XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Данное исследование появилось в результате того, что один из соавторов статьи (Часов К.В.) практически каждый год во время изучения понятий матриц, определителей, систем линейных уравнений и т.п. демонстрирует работы своих студентов по проблеме, связанной с вырожденностью квадратных матриц, заполняемых соответствующими отрезками числовых прогрессий. ([1] – [9])

Заинтересовавшись полученными результатами, другой автор статьи (Ефимов В.С.) также повёл собственное исследование, подтвердившее полученные ранее выводы. Но этим мы не ограничились – были получены и новые результаты.

Приведём результаты наших исследований рассматриваемого свойства для арифметических прогрессий, члены которых последовательно заносятся в квадратные матрицы соответствующих размеров. С этой целью мы рассмотрели все публикации [1] – [9] и полученные в них результаты. В одной из работ ([1]) авторы (из которых Часов К.В. является соавтором статьи) установили, кроме всего прочего, интересное свойство для определителя 3-го порядка, в котором построчно записаны последовательные значенияарифметических и геометрических прогрессий, а в разных строках отрезки из разных их частей. Нами установлено, что это свойство имеет место и для квадратных матриц большей размерности. Причём не только размерностью 4×4, как на рисунке 1. Очевидно, что исходная матрица А (рисунок 1, а)) претерпела следующие преобразования:

а) б) в)

Рисунок 1 – Вычисление определителя матрицы размерности 4×4:

а) исходная матрица А;

б) изменены две строки: 2-я – заменена отрезком возрастающей арифметической прогрессии, 4-я – членами последовательности чисел Фибоначчи;

в) 2-й и 3-й столбцы заменены соответственно членами последовательности чисел Фибоначчи и отрезком возрастающей арифметической прогрессии

Был поставлен вопрос: сохранится ли вырожденность, если в матрице с возрастающими членами заменить две строки (как на рисунке 1, б)) или два столбца (как на рисунке 1, в)) членами различных убывающих арифметических прогрессий с различными разностями (рисунок 2).

а) б)

Рисунок 2 – Вычисление определителя матрицы размерности 4×4:

а) изменены две строки исходной матрицы А;

б) изменены два столбца.

Как видим, матрицы имеют определитель равный нулю.

В качестве следующего шага на рисунке 2, а) заменим 3-ю строку на отрезок последовательности чисел Фибоначчи (рисунок 3, а)), а на рисунке 2, б) заменим 4-й столбец также на отрезок последовательности чисел Фибоначчи (рисунок 3, б)).

а) б)

Рисунок 3 – Вычисление определителя матрицы размерности 4×4:

а) кроме изменений на рисунке 2, а), изменена 3-я строка;

б) кроме изменений на рисунке 2, а), изменен 4-й столбец.

И вновь наблюдаем, что матрицы имеют определитель равный нулю.

Но нас ждало разочарование, когда было решено в исходной матрице 4×4 произвести замену двух строк (или столбцов) отрезками последовательности чисел Фибоначчи – рисунок 4.

а) б)

Рисунок 4 – Нарушение исследуемого свойства при замене двух строк (или столбцов) при соответствующих заменах:

а) две строки заменены отрезками последовательности чисел Фибоначчи;

б) два столбца заменены отрезками последовательности чисел Фибоначчи.

Учитывая полученный результат (рисунок 4), можем лишь подтвердить полученный ранее в работе [5] вывод о помехоустойчивости прогрессирующих матриц – если числа, находящиеся в одной строке или одном столбце в матрице размерности больше трёх, заменить на произвольные числа, то это не повлияет на вырожденность матрицы. И в той же работе проверялась вырожденность квадратной матрицы, в которой происходили замены в строках или столбцах на элементы именно прогрессирующих последовательностей, а не последовательностей, заданных рекуррентной формулой без возможности получения общего члена.

Исследование свойств прогрессирующих матриц авторами продолжается. По данной статье можем подвести следующие итоги.

Подтверждена помехоустойчивость прогрессирующих матриц в смысле работы [5]; помехоустойчивость сохраняется и в случае замены в квадратной матрице размера от 4×4 двух строк (или столбцов) отрезками возрастающих или убывающих арифметических прогрессий с различными разностями. Помехоустойчивость прогрессирующей матрицы нарушается в случае, если, по крайней мере, две строки (или столбца) в квадратной матрице, начиная с размерности 4×4, заменяются членами последовательности, задаваемой только рекуррентной формулой и не могут быть заданы формулой общего члена (имеется в виду точной формулой).

Список литературы

1. Смольняков И.М., Часов К.В. Исследование различных последовательностей // Материалы VI Международной студенческой научной конференции «Студенческий научный форум» URL: https://scienceforum.ru/2014/article/2014007511 (дата обращения: 1.02.2019).

2. Смольняков И.М., Часов К.В. Некоторые свойства прогрессирующих последовательностей // Материалы VI Международной студенческой научной конференции «Студенческий научный форум» URL: https://scienceforum.ru/2014/article/2014007507 (дата обращения: 1.02.2019).

3. Смольняков И.М., Часов К.В. Формирование НИР студентов посредством информационной образовательной среды // Материалы VI Международной студенческой научной конференции «Студенческий научный форум» URL: https://scienceforum.ru/2014/article/2014007495 (дата обращения: 1.02.2019).

4. Смольняков И.М., Часов К.В. Некоторые свойства геометрических прогрессий // Материалы VII Международной студенческой научной конференции «Студенческий научный форум» URL: https://scienceforum.ru/2015/article/2015017345 (дата обращения: 1.02.2019).

5. Смольняков И.М., Часов К.В. Помехоустойчивость прогрессирующих матриц // Материалы VII Международной студенческой научной конференции «Студенческий научный форум» URL: https://scienceforum.ru/2015/article/2015017501 (дата обращения: 1.02.2019).

6. Смольняков И.М., Часова К.В. Последовательность чисел Фибоначчи и золотое сечение // Материалы VII Международной студенческой научной конференции «Студенческий научный форум» URL: https://scienceforum.ru/2015/article/2015017382 (дата обращения: 1.02.2019).

7. Стаценко И.Е., Часов К.В. Вырожденность квадратной матрицы, элементы которой составлены из последовательных чисел Фибоначчи и «золотого сечения» // Материалы VIII Международной студенческой научной конференции «Студенческий научный форум» URL: https://scienceforum.ru/2016/article/2016028018 (дата обращения: 1.02.2019).

8. Зинченко О.И., Часов К.В. Свойства отрезков прогрессирующих последовательностей // Материалы VIII Международной студенческой научной конференции «Студенческий научный форум» URL: https://scienceforum.ru/2016/article/2016027852 (дата обращения: 1.02.2019).

9. Стаценко И.Е., Часов К.В. Свойство вырожденности квадратных матриц, составленных из элементов различных последовательностей // Материалы VIII Международной студенческой научной конференции «Студенческий научный форум» URL: https://scienceforum.ru/2016/article/2016027843 (дата обращения: 1.02.2019).

Код для цитирования: Скопировать