XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Метод Ньютона – это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции.

Метод итерации — численный метод решения математических задач, приближённый метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Суть такого метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения (являющегося более точным). Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов (итерационный процесс). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня.

Метод касательных был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Модификацией метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить ноль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.

При наличии хорошего приближения x_k к корню x¯ функции f(х) можно использовать метод Ньютона, называемый также методом линеаризации или методом касательных. Расчётные формулы метода могут быть получены путём замены исходного уравнения (1) линейным уравнением в окрестности корня

, (1)

Решение этого уравнения принимается за очередное приближение к искомому корню уравнения

(2)

Метод Ньютона имеет простую геометрическую интерпретацию:

Рис. 1.

График функции заменяется касательной к нему в точке и за очередное приближение принимается абсцисса точки пересечения её с осью OX. Используя эту интерпретацию легко получить расчётные формулы (2) метода Ньютона и вследствие этой интерпретации он именуется также методом касательных.

Здесь x₀, x₁, x₂ последовательные приближения к корню , полученные в результате применения метода Ньютона.

Ясно, что сходимость последовательности к корню зависит от свойств функции f и не всегда имеет место. Так, легко представить, что уже приближение не попадает на исходный интервал и процесс итераций останавливается.

Существуют некоторые теоремы, которые гарантируют сходимость метода Ньютона.

Теорема 1. Если , причём и отличны от нуля (и, следовательно, сохраняют определённые знаки при x ∈ [a,b]), то, исходя из начального приближения x0 ∈ [a,b], удовлетворяющего условию , можно вычислить методом Ньютона по формуле (2) единственный корень уравнения (1) с любой степенью точности.

Практическим критерием окончания вычислений является выполнение условия , где ε – требуемая точность вычисления корня.

Метод Ньютона – удобный способ вычисления корня целой степени.

Рассмотрим задачу о нахождении положительных х, для которых

.

Эта задача может быть представлена как задача нахождения нуля функции

.

Имеем выражение для производной

Так как для всех и для , очевидно, что решение лежит между 0 и 1. Возьмём в качестве начального приближения значение, тогда:

,112141637097,

0,909672693736,

,

Подчёркиванием отмечены верные значащие цифры. Видно, что их количество от шага к шагу растёт (приблизительно удваиваясь с каждым шагом): от 1 к 2, от 2 к 5, от 5 к 10, иллюстрируя квадратичную скорость сходимости.

Иллюстрация расхождения метода Ньютона, применённого к функции с начальным приближением в точке .

Методу Ньютона присущи некоторые недостатки:

Если начальное приближение недостаточно близко к решению, то метод может не сойтись

Если производная не непрерывна в точке корня, то метод может расходиться в любой окрестности корня.

Если не существует вторая производная в точке корня, то скорость сходимости метода может быть заметно снижена.

Если производная в точке корня равна нулю, то скорость сходимости не будет квадратичной, а сам метод может преждевременно прекратить поиск, и дать неверное для заданной точности приближение.

До применения метода Ньютона, необходимо убедится, что метод

Ньютона оказывается сходящимся. Достаточные условия сходимости метода Ньютона определяются следующим условием и только тогда можно вычислить методом Ньютона единственный корень уравнения с любой степенью точности.

Список используемых источников

Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах : Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. — М. : Высшая школа, 1986. — 319 с. : ил. — ББК 22.1 А44. — УДК 517.8(G).

Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров : Учеб. пособие. — М. : Высшая школа, 1994. — 544 с. : ил. — ББК 32.97 А62. — УДК 683.1(G). — ISBN 5-06-000625-5.

Бахвалов Н. С.Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. — 6-е изд. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008 — 636 с. : ил.

Код для цитирования: Скопировать