XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Математический анализ – раздел математики, созданный в XVII в. Важнейшую его часть составляют дифференциальное и интегральное исчисления.

Элементы математического анализа занимают значительное место в школьном курсе математики. Учащиеся овладевают математическим аппаратом, который может быть эффективно использован при решении многих задач математики, физики, техники. Язык производной и интеграла позволяет строго формулировать многие законы природы. В курсе математики с помощью дифференциального и интегрального исчислений исследуются свойства функций, строятся их графики, решаются задачи на наибольшее и наименьшее значения, вычисляются площади и объемы геометрических фигур.

В настоящее время существует много различных программ, в которых осуществляется наглядная иллюстрация данного раздела математики посредством программного обеспечения компьютера. Компьютерная математика – это новое направление в математике, появившееся на пересечении классической математики и информатики. Оно возникло на рубеже нового столетия и связано с успехами внедрения персональных компьютеров (ПК) в практику решения математических задач. Главным средством компьютерной математики стали системы компьютерной математики (СКМ). Любая из существующих СКМ содержит в своем составе в большей или меньшей степени огромный математический аппарат и объем знаний в области математики. Поэтому такие системы могут не только обеспечить решение прикладных задач, но и могут служить практически неисчерпаемой и быстро доступной библиотекой математических знаний, накопленных за многие века.

Актуальность данной темы «Использование систем компьютерной математики для решения задач математического анализа в школьном курсе» определяется тем, что использование методической системы обучения школьников математике на основе пакета СКМ MathCAD, способствует развитию познавательной активности учащихся, становлению аналитического мышления, развитию креативности и интеграции математических знаний.

Целью данной работы является исследование пакета MathCad как средства решения задач математического анализа в школьном курсе математики и разбор с его помощью нескольких конкретных примеров.

Для этого необходимо выполнить следующие задачи:

изучить основные возможности пакета MathCad;

разработать примеры для иллюстрации раздела «Математический анализ» в специализированной программе MathCAD

реализовать эти задачи средствами MathCad.

Рассмотрим несколько примеров решения задач математического анализа с применением математического пакета MachCad

Пример вычисления предела сходящейся последовательности и графическая иллюстрация процесса сходимости.

Число называют пределом последовательности , если в любой заранее выбранной окрестности точки содержаться все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Операторы MathCAD для вычисления пределов расположены на панели Calculus (рис. 1.). Три нижние кнопки предназначены для вычисления пределов. Кнопкой в рабочий документ вставляется оператор вычисления предела функции точке или когда аргумент стремится к бесконечности, кнопками и – операторы вычисления односторонних пределов справа и слева соответственно.

Для того, чтобы вычислить предел, щелкните по свободному месту в рабочем документе, затем щелкните по нужной кнопке. Введите с клавиатуры в помеченных позициях имя или выражение функции и предел предельной точки, который нужно вычислить, выделите все выражение и щелкните по строке Symbolically в пункте Evaluate в меню Symbolics или по кнопке (вычислить символьно) из панели Вычисления (рис. 2.).

Для построения графиков в MathcAD можно воспользоваться функцией Вставка > График > Тип графика или панелью инструментов График (Graph) (рис. 3.).При выборе режима построения двумерного графика в координатных осях Х-У на рабочем листе создается шаблон (Рис.4.) с полями-заполнителями для задания отображаемых данных по осям абсцисс и ординат (имена аргументов и функций или выражения для них, а также диапазоны изменения значений). Заполнитель у середины оси координат предназначен для переменной или выражения, отображаемого по этой оси. В одной графической области можно построить несколько графиков. Для этого надо у соответствующей оси перечислить несколько выражений через запятую.

Последовательность называется сходящейся, если существует конечный предел этой последовательности при , обозначатся

Если предел не существует или равен , то последовательность называется расходящейся.

Пример вычисления бесконечно малой последовательности и её графическое изображение.

Последовательность , предел, который равен нулю, называется бесконечно малой и её предел обозначают .

Пример вычисления бесконечно большой последовательности и её графическое изображение.

Последовательность , называется бесконечно большой, если

Пример вычисления производной

Производной функции данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю

Вычисление производной функции в MathCAD можно осуществить двумя способами: с помощью панели инструментов Calculus и через меню символьных операций Symbolics.

Чтобы найти производную, щелкните по свободному месту в рабочем документе, щелкните в панели Calculus по кнопке , введите с клавиатуры в помеченных позициях имя или выражение функции и аргумента, заключите все выражение в выделяющую рамку и щелкните по строке Symbolically в пункте Evaluate в меню Symbolics (или нажмите по кнопке - вычислить символьно из панели Вычисления). При вычислении производных высших порядков щелкните по кнопке , введите с клавиатуры в помеченныхпозициях имя или выражение для функции, имя аргумента и порядок производной, а дальше действуйте так же, как при вычислении производной первого порядка.

Пример вычисления интеграла.

Совокупность всех первообразных функции называют неопределенным интегралом функции и обозначают .

Пусть функция задана на отрезке и имеет на нём первообразную . Разность называется определённым интегралом функции на отрезке и обозначается .

Символьное вычисление неопределенного интеграла в Mathcad можно выполнить двумя способами: с помощью панели инструментов Calculus и через меню символьных операций Symbolics.

Для того, чтобы найти неопределенный интеграл, щелкните по свободному месту в рабочем документе, затем в панели Calculus по кнопке, введите с клавиатуры в помеченных позициях имя или выражение дляфункции и имя переменной интегрирования, заключите все выражение в выделяющую рамку и щелкните по строке Symbolically в пункте Evaluate в меню Symbolics (или нажмите по кнопке - вычислить символьно из панели Вычисления). Определенный интеграл вычисляется аналогично: щелкните по кнопке , введите в помеченных позициях выражение для функции, имя переменной интегрирования и пределы интегрирования, а дальше действуйте так же, как при вычислении неопределенного интеграла.

Стоит отметить, что при использовании специализированной программы MathCAD в вычислениях производной, пределов и интегралов, пользователю виден только конечный результат, а все промежуточные вычисления отсутствуют. Т.е. учащийся может лишь проверить правильно ли он выполнил вычисления. Хоть это является существенным недостатком, но использование данного математического пакета может применяться на уроках математики и во внеурочной деятельности в целях проверки конечных результатов учеников, что осуществляет наглядность преподавания раздела «Математический анализ» в школьном курсе.

Список литературы:

1. Алленов С.В. Применение графических возможностей СКМ Mathcad // Научно-методические основы совершенствования подготовки учителей информатики: Материалы конференции Коломенского государственного педагогического института по итогам научно-исследовательской работы за 2007 год. Отв. ред. С.В. Алленов – Коломна: КГПИ, 2008. С. 36-42.

2. Дьяконов В.П. Энциклопедия Mathcad 2001i и Mathcad11. – М.: СОЛОН-Пресс, 2004.

3. Дьяконов В.П. Mathcad 2001. Специальный справочник. – Питер. 2001.

Код для цитирования: Скопировать