложение и вычитание превращались в хитроумные трюки, умножение же и деление были попросту высшим математическим пилотажем, не каждому доступным. В этой же книге Леонардо Пизанский описывает и свое собственное математическое изобретение — последовательность Фибоначчи.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377…

Формула:

U_n=U_n-1+U_n-2; при n>2.

Эта последовательность является решением одной из задач, которую мы сейчас рассмотрим. Задача помещена на стр. 123-124 рукописи 1228 года.

Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается? Природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения. Так как первая пара в первом месяце дает потомство, удвой, и в этом месяце окажутся 2 пары. Одна из них пара, а именно первая рождает и в следующем месяце, так что во втором месяце оказывается 3 пары, из них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство, так что в третьем месяце родятся еще 2 пары кроликов, и число пар кроликов в этом месяце достигнет 5, и так далее.

Перейдем к вычислениям:

Первая пара в первый месяц дала потомство – одну пару.

1)1+1 =2.

Первая пара снова рождает еще одну пару, и мы уже имеем 3 пары во второй месяц.

2)2+1=3.

В третьем месяце уже давать потомство будут две пары

3)3+2=5; 4)5+3=8; 5)8+5=13; 6)13+8=21; 7)21+13=34; 8)34+21=55; 9)55+34=89; 10)89+55=144; 11)144+89=233.

Посчитаем, сколько будет пар в двенадцатом месяце.

12)233+144= 377.

В двенадцатом месяце будет 377 пар кроликов.

Рассмотрим интересные свойства чисел Фибоначчи:

1) Если прибавлять числа в последовательности Фибоначчи до определенного момента, то сумма предшествующих ей чисел, кроме последнего, будет меньше ее самой на единицу.

Пример 1. Сложим первые 5 элементов последовательности:

1+1+2+3+5=12

Шестой элемент последовательности будет равен 8. Седьмой элемент равен 13. Сумма предшествующих чисел (кроме 8) действительно меньше седьмого элемента на единицу:

13-12=1

Пример 2. Сложим первые 7 элементов последовательности:

1+1+2+3+5+8+13=33

Девятый элемент равен 34. Делаем проверку, и делаем выводы о том, что свойство имеет свою силу.

34-31=1

Тогда можно вывести формулу данного свойства:

U₁+U₂+…+U_n=U_n+2 -1

2) Если сложить числа Фибоначчи с нечетными номерами, то мы получим следующее число, стоящее после последнего слагаемого.

Формула:

U₁+U₃+U₅+...+U_2n-1 = U_2n

Пример 1. Сложим 1-й, 3-й, 5-й, и 7-й элемент:

1+2+5+13=21

Тогда в ответе мы получим 8-й элемент.

Пример 2. Сложим 1-й, 3-й, 5-й, 7-й, и 9-й элемент:

1+2+5+13+34=55

Получаем 10-й элемент.

Если:

U₁=U₂

U₃=U₄-U₂

U₅=U₆-U₄

…

То свойство приобретает новую формулу:

U_2n-1=U_2n-U_2n-2

3) Если выразить пропорцию, которую рассмотрим в четвертом пункте, геометрически, то прямоугольники, длины сторон которых равны числам Фибоначчи, соотносятся между собой, образуя т. н. «золотую» спираль.

Задолго до того, как люди проявили интерес к подобным математическим соотношениям, закономерности Фибоначчи были отражены в строении растений. Листья или почки, имеющие спиралеобразную структуру, - например, ананасы, подсолнухи или артишоки – геометрически проявляют соотношение между парами следующих друг за другом чисел Фибоначчи.

4) Соотношение чисел U_n-2 и U_n-1 при n>2 будет стремится к «золотой» пропорции ȹ ≈ 1,618.

Пример 1. Вычислим соотношение 4-го и 3-го элемента:

3:2=1,5

Пример 2. Вычислим соотношение 7-го и 6-го элемента:

13:8=1,625

Пример 3. Вычислим соотношение 9-го и 8-го элемента:

34:21≈1,619

Из этих примеров видно, что действительно такое соотношение чисел U_n-2 и U_n-1 при n>2 стремится к числу ȹ.

Таинственное число Фибоначчи, равное 1,618, будоражит умы ученых уже на протяжении нескольких тысячелетий. И когда появляется один вопрос, мы пытаемся найти на него ответ, тогда появляется еще один вопрос, который нужно решить. Если ответ найдется, то появляются еще два вопроса. И при их решении опять появляются вопросы, только уже три. И если решены три вопроса, тогда появляется пять вопросов, и так при решении вопросов появляются еще восемь, затем тринадцать...

Список используемых источников

1) Воробьев, Н.Н. Числа Фибоначчи / Н.Н. Воробьев ; ред. В.В. Донченко. – Изд. 4-е, доп. – Москва : Наука, 1978. – 144 с. : ил. – (Популярные лекции по математике). – Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=446168

2) Математика: 50 величайших теорий математики, по 30 секунд на каждую : [12+] / пер. с англ. И. Карнаушко. – Москва : Издательство «Рипол-Классик», 2014. – 160 с. : ил. – (За 30 секунд). – Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=362744

3) Код жизни. Что такое последовательность Фибоначчи? – Режим доступа: https://zen.yandex.ru/media/id/5ae194d5bcf1bc97d58f4283/kod-jizni-chto-takoe-posledovatelnost-fibonachchi-5b18d549e44a9449cc6a1f8f

4) Леонардо Пизанский. Что придумал счастливчик? – Режим доступа: https://shkolazhizni.ru/world/articles/91091/

5) Число Фибоначчи. Почему оно так популярно в природе? – Режим доступа: https://yandex.ru/turbo?text=https%3A%2F%2Fhi-news.ru%2Fscience%2Fchislo-fibonachchi-pochemu-ono-tak-populyarno-v-prirode.html

Код для цитирования: Скопировать