XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Интеграл Дюамеля - интеграл специального вида, используемый для нахождения ответа систем линейного типа к входному эффекту, который происходит в произвольный момент времени. Принцип использования данного интеграла в расчетах основан на принципе суперпозиции для систем линейного типа, в которых его ответ на сумму нескольких действий, и одновременных и переменных во времени определяется суммой ответов от каждого из суммируемых сигналов.[1]

Данный метод расчета применяется в электроэнергетике и электротехнике для расчета переходных процессов в электрических цепях линейного вида.

Понимая ответ схемы на возмущающее действие, т.е. функцию переходной проводимости или переходную функцию по напряжению , возможно определить реакцию схемы к эффекту произвольной формы. Данный метод построен на использовании принципа наложения.

При использовании интеграла Дюамеля для разделения переменной, по которой производится интегрирование, и переменной, определяющей момент времени, в который определяется ток в цепи, первую принято обозначать как , а вторую – как . [2]

Рисунок 1 – Смеха включения пассивного двухполюсника (ПД)

Пусть в момент времени к цепи с нулевыми начальными условиями (пассивному двухполюснику (ПД) на рис. 1) включают произвольный источник питания . С целью определения значения тока в данной электрической схемы произведем замену исходной кривой на ступенчатую (см. рис. 2). Далее, с учетом линейности данной схемы, проведем сложение токов от стартового напряжения и всех ступеней до момента , включаемых с задержкой во времени. [3]

Рисунок 2 – Кривая ступенчатая

В момент времени составляющая общего тока, определяемая начальным скачком напряжения , равна .

В момент времени имеет место скачок напряжения , который с учетом временного интервала от начала скачка до интересующего момента времени обусловит составляющую тока .

Полный ток в момент времени равен, очевидно, сумме всех составляющих тока от отдельных скачков напряжения с учетом , т.е.

.

(1)

Произведя замену конечного интервала приращения времени на бесконечно малый, т.е., переходя от суммы к интегралу, запишем

.

(2)

Выражение (2) носит название интеграла Дюамеля.

Нельзя забывать, что использование данного интеграла способствует нахождение любого физического параметра электрической цепи, к которым также относится и напряжение. При этом в (2) вместо переходной проводимости будет входить переходная функция по напряжению. [4]

Использование метода, в основе которого лежит использование интеграла Дюамеля, позволяет определить любой физический параметр электрической схемы, по типу тока и напряжения. В данном случае в расчетах, вместо переходной проходимости , используется переходная функция если на входе схемы находится источник электродвижущей силы (ЭДС), и переходное сопротивление если в схему включен источник электрического тока. [5]

Расчет электрической схемы методов, основанном на применении интеграла Дюамеля, состоит из следующих пунктов:

Определение функции (или ) для нахождения параметров типовой схемы;

Запись выражения (или ) путем формальной замены на ;

Поиск значения производной ;

Подстановка функций в выражение (2) и последующее интегрирование определенного интеграла.

Для примера использования данного метода на практике произведем расчет параметров типовой электрической схемы, изображенной на рисунке 3. Определим значение тока, для нахождения которого воспользуемся формулой включения.

Рисунок 3 – Типовая электротехническая схема URL

Для расчета воспользуемся следующими исходными данными:

Теперь нам осталось определить значение переходной проводимости, для чего будет необходимо подставить имеющиеся исходные данные в определенные выражения и провести расчет.

Для начала займемся определением функции для нахождения параметров исследуемой типовой схемы:

Далее нам необходимо провести запись выражения , для чего мы проведем формальную замену на :

Следующим шагом является поиск значения производной :

И в завершение осталось провести подстановку функций в выражение (2) с последующем интегрированием определенного интеграла, в результате чего мы получим конечный результат:

Полученные данные, определенные в результате расчета электрических параметров исследуемой схемы методом с использование интеграла Дюамеля, абсолютно идентичны результатам, полученным любым другим методом, например, основанном на формуле включения. Данный метод дает простой и наглядный ответ, а использование ЭВМ многократно упрощает расчет и сокращает время на его проведение. Использование данного метода расчета позволяет специалистам инженерной деятельности в значительной мере оптимизировать свой рабочий процесс, связанный с определением физических параметров не только типовых схем, но и параметров сложных электроэнергетических комплексов, что является возможным благодаря существованию интегрального исчисления и его взаимосвязи с электроэнергетическими и электротехническими расчетами. [6]

Список литературы

Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов / Л.А.Бессонов - 7-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1978. - 528 с.

Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для электротехн. радиотехн. спец. вузов / П.Н.Матханов - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1990. - 400 с.

Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники: в 2-х т. Учебник для вузов. Том I./ Л.Р.Нейман , К.С. Демирчян - 3-е изд., перераб. и доп. - Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1981. - 536 с.

Гулай Т.А., Математика. / Т.А. Гулай , В.А. Жукова , С.В. Мелешко , И.А. Невидомская //Рабочая тетрадь. Ставрополь, 2015.-130 с..

Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Совершенствование математической подготовки студентов аграрных вузов./ Т.А. Гулай , А.Ф. Долгополова , Д.Б. Литвин // Инновационные векторы современного образования, 2012. - С. 11-16.

Morozova O.V., Timashkova T.E., Dolgopolova A.F Food import substitution in russia: realities and prospects for the development of agriculture for 2015//Asian Journal of Scientific and Educational Research. 2015. № 1. С. 180.

Код для цитирования: Скопировать