XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

При решении некоторых задач на построение линии пересечения поверхностей более эффективным является использование в качестве секущей поверхности не плоскость, а сферу.

При этом используется одно из свойств поверхности вращения. Это свойство заключается в том, что сфера, центр которой расположен на оси вращения поверхности, пересекает эту поверхность по окружности. Если же ось вращения поверхности при этом параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость проекций эти окружности проецируется в виде отрезков прямых линий.

Соосными называют поверхности с общей осью вращения.

Теорема: Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружности, число которых равно числу точек пересечения главных полу меридианов поверхностей.[1]

Следствие: Если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересечет данную поверхность по окружностям. Если ось же ось вращения поверхности при этом параллельна какой-либо плоскости проекций, тона эту плоскость проекций эти окружности проецируются в виде отрезков прямых линий, а на плоскость проекций, к которой ось вращения перпендикулярна, окружности проецируются в натуральную величину.

Рис. 1 Соосные поверхности.

На чертеже 1 показан цилиндр, ось вращения которого параллельна плоскости проекций π₂. сфера, центр которой С лежит на этой оси вращения, пересечет цилиндр по окружностям. Эти окружности проецируются на плоскость проекций π₂ в виде отрезков прямых (а₂=1₂1'₂ и b₂=2₂2'₂), а на плоскость проекций π₁ – в натуральную величину (а₁=b₁=а=b).

На чертеже 2 изображен конус, ось вращения которого также параллельна плоскости проекций π₂. сфера с центром С, расположенным на оси вращения, пересекает этот конус по окружностям. Эти окружности проецируются на плоскость проекций π₂ в виде отрезков прямых (а₂=1₂1'₂ и b₂=2₂2'₂), а на плоскость проекций π₁ – в натуральную величину (а₁=а, b₁=b).

Для применения данного метода необходимо наличие нескольких условий одновременно:

- обе поверхности – поверхности вращения;

- оси поверхностей пересекаются;

- поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекции П₁ или П₂.

Пример: Построить линию пересечения двух конусов.

Центром концентрических сфер, которые обеспечивают дополнительные построения, необходимые для решения задачи, является точка пересечения осей поверхностей вращения. В данном случае это точка О пересечения осей конусов.

Рассмотрим построение точек пересечения конусов с помощью произвольной сферы. Ее проекция на плоскость проекций π₂ представляет собой окружность такого же радиуса, что и сфера.

Рис. 2 Пример применение метода сфер.

Проекцией на π₂ линии пересечения построенной секущей сферы с конусом является прямая, параллельная основания конуса. Ее можно построить, соединив точки пересечения окружности и контура конуса. Очевидно, что таких прямых две для каждого конуса.

Точки А₂, В₂, С₂ пересечения этих прямых между собой и является фронтальными проекциями точек пересечения конусов. Как видим, используя только одну окружность, можно получить несколько точек пересечения конусов. Ясно, что их не может быть более четырех для одной дополнительно построенной сферы.

Рис. 3 Пример применение концентрических сфер.

Далее построим горизонтальные проекции точек А, В, С, учитывая, что каждая из них является точкой на поверхности прямого конуса для этого достаточно измерить расстояние от оси конуса до его контура по прямой, проходящей через точку, горизонтальную проекцию которой строим. Затем этим радиусом из точки О₁ провести окружность и на ней по линии связи найти горизонтальную проекцию. На чертеже указанные построения выполнены для точки С. Поскольку ей на π₁ соответствуют две точки С и С', то понятно, что на π₂ имеем дело с двумя конкурирующими точками. Поэтому, уточняя предыдущие замечания, следует отметить, что построенная секущая сфера дает не три, а шесть точек пересечения конусов. Построение горизонтальных проекций остальных точек ничем не отличается от вышеприведенного.

Но сначала нужно определить предельные величины радиусов сфер. Очевидно, что максимальный радиус сферы R_max равен наибольшему расстоянию от центра до точки пересечения очерков заданных поверхностей. Сфера минимального радиуса должна касаться одной поверхности и пересекать вторую.

Для того, чтобы построить линию пересечения конусов, точек через которые она проходит, должно быть достаточное количество. Дальнейшее решение поставленной задачи рассмотрим на чертеже. Четыре точки 1₂, 2₂, 3₂, 4₂ имеем без дополнительных построений, так как они лежат на пересечении образующих конусов. Остальные точки на π₂ получим, проведя три окружности. Для окружности радиуса R₁ фронтальными проекциями точек пересечения конусов являются 5₂, 5'₂, 5''₂, 5'''₂. для окружности радиуса R₂ таких точек – две 6₂, 6'₂. Окружность радиуса R₃ дает также три точки – 7₂, 8₂ и 9₂. Очевидно, что проводить окружности радиусом, большим чем О₂4₂, и меньшим, чем R₂, не имеет смысла, так как не получим ни одной точки пересечения.

Как видно, трех окружностей достаточно для того, чтобы построить фронтальную проекцию линии пересечения конусов, соединив найденные точки.

Для построения горизонтальной проекции полученных точек необходимо решить рассмотренную ранее задачу построения точек на поверхности конуса. Так, для построения точки, например, 7₁ надо измерить расстояние по горизонтальной линии, проходящей через 7₂, от оси до контура конуса, а затем этим радиусом из точки О₁ провести дугу. Точка 7₁ лежит на пересечении этой дуги с линией связи, проведенной из 7₂. Аналогично строятся горизонтальные проекции остальных точек.

Поскольку точки 5' и 5'' лежат на образующей горизонтального конуса, которая на π₁ является контурной, то очевидно, что точки 5'₁ и 5''₁ служит точками перехода линии пересечения конусов из видимой зоны в невидимую.

С учетом того, что изображенные поверхности симметричны относительно фронтальной плоскости уровня, соединив построенные точки кривой линией, получим решение в окончательном виде.

В частном случае, когда размеры пересекающихся поверхностей вращения таковы, что обе они могут быть описаны вокруг одной и той же сферы, применима теорема Монжа.

Теорема 10.6 (теорема Монжа)

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в неё, то они пересекаются по двум плоским кривым, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линии касания. [2]

Решение задачи о нахождении линии пересечения конуса и цилиндра, изображенных на чертеже, упрощается, если применить теорему Монжа.

Как видим, обе рассматриваемые поверхности описаны вокруг сферы. Построим решение сначала на π₂. Очевидно, точки C'', D'', E'', F'' являются точками пересечения двух цилиндров, так как лежат на очерков образующих. Тогда в соответствии с теоремой Монжа решением являются две прямые, проходящие через точки C'' и D'' и точки E'' и F'', так как эти прямые представляют собой фронтальные проекции плоскостей, упомянутых в теореме.

Рис. 4 Теорема Монжа.

В данном случае полученные линии пересечения двух цилиндров являются эллипсами. Выбирая точки на фронтальной проекции каждой из линий CD и EF, получаем их горизонтальные проекции.

Построение начинается с определения характерных точек А'' и В'' и проецировании их на плоскость П₁.[3]

Рассмотрим более подробно метод эксцентрических сфер на примере представленном на рисунке 5.

Задаем линию пересечения цилиндра с будущей сферой-посредником.

Находим центр будущей сферы точка О₂, проецируем ее на П₁

Определяем радиусы сферы-посредника.

Строим линию пересечения конуса со сферой-посредника.

Точка К принадлежит линии пересечения цилиндра с конусом. Точки А и В - точки пересечения контуров. Горизонтальные проекции точек найденных точек находим из принадлежности их к цилиндру. Остальные точки находим аналогичным образом.[4]

Рис. 5 Пример применение эксцентрических сфер.

В заключении могу сказать, что на практике теорема Монжа оказывается полезной, когда пересекающиеся поверхности вращения второго порядка описаны около общей сферы. Примером для практической деятельности является конструирование трубопроводов из листового материала.

Рис. 6 Три трубы.

Список литературы:

Окатьева Л.В. Начертательная геометрия: учеб. Пособие. – Киров: ВятГУ, 2007. – 128с.

Супрун Л.И. Основы черчения и начертательной геометрии 2014.

Современный курс начертательной геометрии: Учебник С 56 для инж.-техн. Вузов/ Л.Г. Нартова, А.М. Тевлин, В.С. Полозов, В.И. Якунин; Под ред. Л.Г. Нартовой и А.М. Тевлина. 1996.

Начертательная геометрия Семинар №11 Данилова У.Б., Елисеева О.И. 2015.

Код для цитирования: Скопировать