XII Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2020

Математические модели деталей и процессов на микроуровне отражают физические процессы, протекающие в сплошных средах и непрерывном времени.

 

Независимыми переменными в этих моделях являются пространственные координаты и время. В качестве зависимых переменных выступают фазовые переменные, такие как потенциалы, напряженности полей, концентрации частиц, деформации и т. п. Взаимосвязи переменных выражаются с помощью уравнений математической физики — интегральных, интегро-дифференциальных или дифференциальных уравнений в частных производных. Эти уравнения составляют основу ММ на микроуровне.

Система дифференциальных уравнений, как правило, известна (уравнения Ламе для механики упругих сред; уравнения Навье-Стокса для гидравлики; уравнения теплопроводности для термодинамики и т.д.), но точное решение ее удается получить лишь для частных случаев, поэтому первая задача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближенной дискретной модели. Для этого используются методы конечных разностей и интегральных граничных уравнений, одним из вариантов последнего является метод граничных элементов.

Ключевые слова: математическая модель, уравнение, инженерный анализ, solidworks, CAD, CAE, управление, исследование, анализ, критерий.

Условия задания

Построить эпюры продольных сил и напряжений для стержня, показанного на рисунке 1, с помощью метода конечных элементов.

Рисунок 1 – Расчетная схема стержня

Таблица 1

Исходные данные к задаче

№ вар.	d, мм	P, кН	l1, м	l2, м	l3, м
5	55	520, слева к узлу 3	1,4	0,7	1,15

Решение задачи

Основываясь на закон Гука ( = E), пишем матрицу жёсткости конечного элемента:

, (1)

где:

,

l – длина рассматриваемого элемента;

|D| – матрица упругости (связывает между собой напряжения и

деформации);

E – модуль упругости при растяжении, МПа;

F – площадь поперечного сечения, м².

После интегрирования и преобразований, имеем:

, (2)

На основании имеющихся формул вычисляем матрицу жёсткости каждого элемента:

,

,

,

Теперь формируем матрицу жёсткости конструкции. Так как имеем четыре узла, а каждый узел имеет одну степень свободы, то размерность матрицыжёсткости равна 4х4.

Коэффициенты в одной и той же ячейке складываются алгебраически.

В правом столбце ставятся величины действующих нагрузок в соответствующих узлах.

В данном случае сила приложена в третьем узле влево, следовательно, в

правом столбце в третьей строке записываем 520:

,

Учитываем граничные условия: так как стержень по концам защемлён, то

U₁ =0, U₂ = 0. На основании этого вычёркиваем первый и четвёртый столбцы и строки. После этого получим:

,

откуда:

U₂ = 0,8U₃

Подставив во вторую строку, имеем:

.

Решив уравнения получаем:

, .

Определяем величины продольных сил:

Далее находим площадь стержня:

Разделив на каждом участке продольную силу на площадь, получим величину напряжений:

Рисунок 2 – Эпюра напряжений и продольной силы

При помощи МКЭ построим эпюры продольных сил и напряжений для стержня в програмном комплексе SolidWorks.

Для расчета необходимо иметь твердотельную модель стержня. В CAD системе SolidWorks построим 3D модель стержня.

Рисунок 3 – 3D модель стержня

На панели «Simulation» выбрать «Новое исследование». В окне выбора исследование выбрать «Статический расчет».

Рисунок 4 – Выбор исследование

Зададим материал. В дереве построения щелкнуть ПКМ на строку «Материал детали», в контекстном меню выбрать «Простую углеродистую сталь».

Рисунок 5 – Выбор материала

В дереве исследование выбрать строку «Крепление». В контекстном меню выбрать «Зафиксированная геометрия».

Рисунок 6 – Выбор крепление

В качестве крепления выбрать две торцевые грани стержня.

Рисунок 7 – Выбор граней для крепления

Создадим плоскость. На панели «Элементы» выбрать команду «Плоскость». Задать расстояние - 2100 мм от левого торца стержня.

Рисунок 8 – Создание плоскости

Выбрать команду «Линия разъема» на панели «Элементы». В окне выбора пересечений выделим цилиндрическую грань стержня и созданную плоскость.

Рисунок 9 – Разделение грани

Назначим нагрузки. Щелкнуть ПКМ на строку «Внешние нагрузки». Выбрать строку «Дистанционная нагрузка».

Рисунок 10 – Выбор нагрузки

Выделить левую часть разделенной цилиндрической грани. Во вкладке «Местоположение» написать расстояние – 2100 мм по оси Z. Во вкладке «Сила» написать величину силы равной 520 Н по оси Z.

Рисунок 11 – Приложение силы

В дереве исследование щелкнуть ПКМ на строку «Сетка». В контекстном меню выбрать «Создать сетку». Создадим сетку по умолчанию.

Рисунок 12 – Создание сетки

На панели «Simulation» выбрать команду «Запустить это исследование».

Рисунок 13 – Запуск исследование

Результаты расчета.

Рисунок 14 – Эпюра напряжений

Рисунок 15 – Эпюра перемещений

Рисунок 16 – Эпюра деформаций

Вывод

В данной лабораторной работе аналитическим методом получены следующие значения:

;

;

;

С помощью МКЭ в программном комплексе SolidWorks Simulation получены следующие значения:

;

;

Аналитический расчет совпадает с приведенным расчетом в SolidWorks Simulation.

Список использованной литературы

Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. - 496 с.

http://www.soprotmat.ru/rast1.htm

http://www.dgma.donetsk.ua/metod/texmex/mke/uch_posob.pdf

Код для цитирования: Скопировать