XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

В школьной математике есть классы задач, вызывающие особый интерес учителей и методистов, традиционно считающиеся трудными для освоения учениками: задачи на построение, решение систем алгебраических неравенств, текстовые задачи с использованием дробных и процентных соотношений. Задачи с параметром занимают в этом перечне не последнее место. Вызвано это рядом обстоятельств.

Во-первых, трудности вызывает само понятие параметра и характер задачи с параметром. Этот термин не имеет чётко сформулированного определения, подобного определениям других математических терминов. Его первичное восприятие учащимися усложнено тем, что в их субъектном опыте сложно выделить примеры использования параметров. Решение задачи с параметрами требует вместо однозначно заданного объекта рассмотреть множество объектов, добавляет в рассматриваемую ситуацию динамики, в отличие от подавляющего большинства «статичных» задач, решаемых в школьном курсе.

Во-вторых, задачи с параметрами относятся к задачам более высокого уровня сложности, не имеют однозначных алгоритмов решения, требуют уверенного владения разнородными фрагментами школьного курса математики.

Параметр – это переменная величина, позволяющая рассмотреть множество объектов. Отдельные значения параметра задают отдельный объект множества, некоторые его значения приводят к частным случаям связей и отношений [2].

Рассмотрим разные подходы к определению термина «параметр» (от греческого παραμετρου – отмеривающий):

величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой;

величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи, но в другой меняет свои значения;

независимая переменная, значение которой в данной задаче считается фиксированным;

постоянная величина, являющаяся характеристикой какого-либо процесса или предмета, может при разных аналогичных рассмотрениях принимать различные значения и даже быть переменной.

Приведённые примеры показывают, что параметромсчитается переменная величина, значение которой зафиксировано в рамках данной ситуации или данного процесса, и изменение её значения ведёт к изменению связей между другими величинами, характеристик протекающего процесса, приводит к изменению ситуации.

В математике для решения задачи с параметромтребуется выполнить следующие действия [1]:

Рассмотреть ситуацию так, как если бы вместо параметра было задано конкретное число.

Показать, как меняется ситуация, если изменить это число.

Зафиксировать особые случаи, найти, при каких значениях параметра они получаются.

Составить список всех возможных случаев с указанием того, каким значениям параметра они соответствуют.

Для успешного решения уравнения или неравенства с параметром необходимо уверенное владение следующими компонентами [4]:

владеть понятием координатной прямой; уметь переходить от соотношений между числами (сравнение) к соотношениям между точками (расположение) и наоборот; записывать промежутки, соответствующие заданному неравенству и наоборот, производить объединение или пересечение промежутков в процессе решения задачи;

владеть понятием декартовой системы координат на плоскости; уметь описывать положение графика функции (расположение, пересечение, преобразование);

владеть алгоритмами решения основных классов уравнений и неравенств; владеть графическим методом решения уравнений, неравенств и их систем;

уметь строить графики основных классов функций и некоторых уравнений с двумя переменными, знать их особенности, а также владеть алгоритмами преобразования графиков;

владеть исследовательскими навыками, уметь перечислять возможные варианты и выявлять условия, способствующие тому или иному решению.

Решение задач с параметром не имеет однозначного алгоритма, однако есть ряд соображений, которые, так или иначе, возникают вместе с приобретаемым опытом. Сформулируем ряд эвристик, владение которыми существенно облегчит решение уравнений, неравенств с параметром и их систем [5].

Большинство алгебраических уравнений, неравенств с параметром и их систем успешно решается графически.

В некоторых задачах сложное и многоэтапное исследование можно свести к решению рационального неравенства или системы рациональных неравенств. Например, вместо неравенства √