Определить оценки распределений функций плотности вероятности ПКГ в начале и конце эксперимента.

1. Определить оценки распределений функций плотности вероятности ПКГ в начале и конце эксперимента (при и при ) по методу уменьшения неопределенности (МУН).

Метод уменьшения неопределенности (МУН) - это новая реализация МПВ (метода прямоугольных вкладов), которая возникла в процессе его развития. МУН основан на использовании нормированного равномерного распределения, заданного в интервале вместо прямоугольного вклада шириной , построенного около точки с координатой .

При этом для выражения функции распределения используют кусочно - линейную интерполяцию

, (П.1)

где .

, (П.2)

где - нижняя и верхняя границы интервала значений случайной величины ;

, - объем выборки;

- число одинаковых реализаций .

оценивается аналогично .

Вполне очевидно, что уравнение (1.2) представляет собой уравнение прямой с угловым коэффициентом

. (П.3.)

Для нахождения функции плотности вероятности следует воспользоваться данными графика и выражением

, (П.4)

где - приращение аргумента и соответствующее приращение функции .

По данным табл. П.2 для значений ПКГ в начале эксперимента составим вариационный ряд: .

Границы поля допуска :

Статистические данные значений ПКГ разбивают поле допуска значений ПКГ на интервалы:

1 участок , , .

Определяем оценку функции распределения (интегральный закон распределения).

Определяем оценку функции плотности распределения вероятности (дифференциальный закон распределения вероятности)

2 участок , , .

3 участок , , .

4 участок , , .

5 участок , , .

Проверка осуществляется суммированием площадей фигур, находящихся под ломаной , т.е.

Графики и приведены на рис. П.1 и П.2.

В начале эксперимента

_{Рис.П.1. График функции}

_{Рис.П.2. График функции}

Математическое ожидание

Математическое ожидание - это значение случайной величины, относительно которого группируются все заданные значения. Математическое ожидание случайной величины равно сумме произведений случайной величины на их вероятности

(П.5)

Выражение (П.5) справедливо для дискретной случайной величины, в нашем случае (непрерывная случайная величина) сумма заменяется интегралом, а вероятность - элементом вероятности, поэтому

Дисперсия случайной величины

Среднее квадратическое значение отклонения случайной величины относительно математического ожидания

По данным табл. П.2 для значений ПКГ в конце эксперимента составим вариационный ряд:

Границы поля допуска:

Статистические данные значений ПКГ разбивают поле допуска значений ПКГ на интервалы:

1 участок: ; ; .

2 участок: ; ; .

3 участок: ; ; .

4 участок: ; ; .

5 участок: ; ; .

Проверка

Графики и приведены на рис. П.3 и П.4.

В начале эксперимента :

Рис.П.3. График функции

Рис.П.4. График функции

Математическое ожидание

;

Дисперсия случайной величины

Среднее квадратическое значение отклонения случайной величины относительно математического ожидания

Определение среднего квадратического отклонения (СКО) для всех значений ПКГ

Таким образом, на основании проведенных расчетов было установлено, что .

Следовательно, значения можно записать посредством следующего линейного уравнения

3. Определение значения критерия Стьюдента:

Значение критерия Стьюдента , соответствующее - процентному пределу ошибки (уровню значимости ошибки) и степеням свободы определим по таблице.

где - доверительная вероятность прогноза. ;

- объём выборки.

В соответствии с полученными значениями и .

4. Определяем значения доверительных границ с учетом критерия Стьюдента.

- верхняя доверительная граница ПКГ

- нижняя доверительная граница ПКГ

(П.6)

(П.7)

Подставляя в выражение (П.6) и (П.7) требуемые величины определяем значение верхней и нижней доверительных границ ПКГ соответственно. Полученные результаты сводим в табл. П.4

Таблица П.4

0	0	6,23	-6,23
1180	0,4059	6,6359	-5,8241
2370	0,8932	7,1232	-5,3368
3550	1,0715	7,3015	-5,1585
4750	1,4068	7,6368	-4,8232
5980	1,6172	7,8472	-4,6128
7280	2,2163	8,4463	-4,0137
8600	2,3469	8,5769	-3,8831
9870	2,4037	8,6337	-3,8263
11250	2,7303	8,9603	-3,4997
12520	3,0021	9,2321	-3,2279
13820	3,4217	9,6517	-2,8083
15180	3,9512	10,1812	-2,2788
16520	4,1032	10,3332	-2,1268
17880	4,6633	10,8933	-1,5667
19240	4,5908	10,8208	-1,6392
20660	4,9582	11,1882	-1,2718

5. Обоснование выбора математической модели прогнозирования

В ходе исследования значения ПКГ снимаются через равные интервалы, поэтому для оценки порядка полинома математической модели прогнозирования воспользуемся аппаратом конечных разностей.

Имеем функцию и дискретные значения аргумента образуют арифметическую прогрессию с разностью , т.е.

Обозначим значения при соответствующих значениях аргумента так:

Величины

называют разностями первого порядка (первыми разностями).

Величины

называют разностями второго порядка.

Аналогично определяются разности произвольного порядка :

Конечные разности в более наглядной форме представляют в форме таблицы, которая называется диагональной. Каждый столбец таблицы составляется так, что разности записываются между составляющими значениями уменьшаемого и вычитаемого.

Составим диагональную таблицу П.5 для статистических данных табл. П.1.

Таблица П.5

0	0
		0,4059
1180	0,4059		0,0814
		0,4873		-0,2276
2370	0,8932		0,309
		0,1783		-0,152
3550	1,0715	0,3335	0,157	-0,0321
4750	1,4068		0,1249
		0,2104		0,2638
5980	1,6172		0,3887
		0,5991		-0,0798
7280	2,2163		0,4685
		0,1306		-0,3726
8600	2,3469		0,0959
		0,0347		-0,196
9870	2,4037		0,2919
		0,3266		-0,2371
11250	2,7303		0,5448
		0,2718		-0,093
12520	3,0021		0,1478
		0,4196		-0,0378
13820	3,4217		0,11
		0,5295		-0,2675
15180	3,9512		0,3775
		0,152		-0,0306
16520	4,1032		0,4081
		0,5601		-0,2246
17880	4,6633		0,6326
		-0,0725		-0,1927
19240	4,5908		0,4399
		0,3674
20660	4,9582

Разности второго порядка мало отличаются от постоянных, поэтому в качестве математической модели может быть выбран полином второй степени.

6. Определение параметров модели прогнозирования по методу наименьших квадратов

В основе метода наименьших квадратов лежит условие: коэффициенты моделей должны быть таковы, чтобы значение суммы квадратов невязок было минимальным, т.е.

где - модель прогнозирования.

Для этого необходимо выполнить условия минимума суммы , т.е.

Составляем систему уравнений для нахождения коэффициентов и .

Таким образом, путем преобразования получим:

Сократив уравнения на 2, получим:

Введем обозначения.

Уравнения принимают вид:

Данная система уравнений далее решается по правилу Крамера: матричным способом решения систем линейных неоднородных уравнений.

Определение параметров модели прогнозирования для кривой .

Определитель системы находится так:

Определитель параметра находится так:

Определитель параметра находится так:

Определитель параметра запишется в виде:

Далее

Полученная зависимость

Ее график приведен на рис. П.5.

Определение параметров модели прогнозирования (для кривой ).

Полученная зависимость имеет вид:

Ее график приведен на рис. П.5.

6.3. Определение параметров модели прогнозирования (для кривой )

-5,491*

-4,629*

-62,128

-2,623*

 

6,358*

-1,507*

Полученная зависимость:

7. Определение наработки до отказа

Теперь, после того, как найдены параметры выбранной модели изменений ПКГ, производится экстраполяция ее статистических данных до предельного состояния исследуемого параметра , и находятся оценки нижних и верхних границ доверительного интервала средней наработки до отказа и из уравнений

и - нижняя и верхняя граница доверительного интервала средней наработки до отказа, следовательно средняя наработка до отказа определяется как

 

с доверительной вероятностью прогноза Р=0,98.

Приложение 1.

Износ шин в мм при пути пробега

Код для цитирования: Скопировать