XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Теоретико-числовые вопросы вызывают интерес не только у специалистов математиков, но и у значительно более широкого круга людей, задумывающихся над отдельными арифметическими проблемами. Понятие простого числа и арифметической прогрессии являются одними из первых математических абстракций, которые, в свою очередь, имеют важнейшее значение для математики.

Простые числа — это целые натуральные (положительные) числа больше единицы, которые имеют ровно 2 натуральных делителя (только 1 и самого себя), т.е. не делится ни на одно другое число, кроме самого себя и единицы.

К примеру 5 — простое число, поскольку делится только на себя (5:5) и 1 (5:1).

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый следующий член которой получается из предыдущего к нему постоянного числа.

К примеру, последовательность 2; 5; 8; 11; 14…является арифметической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего на три (может быть получен из предыдущего прибавлением тройки):

Доказано, что существует бесконечно много арифметических прогрессий, образованных из разных простых чисел.

Возьмём, например, арифметическую прогрессию с разностью 10:

7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97.

Видно, что в начале среди её членов встречается сравнительно много простых чисел. Но будут ли простые числа, содержащиеся в этой прогрессии, образовывать бесконечное множество или начиная с некоторого места простые числа больше уже встречаться не будут?

Ответ на этот вопрос дал в 1837 году Дирихле. Оказывается, что не только в данной прогрессии, но и в любой другой прогрессии, у которой начальный член взаимно прост с разностью содержится бесконечное число простых чисел.

Теорема Дирихле: Любая арифметическая прогрессия вида a + b×n (n Î N₀) со взаимно простыми a, b содержит бесконечно много простых чисел.

Рассмотрим последовательность {Sn} частичных сумм этой прогрессии. Как указано в выше представленной Вашему вниманию теореме, она образует арифметическую прогрессию 1-го порядка:

= +d*(n-1)+

И отсюда сразу возникает вопрос: А сколько простых чисел встречается в данной прогрессии?

Ответ на этот интересный вопрос даёт следующая теорема:

Теорема. Последовательность частичных сумм {Sn} арифметической прогрессии содержит два простых числа: и .

Доказательство:

Последовательность частичных сумм арифметической прогрессии определяется по формуле:

= +d*(n-1)+

причем закон изменения разности в данном случае имеет вид:

= d*(n-1)+ или = + , где = , = d.

Подставляя в формулу n-го члена арифметической прогрессии, можно заметить, что для 1-го порядка значения и , а также = , получим формулу общего члена последовательности частичных сумм в следующем виде:

= +(n-1)* + или = +

Пусть n = 2k+1, тогда, исходя из этого, мы получим:
= (2k+1)* +(2k+1)*( +1) – составное для любого k € N, т.е. в последовательности частичных сумм любой арифметической прогрессии члены с нечётными номерами не могут быть простыми. Исключением, разве что, является первый член.

Пусть n = 2k, тогда из равенства мы получим следующее:

=2k+k*(2k-1)*d=k*(2 +(2k-1)*d) – составное для всех целых k≥2, т.е. в последовательности частных сумм любой арифметической прогрессии нет простых чисел и среди её членов с честными номерами. Исключением, разве что, является второй член.

Итак, объединяя эти два утверждения, можно сделать вывод: если в последовательности частичных сумм некоторой арифметической прогрессии есть простые члены, то их количество не превышает двух, и они находятся среди первых двух членов последовательности { Sn }.

Например. Пусть = 2, d = 9. Последовательность членов данной арифметической прогрессии выглядят так:

2, 11, 20, 29, 38,…, 2+9*(n-1), …

Соответствующая последовательность { Sn } частичных сумм этой прогрессии: 2, 13, 33, 62, 100, …, 2n+ , …содержит 2 простых числа: =2 и =13.

В 1949 году Сельбергом было опубликовано элементарное доказательство этой теоремы. Для отдельных частных случаев теорема Дирихле может быть получена совершенно элементарно, например, на основании двух вспомогательных теорем:

Теорема: Множество простых чисел вида 4t+3 бесконечное множество.

Теорема: Множество простых чисел вида 4t+1 бесконечное множество.

Однако, ничего из этого не говорит о том, как далеко от начала прогрессии начнут встречаться простые числа.

В этом отношении интересный результат был получен в 1944 году Линником. Теорема Линника устанавливает границу для наименьшего простого числа любой заданной прогрессии.

Теорема Линника: Существует постоянное число с, такое, что при любых взаимно простых k и l (1≤ l ≤ k ) наименьшее простое число, принадлежащее прогрессии l,l+k,l+2k,l+3k...не превосходят k^c.

Исследованием простых чисел в вопросе их принадлежности к арифметической прогрессии, как можно заметить, занимались многие математические мыслители, и в своём развитии были выявлены некоторые интересные факты.

В 1994 году была «найдена» цепочка простых чисел в арифметической прогрессии, которая содержала в себе 22 члена, начиная с 11 410 337 850 553, а разность прогрессии – 4 609 098 694 200.

Для арифметических прогрессий с постоянной разностью самая длинная, из известных, цепочка последовательных простых чисел содержит 6 членов; её разность – 30, а начальный член – 121 174 811. Эта цепочка была найдена Ландером и Паркином в 1967 году.

Второй пример привёл Вейнтрауб: разность равна 30, а начальный член – 999 900 067 719 989.

На современном этапе развития теории чисел проблема распределение простых чисел в арифметических прогрессиях не носит исчерпывающий характер.

Теория чисел в основном является наукой теоретической. Однако её результаты и методы успешно применяются в других разделах математики, многих других науках, а также при решении ряда практических задач.

Список используемой литературы

1.Александров В.А., Горшенин С.М. Задачник-практикум по теории чисел. – М.: Просвещение, 1972. – 81 с.

2. Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1966. – 384 с.

3. Далингер В. А. Поисково-исследовательская деятельность учащихся по математике: учебное пособие. – Омск: Изд-во ОмГПУ, 2005. – 456 с.

4. Далингер В. А., Толпекина Н. В. Организация и содержание поисково-исследовательской деятельности учащихся по математике: учебное пособие. – Омск: Изд-во ОмГПУ, 2004. – 264 с.

Код для цитирования: Скопировать