ВВЕДЕНИЕ

Надёжность – свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, хранения и транспортирования.

Интуитивно надёжность объектов связывают с недопустимостью отказов в работе. Это есть понимание надёжности в «узком» смысле – свойство объекта сохранять работоспособное состояние в течение некоторого времени или некоторой наработки. Иначе говоря, надёжность объекта заключается в отсутствии непредвиденных недопустимых изменений его качества в процессе эксплуатации и хранения.

Надёжность тесно связана с различными сторонами процесса эксплуатации. Надёжность в «широком» смысле – комплексное свойство, которое в зависимости от назначения объекта и условий его эксплуатации может включать в себя свойства безотказности, долговечности, ремонтопригодности и сохраняемости, а также определённое сочетание этих свойств.

Для достижения необходимой надежности могут быть использованы различные методы и средства. Каждая система предполагает свой уровень допустимой надежности, так как последствия отказов различных систем могут значительно различаться.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Определить интервальную оценку наработки до отказа объекта по заданному параметру – критерию годности (ПКГ).

Статистические данные по изменению торцевого зазора между верхним компрессорным кольцом и канавкой поршня при пробеге автомобиля представлены в табл. П.1. Вариант 77.

Пробег автомобиля в км	Торцевой зазор в (мм) между верхним компрессорным кольцом и канавкой поршня при пробеге автомобиля в км
80000	0,4427
86000	0,4450
92000	0,4329
98000	0,4502
104000	0,4474
110000	0,4616
116000	0,4455
122000	0,4635
128000	0,4764
134000	0,4649
140000	0,4767
146000	0,4841
152000	0,4992
158000	0,5153
164000	0,5246
170000	0,5604

Значения ПКГ изделия в начале и конце эксперимента, а также прочие данные, необходимые для расчетов, представлены в табл. П.2.

Значение ПКГ изделий в начале эксперимента (i=1илиi=2)	[0,4440;0,4540;0,4550;0,4330;0,4450]
Значение ПКГ изделий в конце эксперимента (i=16илиi=17)	[0,5610;0,5510;0,5570;0,5515;0,5550]
Граница поля допуска ПКГ	[0,4;0,65]
Метод оценки	МУН
Доверительная вероятность прогноза	0,975

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПЛОТНОТИ ВЕРОЯТНОСТИ ПКГ В НАЧАЛЕ И В КОНЦЕ ЭКСПЕРИМЕНТА (при =1 и при =16) ПО МЕТОДУ УМЕНЬШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ (МУН)

Метод уменьшения неопределенностей (МУН) - это новая реализация МПВ (метода прямоугольных вкладов), которая возникла в процессе его развития. МУН основан на использовании нормированного равномерного распределения, заданного в интервале [ ] вместо прямоугольного вклада шириной , построенного около точки с координатой .

При этом для выражения функции распределения используют кусочно-линейную интерполяцию

(1)

где .

(2)

где - нижняя и верхняя границы интервала значения случайной величины ;

- объем выборки;

- число одинаковых реализаций .

оценивается аналогично .

Для нахождения функции плотности вероятности следует воспользоваться данными графика и выражением

(3)

где - приращение аргумента и соответствующее приращение функции .

По данным таблицы П.2 для значений ПКГ в начале эксперимента составим вариационный ряд: {0,4440;0,4540;0,4550;0,4330;0,4450}.

Границы поля допуска :

a=0.4; b=0,65; n=5

Статистические данные значений ПКГ разбивают поле допуска значений ПКГ на интервалы:

1 участок ,U1=0,4440; i=1; k=1

Определяем оценку функции распределения (интегральный закон распределения)

Определяем оценку функции плотности распределения вероятности (дифференциальный закон распределения вероятности)

;

2 участокU2=0,4540; i=2; k=1

;

3 участокU3=0,4550; i=3; k=1

;

4 участокU4=0,4330; i=4; k=1

26

;

5 участокU5=0,4450; i=5; k=1

;

6 участок b=0,65; i=6; k=1

;

Проверка осуществляется суммированием площадей фигур, находящихся под ломаной , т.е.

Графики и приведены на рис.1 и рис. 2

В начале эксперимента

Рисунок 1 - График функции

Рисунок 2 - График функции

Математическое ожидание (в начале эксперимента)

Математическое ожидание - это значение случайной величины, относительно которого группируются все заданные значения. Математическое ожидание (непрерывной случайной величины) есть интеграл вида

(4)

Находим математическое ожидание

Дисперсия случайной величины (в начале эксперимента)

Дисперсия - мера рассеяния случайной величины около своего математического ожидания.

Среднее квадратическое значение отклонения случайной величины относительно математического ожидания

По данным табл.2 для значений ПКГ в конце эксперимента составим вариационный ряд: {0,5610;0,5510;0,5570;0,5515;0,5550}.

Границы поля допуска:

a=0,4, b=0,65, n=5.

Статические данные значений ПКГ разбивают поле допуска значений ПКГ на интервалы:

1 участок U1=0,5610, i=1,k=1

Определяем оценку функции плотности распределения вероятности (дифференциальный закон распределения вероятности)

2 участокU2=0,5510, i=2,k=1

3 участокU3=0,5570, i=3,k=1

;

4 участокU4=0,5515, i=4,k=1

5 участокU5=0,5550, i=5,k=1

6 участокb=18, i=6,k=1

Проверка осуществляется суммированием площадей фигур, находящихся под ломаной , т.е.

Графики и приведены на рис.3 и рис. 4

В конце эксперимента

Рисунок 3 - График функций

Рисунок 4 - График функций

Математическое ожидание (в конце эксперимента)

Дисперсия случайной величины

Среднее квадратическое значение отклонения случайной величины относительно математического ожидания

₂. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ (СКО) ДЛЯ ВСЕХ ЗНАЧЕНИЙ ПКГ

Таким образом, на основании проведенных расчетов было установлено, что

Следовательно, значение можно рассчитать с помощью среднего арифметического

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ КРИТЕРИЯ СТЬЮДЕНТА

Значение критерия Стьюдента , соответствующее q – процентному пределу ошибки (уровню значимости ошибки) и (n-1) степеням свободы определим по таблице.

q=(1-P)*100%,

Где Р- доверительная вероятность прогноза. Р=0.9

q=(1-0.975)*100%=2,5%

n-1=5-1=4

n=5 –объем выборки

В соответствии с полученными значениями q и n-1 =3,495

Определяем значения доверительных границ с учетом критерия Стьюдента.

- верхняя доверительная граница ПКГ

-нижняя доверительная граница ПКГ

(6)

(7)

Подставляя в выражение (6) и (7) требуемые величины определяем значение верхней и нижней доверительных границ ПКГ соответственно.

Полученные результаты сводим в табл.4

80000	0,4427	0,527	0,359
86000	0,4450	0,529	0,361
92000	0,4329	0,517	0,349
98000	0,4502	0,534	0,366
104000	0,4474	0,531	0,364
110000	0,4616	0,545	0,378
116000	0,4455	0,529	0,362
122000	0,4635	0,547	0,38
128000	0,4764	0,56	0,393
134000	0,4649	0,549	0,381
140000	0,4767	0,561	0,393
146000	0,4841	0,568	0,4
152000	0,4992	0,583	0,415
158000	0,5153	0,599	0,431
164000	0,5246	0,608	0,441
170000	0,5604	0,644	0,477

4. ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

В ходе исследования значения ПКГ снимаются через равные интервалы, поэтому для оценки порядка полинома математической модели прогнозирования воспользуемся аппаратом конечных разностей.

Имеем функцию и дискретные значения аргумента t образуют арифметическую прогрессию с разностью h, т.е.

Обозначим значения при соответствующих значениях аргумента так:

Величины

Называют разностями первого порядка (первыми разностями).

Величины

Аналогично определяются разности произвольного порядка m:

Конечные разности в более наглядной форме представляют в форме таблицы, которая называется диагональной. Каждый столбец таблицы составляется так, что разности записываются между составляющими значениями уменьшаемого и вычитаемого.

Таблица 5.

80000	0,4427
		0,0023
86000	0,4450		-0,014
		-0,012		0,043
92000	0,4329		0,029
		0,017		-0,049
98000	0,4502		-0,02
		-0,0028		0,037
104000	0,4474		0,017
		0,014		-0,047
110000	0,4616		-0,03
		-0,016		0,37
116000	0,4455		0,34
		0,018		-0,345
122000	0,4635		-0,005
		0,013		-0,049
128000	0,4764		-0,025
		-0,012		0,049
134000	0,4649		0,024
		0,012		-0,029
140000	0,4767		-0,0046
		0,0074		0,012
146000	0,4841		0,0076
		0,015		0,0066
152000	0,4992		0,001
		0,016		-0,0077
158000	0,5153		-0,0067
		0,0093		0,034
164000	0,5246		0,027
		0,036
170000	0,5604

Разности первого порядка мало отличаются от постоянных, поэтому в качестве математической модели может быть выбран полином второй степени

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВНИЯ ПО МЕТОДУ УМЕНЬШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В основе метода наименьших квадратов лежит условие: коэффициенты моделей должны быть таковы, чтобы значение суммы квадратов невязок было минимальным.

где - модель прогнозирования.

Для этого необходимо выполнить условие минимума суммы , т.е.

Составим систему уравнений для нахождения коэффициентов

Таким образом, путем преобразования получим:

Сократив уравнение на 2, получим:

Введем обозначения.

Уравнения принимают вид:

Данная система уравнений решается по правилу Крамера: матричным способом решения систем линейных неоднородных уравнений.

Определение параметров модели прогнозирования для кривой .

A₁₁ = 80000⁴ + 86000⁴ + 92000⁴ + 98000⁴ + 104000⁴ + 110000⁴ + 116000⁴ + 122000⁴ + 128000⁴ + 134000⁴ + 140000⁴ + 146000⁴ + 152000⁴ + 158000⁴ + 164000⁴ + 170000⁴ = 5,071*10²¹

A₁₂ = 80000³+ 86000³ + 92000³ + 98000³ + 104000³ + 110000³ + 116000³ + 122000³ + 128000³ + 134000³ + 140000³ + 146000³ + 152000³ + 158000³ + 164000³ + 170000³ = 3,584*10¹⁶

A₁₃ = 80000² + 86000² + 92000² + 98000² + 104000² + 110000² + 116000² + 122000² + 128000² + 134000² + 140000² + 146000² + 152000² + 158000² + 164000² + 170000² =2,622*10¹¹

A₂₃ = 80000+ 86000 + 92000 + 98000⁴+ 104000 + 110000 + 116000 + 122000 + 128000⁴ + 134000 + 140000 + 146000 + 152000 + 158000 + 164000+ 170000 = 2*10⁶

B₁ = 0,4427*80000² + 0,4450*86000² + 0,4329*92000² + 0,4502*98000² + 0,4474*104000² + 0,4616*110000² + 0,4455*116000² + 0,4635*122000² + 0,4764*128000² + 0,4649*134000² + 0,4767*140000² + 0,4841*146000² + 0,4992*152000² + 0,5153*158000² + 0,5246*164000² + 0,5604*170000² = 1,279*10¹¹

B₂ = 0,4427*80000+ 0,4450*86000 + 0,4329*92000 + 0,4502*98000 + 0,4474*104000 + 0,4616*110000 + 0,4455*116000 + 0,4635*122000 + 0,4764*128000 + 0,4649*134000 + 0,4767*140000 + 0,4841*146000 + 0,4992*152000 + 0,5153*158000 + 0,5246*164000 + 0,5604*170000 = 9,625*10⁵

B₃ = 0,4427+ 0,4450+ 0,4329+ 0,4502+ 0,4474+ 0,4616+ 0,4455+ 0,4635 + 0,4764+ 0,4649 + 0,4767+ 0,4841+ 0,4992+ 0,5153+ 0,5246+ 0,5604= 7,59

∆ = 8,158*10²⁹

Определитель параметра aнаходится так:

∆а = 2,245*10¹⁹

Определитель параметра b находится так:

∆b = -5,481*10²⁴

Определитель параметра c запишется в виде:

∆с = 6,551*10²⁹

Далее

Полученная зависимость:

U(t_i) =

Ее график представлен на рисунке 5.

Определение параметров модели прогнозирования верхней границы (для кривой по данным ).

B₁ = 0,527*80000² + 0,529*86000² + 0,517*92000² + 0,534*98000² + 0,531*104000² + 0,545*110000² + 0,529*116000² + 0,547*122000² + 0,56*128000² + 0,549*134000² + 0,561*140000² + 0,568*146000² + 0,583*152000² + 0,599*158000² + 0,608*164000² + 0,644*170000² =

B₂ =0,527*80000+ 0,529*86000 + 0,517*92000 + 0,534*98000 + 0,531*104000 + 0,545*110000 + 0,529*116000 + 0,547*122000 + 0,56*128000 + 0,549*134000 + 0,561*140000 + 0,568*146000 + 0,583*152000 + 0,599*158000 + 0,608*164000 + 0,644*170000 = 1,13*

B₃ = 0,527+ 0,529+ 0,517+ 0,534+ 0,531+ 0,545+ 0,529+ 0,547+ 0,56 + 0,549+ 0,561+ 0,568+ 0,583+ 0,599+ 0,608 + 0,644= 8,931

∆ = 8,158*10²⁹

=2,624*

= -5.683*

Полученная зависимость имеет вид:

M(U_i) =

Ее график представлен на рисунке 5.

Определение параметров модели прогнозирования верхней границы(для кривой по данным ).

B₁ = 0,359*80000² + 0,361*86000² + 0,349*92000² + 0,366*98000² + 0,364*104000² + 0,378*110000² + 0,362*116000² + 0,38*122000² + 0,393*128000² + 0,381*134000² + 0,393*140000² + 0,4*146000² + 0,415*152000² + 0,431*158000² + 0,441*164000² + 0,477*170000²=1,06*

B₂ = 0,359*80000+ 0,361*86000 + 0,349*92000 + 0,366*98000 + 0,364*104000 + 0,378*110000 + 0,362*116000 + 0,38*122000 + 0,393*128000 + 0,381*134000 + 0,393*140000 + 0,4*146000 + 0,415*152000 + 0,431*158000 + 0,441*164000 + 0,477*170000= 7,949*

B₃ = 0,359+ 0,361+ 0,349+ 0,366+ 0,364+ 0,378+ 0,362+ 0,38*122000 + 0,393+ 0,381+ 0,393+ 0,4+ 0,415+ 0,431+ 0,441+ 0,477= 6,25

∆ = 8,158*10²⁹

Полученная зависимость имеет вид:

N(U_i) =

Ее график представлен на рисунке 5.

Рисунок 5 - Графики моделей линии регрессии и ее доверительных границ

6.ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАРАБОТКИ ДО ОТКАЗА

Теперь, после того, как найдены параметры выбранной модели изменений ПКГ, производится экстраполяция ее статистических данных до предельного состояния исследуемого параметра , и находятся оценки нижних и верхних границ доверительного интервала средней наработки до отказа и из уравнений

и - нижняя и верхняя границы доверительного интервала средней наработки до отказа, следовательно, средняя наработка до отказа определяется как:

с доверительной вероятностью прогноза P=0,975.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для получения оценок функций плотности вероятности необходимо использовать методы малой выборки. Использование методов малой выборки – задача очень актуальная в силу больших затрат, которые требуются для получения статистических данных.

Методов малой выборки, позволяющих получить более устойчивые и точные статистические оценки, существует довольно много. Практическая работа предполагает использование двух из них – метода уменьшения неопределенности и метода прямоугольных вкладов.

В данной курсовой работе использовался метод уменьшения неопределенности.

При выполнении работы использовались оценки распределений данных (значений ПКГ) в виде функций плотности вероятности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Надежность технических систем и ее прогнозирование / В.В. Рыжаков. -Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад.,2011.-Ч.1.

Надежность технических систем и ее прогнозирование / В.В. Рыжаков. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад.,2011.-Ч.2.

Надежность технических систем и ее прогнозирование. Задания и аналитические материалы по выполнению домашних и курсовых работ./ В.В. Рыжаков.- Пенза: Изд-во Пенз. гос. технол. акад.,2011.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Рисунок 1 – Проверка торцевого зазора между верхним компрессорным кольцом и канавой поршня.

Рисунок 2.

Рисунок 3 – Конструкция поршня двигателя.

Код для цитирования: Скопировать