XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Метод решения о предельном переходе в сингулярно возмущенных системах с переменными малыми параметров начнём с рассмотрения системы уравнений с малыми параметрами при производных

µ

Z(0, )=[1]

Приходим к решению вырожденной задачи

0=F( , , t) =F( , , t) (0)= ,

не зависит от t.

В реальных физических процессах малые параметры могут быть функциями времени. Поэтому представляет интерес изучение вопроса о предельном переход в случае, когда (t) – малые положительные функции.

Пусть и – k-мерные постоянные векторы, причем , i=1…k; - множество k-мерных измеримых вектор-функций , удовлетворяющих условию

, i=1…,k; 0 . [2, 6]

Рассмотрим решения x(t, ) = задачи при всевозможных функциях на произвольном отрезке , где 0 .

Введем обозначения: (t,µ) – координаты вектор-функции х(t,µ), (t) – координаты решения (t) = .

(t,µ)= (t,µ)- (t), i=1,…,k + m,

( )= , ( )= ;

( )=

Скалярные величины ( и ( ) при фиксированном зависят только от параметров и , и можно поставить вопрос об их пределе при = .

Далее необходимо учесть, что имеет место оптимальный предельный переход от решения x(t,µ) задачи к решению (t), если для любого

( )=0, ( )=0.

Очевидно, предельный переход в традиционном смысле, когда =const, является частным случаем оптимального предельного перехода при = . Естественно ожидать, что условия предельного перехода будут недостаточными для оптимального предельного перехода.

Итак, вопрос об оптимальном предельном переходе связан с величинами ( ) и ( ). Задачу нахождения этих величин можно сформулировать как типичную задачу оптимального управления, в котором управление u(t)= входит линейно. Если система является линейной также и по отношению к искомым функциям z и y, то мы имеем так называемую билинейную задачу оптимального управления. [3]

Известно, что в билинейной задаче всегда существует оптимальное управление (t)), то есть такой элемент множества допустимых управлений

= , , на котором достигается значение ( ) ( ( )). Поэтому, используя необходимое условие оптимальности, выраженное в форме принципа максимума Понтрягина, можно найти оптимальное управление (t) ( (t)) и затем определить саму величину ( ) ( ( )). Исследуя поведение этих величин при можно выяснить условия, при которых имеет место оптимальный предельный переход. [4, 5]

Рассмотрим более детально такой переход на примере системы =Az, z(0, , 0 ,

где (t)–измеримые функции, 0 (t) =1,2

A= , det A

Соответствующая системе вырожденная система A=0 имеет только тривиальное решение =0. Из теоремы Тихонова следует, что достаточным условием предельного перехода на полуинтервале (0,T] в случае является отрицательность действительных частей собственных значений матрицы А, что эквивалентно выполнению неравенств

det A a+b

Как будет показано, для оптимального предельного перехода условий недостаточно.

Заменим в системе переменную t на переменную

Поскольку - возрастающая функция [0,T], она имеет обратную t= (

Введем обозначение u( = . Для функции x( получается задача

=B(u)x, x(0,u)= ,

0 = (s)ds, где B(u)=

Значения измеримой функции u( лежат на отрезке [ ], где α. Множество всех таких функций обозначим Величины ( ) и ( ) в новых переменных применяют вид

( )= = = ( )

( )= ( , ( ,u)= ( )

(s)ds

Очевидно, что . Поэтому условия оптимального предельного перехода можно теперь записать в виде

( )=0 , где

( )= ( ); ( )= ( )

Путь, например, мы хотим среди измеримых функций u( , определенных на и принимающих значения из , выбрать такое управление = , чтобы достигла своего наибольшего значения при фиксированном начальном условии

х(0,u)= .

Обозначим: =( , ),

Н(х,u, p)= =B(u)x,

( )- траектория системы, соответствующая оптимальному управлению ( ). Тогда, в соответствии с принципом максимума существуют одновременно е равные нулю такие множители Лагранжа , =( , ), что:

а) выполнены условия стационарности

= - = -

б) выполнены условия трансверсальности:

( )= - (1,0), ( = const

в) выполнен принцип максимума Понтрягина

=H.

, = , = , , = , = , = , получим = - , , = + , = , = , a=2bca-2bcd-d

( = ( =

А=( )=exp˟exp,

B= =exp

Отсюда видно, что =0 и =0 лишь тогда, когда для любого положительного числа собственные числа матрицы

отрицательны. Это приводит к условиям det

Выполнение условий необходимо и достаточно для оптимального предельного перехода.

Задача, рассмотренная в данной статье, служит иллюстрацией разработанного метода и показывает его эффективность. [7]

Список литературы

1. Васильев А.Б., Бутузов И.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущённых уравнений. М.: Наука, 1973.

2. Агроинженерия (электронный учебно-методический комплекс) / Попова С.В., Смирнова Н.Б., Долгих Е.В., Крон Р.В. // Международный журнал экспериментального образования. 2009. № S4. С. 6 - 7.

3. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972

4. Попова С.В. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка как математическая модель реальных процессов // Моделирование производственных процессов и развитие информационных систем Даугавпиллский университет, Латвия, Европейский союз Белорусский государственный экономический университет, Беларусь Казахский национальный технический университет, Казахстан Северо-Кавказский государственный технический университет, Россия Ставропольский государственный университет, Россия Ставропольский государственный аграрный университет, Россия / Ставрополь, 2011. С. 181-184.

5. Popova S., Smirnova N. Applications difference equations in mathematical economic models Всборнике: Social and economic innovations: trends, forecasts and perspectives conference proceedings of the Ist International Conference. Russian State Social University (Stavropol branch); under the editorship of PhD, associate professor O. Yu. Kolosova, PhD, senior lecturer K. V. Bagmet, assistent K. A. Andikaeva. Stavropol, 2015. С. 296-300.

6. Линейная алгебра / Крон Р.В., Попова С.В., Смирнова Н.Б., Долгих Е.В. // учебное пособие для студентов вузов сельскохозяйственных, инженерно-технических и экономических направлений / Москва, 2015.

7. Попова С.В., Шкабура А.С. Применение математического аппарата в профессии электроэнергетика / Аграрная наука Северо-Кавказскому федеральному округу: сборник научных трудов по материалам 81-й Ежегодной научно-практической конференции. Ответственный за выпуск Т.А. Башкатова. 2016. С. 214-218.

Код для цитирования: Скопировать