XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

О много ли мы знаем о фигурных числах? Как их находить и зачем они нужны? Еще со времен пифагорейцев различают множество фигурных чисел. Эти данные были отражены еще в седьмой книге «Начал» Евклида. Данная книга была написана около 300 лет до н.э. В ней говорится о систематическом построение геометрии и теории чисел. Эта книга оказала огромное влияние на развитие математики вплоть до Новейшего времени, высокий интеллектуальный уровень произведения и его фундаментальная значимость для науки в целом. И в своей научной статье я попробую объяснить, что такое многоугольное число, какие виды многоугольных чисел бывают.

Для начала нам нужно понять «что же такое многоугольное число?».Многоугольное число — фигурные числа, общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой.

Определение: n-е по порядку k-угольное есть сумма n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна k-2

Например, треугольные числа получаются как частичные суммы ряда 1+2+3+4…, а четырёхугольным (квадратным) числам соответствует ряд 1+3+5+7

Первый вид многоугольных чисел – треугольные числа.
По рисунку нижу видно, что треугольное число — это число точек, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника.

Существует последовательность треугольных чисел и выглядит она вот так:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, …, , … (последовательность A000217 в OEIS)

Так для треугольных чисел есть формулы, по которым их можно найти.
Эти формулы выглядят следующим образом:

Примером для этих формул существует 1953 – это треугольное число:

Так же для треугольных чисел существует рекуррентная формула:

У треугольного числа есть такое свойство, что сумма двух последовательных треугольных чисел — это полный квадрат, то есть

Например:

6+10=16 10+15=25

Так же помимо треугольных чисел, есть квадратные числа. Квадратное число - число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень которого тоже целый. Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, …, , … (последовательность A000290 в OEIS)

У квадратных чисел есть свои свойства, которые должны выполняться.

Каждое квадратное число, кроме единицы, есть сумма двух последовательных треугольных чисел:

4=1+3; 9=3+6; 16=3+10 и т. д.

Ряд обратных квадратов сходится:

Гипотеза Лежандра (1808 год, она же третья проблема Э. Ландау): между последовательными квадратными числами всегда найдётся простое число. До сих пор не доказана.

Теперь мы знаем, треугольные и квадратные числа и их свойства. Но кроме квадратных чисел существует множество других чисел. Например, пятиугольное число. Пятиугольное число –это центрированное фигурное число, которое представляет пятиугольник, который содержит точку в центре и все точки, окружающие центр, лежат в пятиугольных слоях. Видя ниже рисунок, мы можем сказать, что перед нами фигура, которая имеет пять углов.

Для того, чтобы найти пятиугольник существует формула, и задается она следующим образом:

Данная формула соответствует сумме

Например, восьмое место занимает пятиугольное число 92; значит, 92= , но сумма первых семи чисел натурального ряда составляет 28, а это будет треугольное число, занимающее седьмое место. Значит,

Рассмотрим задачу, для которой можно использовать многоугольные числа.

Условие:

Дана арифметическая прогрессия: 35; 28;21;… Найти сумму членов с 12 по 18 включительно.

Решение:

Первый член . Разность прогрессии можно найти, вычтя из (последующего члена) (предыдущий). (Или из ):

Теперь найдем сумму 18 первых членов, и вычтем из нее сумму 11 первых членов – тогда останется то, что нам и надо::

11=0

Вторая сумма равна 0, поэтому ответ: -441.

В конце я хотела бы закончить свою статью словами великого философа – Аристотеля. Он говорил: «Пифагорейцы были первыми, кто, занявшись математическими науками, продвинул их вперёд; воспитавшись на них, пифагорейцы стали считать их началами всех вещей». Именно пифагорейцы дали нам первые знания о математике, которые потом собирались, словно пазлы по крупинкам. И если бы не они, то навряд ли мы бы могли знать, что же такое « многоугольное число».

Список использованных источников

https://easy-physic.ru/arifmeticheskaya-progressiya-zadachi-na-progressii/

Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.

Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.

Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд.второе. — М.: Просвещение, 1965. — С. 150—155.

Матвиевская Г. П. Заметки о многоугольных числах в записных книжках Эйлера // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1983. — № 27. — С. 27-49.

Серпинский В. Пифагоровы треугольники. — М.: Учпедгиз, 1959. — 111 с.

Стиллвелл Д. Глава 3. Греческая теория чисел // Математика и её история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

Код для цитирования: Скопировать