Совершенствование математических моделей, расширение возможностей математического моделирования позволяет принимать обоснованные решения на этапе проектирования. К наиболее сложной проблеме проектирования относится проблема обеспечения надежности конструкций при механических воздействиях. Для обеспечения возможности исследования динамики узлов на печатных платах на основе моделирования необходимо решение следующих задач:
построение математической модели, позволяющей получить адекватное решение;
разработка способа описания конструкции и задания внешних воздействий для обеспечения возможности исследования реакции конструкции на заданные воздействия по результатам моделирования, их использование для обоснования проектных решений;
интерпретация и обработка результатов решений, представленных результатами исследования колебаний. Процесс характеризуется значениями функций координат и времени: прогиба, ускорения, механических напряжений и других.
Предлагается дискретно-непрерывная математическая модель, позволяющая исследовать колебания узла на печатной плате в широком частотном диапазоне.
Печатный узел рассматривается как изотропная пластина постоянной толщины с неоднородным распределением плотности материала, что позволяет учесть массу установленных элементов, существенно влияющих на резонансные частоты, амплитуду колебаний и механические напряжения в элементах конструкции.
Прогиб срединной поверхности пластины при статической распределенной нагрузке дает решение уравнения [1]:
, (1)
где: цилиндрическая жесткость пластины; модуль Юнга; - толщина пластины; - коэффициент Пуассона.
Функция перемещения креплений пластины задана. Тогда выражение для инерционных сил
. (2)
Плотность материала есть функция координат , что позволяет учесть массу навесных элементов. С учетом потерь энергии на внутреннее трение уравнение (1) принимает вид:
. (3)
Здесь: дифференциальный оператор; коэффициент вязкости материала платы.
На основе выражения (3) рассмотрим построение модели печатного узла [2, 3]. С учетом прогиба относительно закрепленных областей платы получим:
(4)
Для получения решения уравнение (4) необходимо дополнить начальными и граничными условиями. Граничные условия зависят от способа закрепления печатного узла:
для жестко защемленных областей пластины:
; ; . (5)
для шарнирного крепления:
. (6)
для незакрепленных областей, по внешнему контуру пластины:
. (7)
Начальные условия зададим в виде:
при . (8)
Для дискретно-непрерывной модели выражение для прогиба имеет вид:
. (9)
Здесь: собственные формы колебаний:
при . (10)
После подстановки выражения для прогиба (9) в уравнение (4), с учетом ортогональности собственных форм колебаний, получим:
(11)
Здесь: размеры узла на печатной плате. В случае, когда собственная форма определена, воздействие задано, функцию времени дает решение дифференциального уравнения второго порядка (11), которое целесообразно для наглядности записать в виде:
. (12)
Здесь:
собственная частота; (13)
масштабный коэффициент. (14)
Для получения однозначного решения уравнения (12) необходимы начальные условия, которые в соответствии с выражениями (8) принимают вид:
(15)
Нахождение функций времени позволяет, используя выражение для прогиба , получить решение в виде пространственно-временного процесса колебаний при выбранном временном масштабе.
Для заданного воздействия на области крепления узла на печатной плате можно аппроксимировать функцию значениями отсчетов через интервалы времени [4, 5]. При аппроксимации функции с требуемой точностью уравнение (12) для интервала будет иметь вид:
. (16)
Здесь: .
В общем виде для каждого интервала решение уравнения (16) может иметь вид:
при ; (17)
при ; (18)
при . (19)
Здесь
Для процесса затухающих колебаний при /2<1:
(20)
При переходе к следующему интервалу необходимо изменение начальных условий и формирование нового временного интервала для решения задачи определения функции прогиба . Уравнения (17) (18) (19) соответствуют затухающему процессу колебаний.
Решение задачи осуществляется на основе метода конечных разностей. Алгоритм моделирования колебаний сводится к формированию конечно-разностного аналога уравнения (4), решению с учетом граничных условий, обусловленных способом закрепления, видом функции плотности в соответствии в соответствии с массой навесных элементов и массой материала платы печатного узла.
Задается начальное приближение собственной формы колебаний , например, для закрепленных областей и в свободной от закрепления области. Вычисляется частотный параметр :
. (21)
Здесь: , - интегральные коэффициенты; , - количество узлов сеточной модели по направлениям осей координат.
Уточняется значения дискретного представления собственной формы , в соответствии со свободными узлами сеточной модели и значение частотного параметра . На заключительном этапе выполняется развертка во времени функций, характеризующих реакцию печатного узла на заданные воздействия.
Результаты определения собственных форм и частоты для пластины прямоугольной формы закрепленной в центре с однородным распределением массы показаны на рисунке 1 [6]. Форма колебаний соответствует прогибу на 1-й, 6-й, 10-й и 13-й собственных частотах.
а)б) |
в)г) |
Рисунок 1. Собственные формы колебаний закрепленной в центре прямоугольной пластины: первая (а), шестая (б), десятая (в), тринадцатая (г)
На рисунке 2 показана модель узла на печатной плате и график прогиба при ударном воздействии. Узел имеет одиннадцать точек крепления. Показан прогиб платы с учетом первых семи форм колебаний в диапазоне частот от 100 до 2000 Гц.
а) |
б) |
Рисунок 2. а) Графическое представление модели узла на печатной плате в программном комплексе моделирования динамики пластинчатых конструкций, б) Прогиб узла на печатной плате при ударном воздействии
При моделировании динамики узлов на печатных платах электронной аппаратуры необходимо исследовать колебания в широком частотном диапазоне. Это позволит выявить в конструкции локальные области механических напряжений и наиболее интенсивных виброперегрузок при эксплуатационных воздействиях.
Обоснованные конструктивные решения по повышению устойчивости изделий к механическим воздействиям могут быть приняты по результатам оценки динамических характеристик на этапе проектирования узлов электронной аппаратуры и приборов.
1. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика. — М.: Машиностроение, 1977. — 488 с.
2. Курносов В. Е. Информационное обеспечение проектирования узлов на печатных платах на основе дискретно-непрерывного моделирования / Т.В. Андреева // Обработка информации: методы и системы / Сборник научных статей. – М.: Горячая линия – Телеком, 2003. С. 130 – 137.
3. В.Е. Курносов. Программный комплекс исследования динамики пластинчатых конструкций электронной аппаратуры в широком частотном диапазоне на основе дискретно-непрерывной модели / Т.В. Андреева, В.Е. Курносов // ХХI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс: Периодическое научное издание. – Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. ун-та, 2013. – № 10(14). С 215 – 221.
4. Говоренко Г. С. Теоретические аспекты построения информационной технологии моделирования вибраций конструкций РЭА для оценки ее надежности/ Г. С. Говоренко, В. Е. Курносов, В. А. Ушаков, К. Ю. Парфенов// Надежность и качество 2002: Сб. докладов международного симпозиума. — Пенза: Изд-во Пенз гос ун-та, 2002.
5. Говоренко Г. С. Система моделирования динамики конструкций электронной аппаратуры/ Г. С. Говоренко, В. Е. Курносов, В. А. Ушаков, К. Ю. Парфенов// Надежность и качество 2002: Сб. докладов международного симпозиума. — Пенза: Изд-во Пенз гос ун-та, 2002.
6. Курносов, В. Е. Логико-математические модели в задачах проектирования электронной аппаратуры и приборов [Текст] : Монография / В. Е. Курносов, В. И. Волчихин, В. Г. Покровский. – Пенза : Изд-во Пенз. гос. технол. ун-та, 2016. – 148 с.