XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Впервые комплексные числа были упомянуты в работе итальянского математика Джероламо Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» в XVI веке. При решении квадратного уравнения он получил величины, содержащие корни из отрицательных значений. Кардано счел их интересными, но бесполезными и не стал исследовать дальше. А уже менее чем через тридцать лет итальянский математик Рафаэль Бомбелли нашел решение задачи Кардано и понял, что полученные Джероламо величины в сумме дают нужный вещественный корень. Его разъяснения помогли дальнейшему применению в математике мнимых величин, которые так называл Рене Декарт, отрицая их существование. Абрахам де Муавр и Роджер Котс нашли формулы для выражения корней степени n из комплексного числа. Мнимую единицу i (число, квадрат которого равен -1) ввел Леонард Эйлер, а Каспар Вессель представил комплексное число как точки на комплексной плоскости [1, 2].

Основные формы представления комплексных чисел:

Алгебраическая форма. Комплексное число z записывается в виде xiy , где i – мнимая единица, x и y – вещественные числа.

Тригонометрическая форма. Комплексное число z записывается в виде , где – модуль комплексного числа,  – его аргумент. В декартовой прямоугольной системе координат пара чисел x и y изображена точкой с координатами (x; y). Комплексное число z так же может быть представлено этой точкой, т.к. существует взаимосвязь между комплексными числами и точками на координатной плоскости (рис. 1).

Экспоненциальная форма. Комплексное число z записывается в виде , где – модуль комплексного числа, e^iϕ – расширение экспоненты, в случае если показатель степени - комплексное число.

Рис. 1. Геометрическое представление комплексного числа z.

Связь между показательной и тригонометрической функциями выражается формулой Эйлера: .

Комплексные числа используются не только в математике. Решение задач, связанных с электромагнитными процессами в цепях переменного тока, становится проще с помощью мнимых величин. Они используются для измерения емкости, а действительные – для измерения сопротивления [3, 4, 5].

Благодаря комплексным числам законы, формулы и методы расчета для цепей постоянного тока можно использовать еще и для цепей переменного тока. Это свойство часто оказывается полезным, т.к. большинство электротехнических установок работает на этом виде тока. Электрические станции вырабатывают переменное напряжение и переменный ток, изменяющиеся синусоидально по гармоническому закону [6, 7].

, где

i и u – мгновенные значения тока и напряжения;

I_mи U_m – мгновенные значения тока и напряжения;

ϕ_Iи ϕ_U – начальные фазы тока и напряжения;

ωt = α – электрический угол.

Действующие значения тока и напряжения:

В комплексном методе они записываются так:

j– мнимаяединица в электротехнике(рис. 2).

Из закона Ома определяют комплексное значение сопротивления:

z – модуль комплексного сопротивления

На плоскости комплексных величин синусоидальная величина может быть изображена вектором. Его длина – это амплитуда и модуль комплексного числа, равный , а угол наклона – это начальный фазовый угол и аргумент комплексного числа, равный . Операции сложения и вычитания синусоидальных величин легко могут быть заменены сложением или вычитанием соответствующих векторов. Но для умножения и деления приходится использовать комплексные числа.

Рис. 2. Геометрическое представление синусоидальных величин.

В настоящее время комплексные числа широко используются для упрощения громоздких задач электротехники.

Задача: найти показания вольтметра, амперметра, ваттметра.

Дано:

f (частота сети) – 50 Герц

U_K (напряжение на катушке) – 50 Вольт

L (индуктивность катушки) – 500*10^-3 Генри

R (сопротивление резистора) – 25 Ом

R_K (сопротивление провода катушки) – 10 Ом

C (электроемкость конденсатора) – 30*10^-6 Фарад

Решение:

Найдем комплексное сопротивление последовательно соединенных элементов и активно-индуктивного элемента:

Рассчитаем ток:

Показания амперметра: 0,317 А.

Определим емкостное и комплексное сопротивления конденсатора:

Найдем полное сопротивление цепи:

Вычислим действующее напряжение:

Показания вольтметра: 19,5 В.

Рассчитаем мощность:

Показания ваттметра: 3,51 Вт.

Список литературы

Маркушевич, А.И. Комплексные числа и конформные отображения. Выпуск 13. Популярные лекции по математике / А.И. Маркушевич – 2-е изд.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.

Мышкис, А.Д. Лекции по высшей математике: учебное пособие. / А.Д. Мышкис – 5-е изд.: Лань, 2007. - 640 с.

Бабко А.В., Гулай, Т.А., Плиев, И.И. Комплексные числа в электротехнике / А.В. Бабко, Т.А. Гулай, И.И. Плиев // Аграрная наука, творчество, рост сборник научных трудов по материалам VIII Международной научно-практической конференции : материалы и доклады – 2018.

Гулай, Т.А., Желтяков, В.И. Применение систем линейных алгебраических уравнение при расчете электрических цепей / Т.А. Гулай, В.И. Желтяков // Международный студенческий научный вестник - 2017.

Гулай, Т.А., Жукова, В.А., Мелешко, С.В., Невидомская, И.А. Математика / Т.А. Гулай, В.А. Жукова, С.В. Мелешко, И.А. Невидомская // Рабочая тетрадь - 2015.

Cикоренко M.A., Ушакова В.С. Использование методов математической статистики и теории вероятностей в экономике // Международный студенческий научный вестник. – 2016. – № 3-3.

Код для цитирования: Скопировать