XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Данная статья направлена на исследование эффективности использования способов решения алгебраических уравнений с использованием линейных систем для определения параметров и характеристик электрических цепей.

Электротехника имеет прямую зависимость от математики. Использование математических операций облегчают жизнь огромному множеству инженеров, позволяя решать сложные электротехнические задачи с минимальными временными затратами. Можно утверждать, что развитие инженерных наук, электроэнергетики и электротехники стимулируют формирование математических методик, т.к. великое множество теоретических методов сформировалось благодаря практической потребности. [5] Одним из таких методов является метод наименьших квадратов, появившийся в результате потребности геодезической практики, использование которого позволяет многократно упростить обработку результатов наблюдений. Цель инженерной математики – упрощение понимания инженером-практиком важных математических методов и моделей, направленных на решение тех или иных инженерных задач. Можно утверждать, что инженерия, в том числе и электроэнергетика, не может развиваться без математического аппарата.

Электроэнергетики-практики, при работе с электротехническими расчетами электрических цепей, часто используют системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). [3]

Система уравнений – это условие, заключающееся в единовременном исполнении некоторого количества уравнений относительно нескольких переменных. СЛАУ, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система подобного вида:

где: , , – коэффициенты системы;

– свободные члены.

– неизвестные переменные, которые нам необходимо определить.

История появления СЛАУ обращает нас к трактатам египетских и вавилонских ученых II века до нашей эры, в которых встречаются первые упоминания линейных систем, другие упоминания можно увидеть в трудах китайских мыслителей, в которых в словесной форме описаны методы решения СЛАУ. Один из таких трудов дошел до нас под названием: «Математика в девяти книгах». Но математика не стоит на месте и с тех пор появилось огромное количество различных методов решения линейных систем. В данной статье рассматривается универсальный и, можно сказать, основной метод решения систем линейных уравнений – метод Гаусса. [2]

Принцип данного метода состоит в приведении системы линейных уравнений в результате простейших алгебраических преобразований к ступенчатому виду:

где . Коэффициенты – главные элементы СЛАУ.

После составления ступенчатой системы приступаем к ее решению. В случае, когда СЛАУ является треугольной (), система будет иметь одно единственное решение, если – множество решений.

В электроэнергетике и электротехнике часто встречаются задачи, в которых необходим расчёт электрической цепи, то есть необходим расчёт напряжения и силы тока во всех ветвях цепи. Например, известны сопротивления и ЭДС, но нет значений силы тока. Для решения таких задач используют правила Кирхгофа. [4]

Рассмотрим данный метод на примере конкретной задачи, для решения которой будет использовать метод Гаусса, позволяющий решить практически любую систему и являющийся наиболее простым.

Рассмотрим типовую электрическую схему (рисунок 1). Нам известны сопротивления резисторов и ЭДС источников (). Необходимо определить токи в ветвях цепи.

Рисунок 1. Типовая электрическая цепь

Для расчетов воспользуемся I законом Кирхгофа:

Воспользовавшись II законом Кирхгофа составим уравнения для первого и второго контура:

Теперь из трёх уравнений составляем систему уравнений:

Подставляем известные значения:

Составляем матрицу, используя коэффициенты, стоящие перед неизвестными:

Решение данной системы можно разбить на две стадии. Для начала, используя простейшие алгебраические преобразования, приводим СЛАУ к ступенчатому виду:

Для начала нам необходимо первую строку данной матрицы разделить на 100, что в дальнейшем позволит упростить расчеты и сократить время на их проведение:

Теперь нам необходимо найти сумму первой и третьей строки, умноженной на 1:

Проведем деление второй строки исследуемой матрицы на 150:

Просуммируем вторую и третью строки:

Теперь осталось только решить ступенчатую систему и определить значения токов:

Так как , выходит, что данная система имеет единственное правильное решение, которое нам и осталось найти.

Находим значения токов:

Использования данного метода решения СЛАУ упрощает процесс нахождения параметров электрических схем, а использование ЭВМ позволяет проводить данные расчеты за десятые доли секунды. Таким образом, системы линейных алгебраических уравнений имеют огромное значение в электроэнергетике и электротехнике, упрощая расчеты и сокращая время нахождения переменных. [6]

Список литературы

Маркушевич, А.И. Комплексные числа и конформные отображения. Выпуск 13. Популярные лекции по математике / А.И. Маркушевич – 2-е изд.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.

Мышкис, А.Д. Лекции по высшей математике: учебное пособие. / А.Д. Мышкис – 5-е изд.: Лань, 2007. - 640 с.

Cикоренко M.A., Ушакова В.С. Использование методов математической статистики и теории вероятностей в экономике // Международный студенческий научный вестник. – 2016. – № 3-3.

Долгополова А.Ф., Ковчина Ю.С. Применение методов теории игр при оптимизации выпуска продукции // Международный студенческий научный вестник. 2018. №3-1. С. 62-65.

Шеин В.Г., Долгополова А.Ф. Особенности математического моделирования при прогнозировании спроса // Современные наукоемкие технологии. 2014. №5-2. С. 181-183.

Morozova O.V., Timashkova T.E., Dolgopolova A.F Food import substitution in russia: realities and prospects for the development of agriculture for 2015.//Asian Journal of Scientific and Educational Research. 2015. № 1. С. 180.

Код для цитирования: Скопировать