XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Экономические системы отличаются сложностью устройства, наличием множества элементов и связей между ними. Методы математической статистики позволяют оптимизировать научное исследование и структурировать анализ экономической деятельности [1].

Для исследования большого массива данных в математической статистике используют выборочную совокупность элементов, к которой предъявляется требование репрезентативности [2].

Математическая статистика позволяет на основе полученных данных от работы с выборочной совокупностью оценить свойства генеральной совокупности [3].

Одним из методов математической статистики является регрессионный анализ.В статистическом моделировании регрессионный анализ представляет собой исследование, применяемое с целью оценки взаимосвязи между переменными [4]. Этот математический метод включает в себя множество других методов для моделирования и анализа нескольких переменных, когда основное внимание уделяется взаимосвязи между зависимой переменной и одной или несколькими независимыми [5]. Говоря более конкретно, парный регрессионный анализ помогает понять, как меняется в среднем значение зависимой переменной, если одна из независимых или факторных переменных изменяется, в то время как другие независимые переменные остаются фиксированными [6].

Пример:

По данной выборке случайных величин Х и Y определить: оценки векторов математического ожидания и выборочной дисперсии; выборочную ковариацию; выборочный коэффициент корреляции и выборочные коэффициенты линейных регрессий Y на Х и Х наY. Используя метод наименьших квадратов определить линейную, квадратическую и логарифмическую регрессии. Составить выборочное уравнение линейной регрессии Y/X. Построить поле корреляции и найденные линии регрессии.

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
x	1,3	1,1	3,6	3,9	2,7	4	1,8	0,6	3,8	2,7	0,1	1,4	3,3	3,5	2,2	1,4
y	1,1	2,8	0,9	-1,2	2,9	0,7	2	1,4	-1,1	1	-1,5	-0,2	0,7	-1,6	0,2	0,5

Решение

По имеющейся выборке определим выборочное среднее x и y [7]:

; ;

= 0,54.

Вычислим выборочную дисперсию X и Y [8]:

;

;

Также найдем ковариацию и коэффициент корреляции:

;

.

Легко проверить выполнение правила сложения дисперсий [9]

; ;

.

При совместном исследовании двух случайных величин по имеющейся выборке (х₁, у₂), (х₂, у₂),…,(x_k, y_k) возникает задача определения "наиболее подходящей", в том числе и нелинейной, зависимости между ними. Если вид функции задан, то требуется найти такие значения коэффициентов a, b,..., при которых y_i "наименее" отличаются от f (x_i). В качестве критерия оптимальности часто используют минимум суммы квадратов ошибок

.

Коэффициенты a, b,... функции и сама функция, обеспечивающие минимум критерия (46) называются оптимальными в смысле метода наименьших квадратов для этого класса функций. При этом, для другого класса функций, например , критерий (46) может принять значение еще более близкое к нулю. В этом случае функция , очевидно, лучше описывает статистическую взаимосвязь наблюдаемых признаков, нежели функция .

В качестве оценки тесноты нелинейной корреляционной связи используют коэффициент детерминации (корреляционное отношение), который показывает долю объясненной изменением факторного признака дисперсии от общей дисперсии:

,

где - общая (total) дисперсия результативного признака - относительно общей средней .

- объясненная (межгрупповая, explained) дисперсия - дисперсия точек линии регрессии относительно общей средней ;

- остаточная (внутригрупповая, unexplained) дисперсия - дисперсия признака относительно модельной линии регрессии .

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	ср. знач.
x	0,10	0,60	1,10	1,30	1,40	1,40	1,80	2,20	2,70	2,70	3,30	3,50	3,60	3,80	3,90	4,00	2,34
y	-1,50	1,40	2,80	1,10	-0,20	0,50	2,00	0,20	2,90	1,00	0,70	-1,60	0,90	-1,10	-1,20	0,70	0,54
x^2	0,01	0,36	1,21	1,69	1,96	1,96	3,24	4,84	7,29	7,29	10,89	12,25	12,96	14,44	15,21	16,00	6,98
z=lnx	-2,30	-0,51	0,10	0,26	0,34	0,34	0,59	0,79	0,99	0,99	1,19	1,25	1,28	1,34	1,36	1,39	0,59
Yлин	1,11	0,98	0,85	0,80	0,78	0,78	0,68	0,58	0,45	0,45	0,30	0,25	0,22	0,17	0,14	0,12	0,54
Yкв	-0,56	0,35	0,98	1,16	1,23	1,23	1,41	1,41	1,16	1,16	0,50	0,19	0,02	-0,35	-0,55	-0,77	0,54
Yлог	0,26	0,43	0,49	0,51	0,52	0,52	0,54	0,56	0,58	0,58	0,60	0,60	0,61	0,61	0,61	0,62	0,54
∆y= y - ӯ	-2,04	0,86	2,26	0,56	-0,74	-0,04	1,46	-0,34	2,36	0,46	0,16	-2,14	0,36	-1,64	-1,74	0,16	0,00
∆y^2	4,16	0,74	5,11	0,31	0,55	0,00	2,13	0,12	5,57	0,21	0,03	4,58	0,13	2,69	3,03	0,03	1,84
e1= yx1 - ӯ	0,57	0,44	0,31	0,26	0,24	0,24	0,14	0,04	-0,09	-0,09	-0,24	-0,29	-0,32	-0,37	-0,40	-0,42	0,00
e2= yx2 - ӯ	-1,10	-0,19	0,44	0,62	0,69	0,69	0,87	0,87	0,62	0,62	-0,04	-0,35	-0,52	-0,89	-1,09	-1,31	0,00
e3= yx3 - ӯ	-0,28	-0,11	-0,05	-0,03	-0,02	-0,02	0,00	0,02	0,04	0,04	0,06	0,06	0,07	0,07	0,07	0,08	0,00
e1^2	0,32	0,20	0,10	0,07	0,06	0,06	0,02	0,00	0,01	0,01	0,06	0,09	0,10	0,14	0,16	0,18	0,10
e2^2	1,21	0,04	0,20	0,39	0,48	0,48	0,76	0,76	0,39	0,39	0,00	0,12	0,27	0,79	1,20	1,72	0,57
e3^2	0,08	0,01	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,01	0,01	0,01	0,01
u1= y - yx1	-2,61	0,42	1,95	0,30	-0,98	-0,28	1,32	-0,38	2,45	0,55	0,40	-1,85	0,68	-1,27	-1,34	0,58	0,00
u2= y -yx2	-0,94	1,05	1,82	-0,06	-1,43	-0,73	0,59	-1,21	1,74	-0,16	0,20	-1,79	0,88	-0,75	-0,65	1,47	0,00
u3= y - yx3	-1,76	0,97	2,31	0,59	-0,72	-0,02	1,46	-0,36	2,32	0,42	0,10	-2,20	0,29	-1,71	-1,81	0,08	0,00
u1^2	6,81	0,17	3,78	0,09	0,96	0,08	1,75	0,14	6,01	0,30	0,16	3,41	0,46	1,61	1,81	0,34	1,74
u2^2	0,89	1,10	3,29	0,00	2,05	0,54	0,35	1,47	3,02	0,03	0,04	3,22	0,77	0,56	0,42	2,16	1,24
u3^2	3,10	0,93	5,33	0,35	0,51	0,00	2,13	0,13	5,39	0,18	0,01	4,86	0,09	2,93	3,29	0,01	1,83

Коэффициенты детерминации примут значения [10]:

; ; .

Из рисунка и представленных вычислений видно, что между исследуемыми признаками имеется слабая отрицательная корреляционная связь. Из исследуемых модельных регрессий большей определенностью обладает квадратическая.

Список литературы

Бондаренко Д.В., Бражнев С.М., Литвин Д.Б., Варнавский А.А. Метод повышения точности измерения векторных величин // НаукаПарк. 2013. № 6 (16). С. 66-69.

Бражнев С.М., Шепеть И.П., Литвин Д.Б., Бондаренко Д.В. Оценка потенциальной точности управляемой инерциальной навигационной системы // НаукаПарк. 2015. № 3 (33). С. 75-78.

Гулай Т.А., Долгополова А.Ф., Литвин Д.Б. Совершенствование математической подготовки студентов аграрных вузов // Инновационные векторы современного образования 2012. С. 11-16.

4. Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б. Особенности применения методов математического моделирования в экономических исследованиях // Kant: Экономика и управление. 2013. № 1. С. 62-66.

5. Литвин Д.Б., Хабаров А.Н., Шепеть И.П., Бондарев В.Г., Озеров Е.В. Субоптимальное оценивание вектора угловой скорости объекта по измерениям распределенной акселерометрической системы // Вестник АПК Ставрополья. 2013. № 3 (11). С. 60-63.

6. Долгополова А.Ф., Цыплакова О.Н. Последовательность проведения регрессионного анализа и его применение в экономике / Актуальные вопросы теории и практики бухгалтерского учета, анализа и аудита Ежегодная 75-я научно-практическая конференция. Редколлегия: В.З. Мазлоев, А.В. Ткач, И.С. Санду, И.Ю. Скляров, Е.И. Костюкова, Ответственный за выпуск А.Н. Бобрышев. 2011. С. 127-129.

7. Долгополова А.Ф., Шмалько С.П. Пути повышения качества образования студентов экономических направлений // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. 2016. № 116. С. 228-238.

8. Шепеть И.П., Бражнев С.М., Литвин Д.Б., Балабанов А.Б., Литвина Е.Д. Разработка условного алгоритма контроля и диагностирования информационно-измерительных систем // НаукаПарк. 2014. № 2-2 (22). С. 19-22.

9. Litvin D.B. Мathematical self-concept among university students // Аграрная наука, творчество, рост Сборник научных трудов по материалам IV Международной научно-практической конференции. Ответственный за выпуск Башкатова Т.А.. 2014. С. 326-329.

10. Litvin D., Ghazwan R.Q. Тhinking skills product in mathematics among the students of the university // Экономические, инновационные и информационные проблемы развития региона материалы Международной научно-практической конференции. 2014. С. 5-9.

Код для цитирования: Скопировать