XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Для расширения четырех предприятий, принадлежащих одной организации, совет директоров выделяет средства в объеме 120 млн. руб. Зависимость прибыли предприятий от объема вложенных средств приведена в табл. 1. Определим распределение средств между предприятиями, обеспечивающее максимальную прибыль.

Таблица 1

20	8	10	12	11
40	16	20	21	23
60	25	28	27	30
80	36	40	38	37
100	44	48	50	51
120	62	62	63	63

Условная оптимизация

Шаг 1. k = 4. Предполагается, что все средства направляются на инвестирование одного предприятия (например, четвертого). Объем инвестиций для предприятия 4: . Запишем уравнение Беллмана для этого шага:

(1)

В соответствии с формулой (1) в зависимости от начальной суммы С получаем значения Z₄ и х₄^*:

при С₄=20:

при С₄=40:

при С₄=60:

при С₄=80:

при С₄=100:

при С₄=120:

Шаг 2. k = 3. Предполагается, что все средства направляются на инвестирование двух предприятий (например, третьего и четвертого). Объем инвестиций для двух предприятий может составить: ; при этом третьему предприятию из этой суммы можно выделить любое количество . Запишем уравнение Беллмана для шага 2:

(2)

В соответствии с формулой (1.2):

при С₃=20:

при С₃=40:

и т.д.

Результаты расчетов на шаге 2 представлены в табл. 2.

Таблица 2

С3	x3								Z3		x3*
	0	20	40	60	80	100	120
0	0+0							0		0
20	0+11	12+0						12		20
40	0+23	12+11	21+0					23		0/20
60	0+30	12+23	21+11	27+0				35		20
80	0+37	12+30	21+23	27+11	38+0			44		40
100	0+51	12+37	21+30	27+23	38+11	50+0		51		0/40
120	0+63	12+51	21+37	27+30	38+23	50+11	63+0	63		0/20/120

Шаг 3. k=2. Инвестиции распределяем между тремя предприятиями (например, между вторым, третьим и четвертым). Объем инвестиций для трех предприятий может составить: ; при этом второму предприятию из этой суммы можно выделить любое количество . Запишем уравнение Беллмана для шага 3:

(3)

Найдем значения функции (1.3) для всех допустимых комбинаций С₂ и х₂:

при С₂=20:

при С₂=40:

и т.д.

Результаты расчетов на шаге 3 представлены в табл. 3.

Таблица 3

С2	x2								Z2		x2*
	0	20	40	60	80	100	120
0	0+0							0		0
20	0+12	10+0						12		0
40	0+23	10+12	20+0					23		0
60	0+35	10+23	20+12	28+0				35		0
80	0+44	10+35	20+23	28+12	40+0			45		20
100	0+51	10+44	20+35	28+23	40+12	48+0		55		40
120	0+63	10+51	20+44	28+35	40+23	48+12	62+0	64		40

Шаг 4. k=1. Инвестиции распределяем между всеми предприятиями. Между ними нужно распределить все имеющиеся денежные средства, поэтому С₁=120, при этом первому предприятию из этой суммы можно выделить любое количество: .

Уравнение Беллмана для шага 4 запишется следующим образом:

(4)

Найдем значения функции (4) для С₁ = 120:

Результаты расчетов на шаге 4 (для всех возможных значений С₁) представлены в табл. 4.

Таблица 4

С1	x1								Z1		x1*
	0	20	40	60	80	100	120
0	0+0							0		0
20	0+12	8+0						12		0
40	0+23	8+12	16+0					23		0
60	0+35	8+23	16+12	25+0				35		0
80	0+45	8+35	16+23	25+12	36+0			45		0
100	0+55	8+45	16+35	25+23	36+12	44+0		55		0
120	0+64	8+55	16+45	25+35	36+23	44+12	62+0	64		0

Безусловная оптимизация.

Шаг 1. По данным табл. 4 максимальная прибыль при распределении 120 млн. руб. между четырьмя предприятиями составит Z₁=64 млн. руб., при этом первому предприятию нужно выделить млн. руб.

Шаг 2. Определим величину оставшихся денежных средств, приходящихся на долю второго, третьего и четвертого предприятий:

млн. руб.

По данным табл. 3 находим, что при С₂ = 120: Z₂ = 64, х₂* = 40. Это означает, что второму предприятию следует выделить 40 млн. руб.

Шаг 3. Определим величину оставшихся денежных средств, приходящихся на долю третьего и четвертого предприятий:

млн. руб.

По данным табл. 2 находим, что при С₃ = 80: Z₃ = 44, х₃* = 40. Это означает, что третьему предприятию следует выделить 40 млн. руб. При этом максимальная прибыль второго предприятия составит:

млн. руб.

Шаг 4. Определим величину оставшихся денежных средств, приходящихся на долю четвертого предприятия:

млн. руб.

По данным табл. 1 находим, что при С₄ = 40: Z₄ = 23, х₄* = 40.

Максимальная прибыль третьего предприятия составит:

млн. руб.,

а четвертого предприятия соответственно:

млн. руб.

Оптимальная стратегия распределения инвестиций: дает возможность получить максимальную суммарную прибыль:

млн. руб.

Таким образом, максимальная прибыль на четырех предприятиях при распределении между ними 120 млн. руб. составит 64 млн. руб. и будет получена, если первому предприятию средств не выделять, а второму, третьему и четвертому выделить по 40 млн. руб.

Библиографический список:

Вентцель, Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология: учебное пособие / Е.С. Вентцель. – 5-е изд., стер. – М.: КНОРУС, 2010. – 192 с.

Давыдов, Е.Г. Элементы исследования операций: учебное пособие / Давыдов Е.Г. – М.: КНОРУС, 2010. – 160 с.

Есипов, Б.А. Методы исследования операций: учебное пособие / Б.А. Есипов. – Спб.: Издательство «Лань», 2010. – 256 с.

Костевич, Л.С. Математическое программирование: Информационные технологии оптимальных решений: учебное пособие / Л.С. Костевич. – М.: Новое знание, 2003. – 424 с.

Код для цитирования: Скопировать