XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

В настоящее время для создания экономически развитого общества, активного продвижения научно-технического прогресса особая роль отводится математике. Математические методы сегодня находят широкое применение в различных областях естествознания, и в частности в экономике, поскольку все экономические категории и явления имеют количественную основу. Математический аппарат удобен для построения, анализа и дальнейшего изучения моделей экономических процессов и явлений, что дает возможность строить прогнозы и анализировать рыночную ситуацию. Таким образом, изучение количественных соотношений переходит в исследования качественного содержания наблюдаемых явлений и процессов, и наоборот.

При построении математической модели возможны два подхода: индуктивный – от более простой модели к общей модели всего процесса, и дедуктивный – от общей модели к более конкретной. Примером такого подхода может служить известное произведение «Капитал» К. Маркса. Сначала он вводит понятие относительной стоимости, сопоставляя стоимости разнородных товаров, а затем строит математические модели простого и расширенного воспроизводства и, наконец, приводит математическую модель нормы прибыли, произведя при этом ее математический анализ.

Математические модели экономических процессов и явлений (экономико-математические модели) можно классифицировать по разному основанию. Например, по целевому назначению: теоретико-аналитические и прикладные. Первые из них используются в исследованиях общих свойств и закономерностей экономических процессов. Другие применяются в решении конкретных экономических задач. В дальнейшем мы будем рассматривать прикладные модели, которые имеют дело с исключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями. Главным принципом построения таких моделей является получение аналитических результатов посредством математических доказательств и исследований. Модели экономических процессов чрезвычайно разнообразны по форме математических зависимостей. Особую роль в исследовании и построении математических моделей экономических процессов играют основные понятия и характеристики классического математического анализа. Применение теории функций, пределов, определенного и неопределённого интегралов позволяет более глубоко определить сущность экономических процессов, раскрыть новые соотношения между экономическими явлениями, влиять на ход и результаты теоретических исследований. Теория математического анализа моделей экономики в последствии реорганизовалась в отдельную дисциплину под названием математическая экономика.

Анализируя литературные источники по математической экономике, можно сделать вывод, что большинство авторов используют следующее определение экономико-математической модели [1, 2]: экономико-математическая модель – это математическое описание экономического объекта или процесса с целью их исследования и управления ими, это математическая запись решаемой экономической задачи. В учебном пособии [3, с.6] под моделью понимается материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замешает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение лает новые знания об объекте-оригинале. Моделирование в экономике — это воспроизведение экономических объектов и процессов в ограниченных, малых, экспериментальных формах, в искусственно созданных условиях.

В экономике чаше используется математическое моделирование посредством описания экономических процессов математическими зависимостями. Объектом моделирования может быть либо реальная хозяйственная система, либо один или несколько процессов, протекающих в ней. Наиболее часто в экономике фигурирует понятие функции, так как функциональная зависимость позволяет получить наглядное представление изучаемого процесса или явления. В качестве примера рассмотрим линейную паутинную модель рынка, в которой спрос d(p) и предложение s(p) являются линейными функциями цены р. Общие положения теории по паутинной модели рынка можно найти в [4]. Мы лишь остановимся на рассмотрении конкретного примера с подробными пояснениями к нему.

Пример 1. В паутинной модели рынка даны функция спроса , функция предложения и начальная цена . Построить графики этих функций, найти координаты точки рыночного равновесия и несколько узлов ломаной . Получить общую формулу для . Найти .

Решение.

Найдем точку рыночного равновесия . Для этого приравниваем и :

Находим начальное количество товара из функции спроса: .

Находим текущую цену . Она определяется текущим спросом :

.

Количество товара , которое будет выпущено в следующем году, определяется функцией предложения, зависящей от текущей цены: .

Последовательно находим точки ломаной: и так далее. Результаты расчетов изобразим графически на плоскости . Для этого выпишем первые точки ломаной: , (12; 5), (12; 8), (21; 8), (21; 2), (3; 2), (3; 14). Следует отметить, что точки лежат на графике спроса , а точки лежат на графике функции предложений . Особое внимание надо обратить на то, что аргумент р откладывают по оси ординат, а функцию q–по оси абсцисс. Последовательно находим точки ломаной: и так далее. Результаты расчетов изобразим графически на плоскости .

Для этого выпишем первые точки ломаной: , (12; 5), (12; 8), (21; 8), (21; 2), (3; 2), (3; 14). Следует отметить, что точки лежат на графике спроса , а точки лежат на графике функции предложений . Особое внимание надо обратить на то, что аргумент р откладывают по оси ординат, а функцию q–по оси абсцисс.

В результате получили паутинную модель рынка, в которой функции спроса и предложения имеют линейную зависимость с ценой р.

Найдем теперь общую формулу для , воспользовавшись равенством . Здесь k равен отношению коэффициентов при аргументе р, в нашем случае . Следовательно, и , поэтому последовательность является бесконечно большой. На рисунке этот факт отражен направлением стрелок в паутинной диаграмме.

Рассмотрим приложения производной в экономической теории. Математической основой такого приложения является теорема Ферма, которая утверждает: если дифференцируемая на некотором промежутке функция достигает наибольшего ил наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю. Экономической интерпретацией теоремы Ферма является базовый закон теории производства, который утверждает, что оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода. Отсюда следует, что уровень выпуска является оптимальным, если , где – предельные издержки, – предельный доход.

Обозначим функцию прибыли . Тогда , где – функция дохода, а – функция издержек. Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, т.е. такое значение , при котором функция имеет экстремум (максимум).

Пример 2. Найти максимальную прибыль, которую может получить производитель при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене р = 10,5 (ден. ед.) за единицу товара, а функция издержек имеет вид

Решение.

Найдем функцию прибыли

.

Исследуем эту функцию на экстремум. Для этого найдем производную этой функции:

Так как х это количество товара, то , поэтому исследуем производную на промежутке . Так как при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то – точка максимума функции .

Поэтому максимальная прибыль производителя составит 90 денежных единиц.

Уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек. Напомним, что средние издержки это издержки по производству товара, делённые на произведённое его количество. Минимум этой величины достигается в критической точке функции . Рассмотрим более подробнее задачу, которая приведена в [5].

Пример 3. На начальном этапе производства фирма минимизирует средние издержки. В дальнейшем цена единицы товара устанавливается в размере (ден. ед.). Какое оптимальное количество товара должна производить фирма, если функция издержек имеет вид: ?

Решение.

Средние издержки равны отношению функции издержек произведённого товара к его количеству, т.е. Найдём при каком значении х они принимают минимальное значение:

Производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, .

Предельные издержки . При оптимальное значение выпуска задаётся условием . Так как , то Следовательно, .

Значит оптимальное количество выпускаемой продукции .

Приведем теперь пример приложения дифференциального исчисления функции нескольких (и в частности двух) переменных в экономике. К наиболее часто встречающимся таким функциям относятся функция полезности и производственная функция. При решении задач с указанными функциями используется теоремы, устанавливающие необходимые и достаточные условия существования экстремума, а в случае наложения дополнительных условий задача сводится к исследованию функции одной переменной. Например, производственная функция, выражающая результат производственной деятельность от обусловивших его факторов, наиболее часто встречается в виде функции Кобба-Дугласа .

Важнейшим направлением применения дифференциального исчисления в экономике является введение с его помощью понятия эластичности. Коэффициент эластичности показывает относительное изменение исследуемого экономического показателя под действием единичного относительно изменения экономического фактора, от которого он зависит.

Пример 4. Заданы производственная функция и цены и за единицу первого и второго ресурсов соответственно, а так же ограничения не более 500 ден. ед. в сумме, которая может быть потрачена на приобретение ресурсов. Найти величины х и у, при которых фирма получит наибольшую прибыль.

Решение.

Так как в задаче речь идет о двух видах ресурсов, то функция издержек будет иметь вид а получаемая прибыль . Максимизируем функцию при условии . С учетом имеющегося ограничения и функция прибыли запишется в виде

Тогда

В этом случае . Таким образом, наибольшая прибыль будет получена при , а .

Из приведенных примеров можно сделать вывод о том, что уже при решении задач, в которых использовались только основные положения теории функций и экономический смысл производной, можно сделать вывод о том, что модели экономических процессов чрезвычайно разнообразны по форме математических зависимостей. Особенно следует выделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа, вычислений и наглядной интерпретации, вследствие чего они получили наибольшее распространение (например, линейная модель рынка). Однако, различие между линейными и нелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения, но и в теоретико-экономическом отношении, поскольку многие зависимости в экономике носят принципиально нелинейный характер: эффективность использования ресурсов при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при увеличении производства и т.д. Часть таких зависимостей рассмотрена в примерах 2 – 4.

Список литературы:

Багриновский К.А., Матюшок В.М. Экономико-математические методы и модели (микроэкономика): Учебное пособие. – М.: РУДН, 1999. – 183 с.

Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. – М.: Финансы и статистика, 2006. –432 с.

Мирошников А.Л. Курс лекций по дисциплине «Математические методы в экономике». – Новосибирск: СГГА, 2006. – 136 с.

Окунева Е. О., Моисеев С.И. Математические методы исследования экономики. – Воронеж: ВФ МГЭИ, 2013. – 73 с.

Редькина Л.А. Применение методов математического анализа в моделировании экономических процессов// Международный студенческий научный вестник. – 2018. - №3 (часть 1). – С.151-154.

Код для цитирования: Скопировать