XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Особое место в планиметрии отведено двум замечательным теоремам: теореме Чевы и теореме Менелая. Эти теоремы не включены в базовую программу курса геометрии средней школы, но их изучение (и применение) рекомендуется всем, кто интересуется математикой чуть больше, чем это возможно в рамках школьной программы. Чем же интересны эти теоремы? Сначала отметим, что при решении геометрических задач продуктивно сочетаются два подхода:

- первый основан на определении базовой конструкции (например: треугольник – окружность; треугольник – секущая прямая; треугольник – три прямых, проходящих через его вершины и пересекающиеся в одной точке; четырехугольник с двумя параллельными сторонами и т.п.);

- второй – метод опорных задач (простых геометрических задач, к которым сводится процесс решения сложной задачи).

Так вот, теоремы Менелая и Чевы относятся к наиболее часто встречающимся конструкциям: первая рассматривает треугольник, стороны или продолжения сторон которого пересечены некоторой прямой (секущей), во второй речь идет о треугольнике и трех прямых, проходящих через его вершины, пересекающиеся в одной точке.

Теорема Менелая (вместе с обратной) показывает закономерность, наблюдающуюся для отношений отрезков, соединяющих вершины некоторого треугольника и точки пересечения секущей со сторонами (продолжениями сторон) треугольника.

На рисунке 1 приведены два возможных случая расположения треугольника и секущей. В первом случае (рис. 1а) секущая пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей, во втором (рис 2б) – продолжения всех трех сторон треугольника.

а) б)

Рисунок 1 - Расположения треугольника и секущей

Теорема 1. (Менелая) Пусть пересечен прямой, не параллельной стороне АВ и пересекающей две его стороны АС и ВС соответственно в точках В₁ и А₁, а прямую АВ в точке С₁ тогда

Теорема 2. (обратная теореме Менелая) Пусть в треугольнике АВС точки А₁, В₁, С₁ принадлежит прямым ВС, АС, АВ соответственно, тогда, если

,

то точки А₁, В₁, С₁ лежат на одной прямой.

Доказательство первой теоремы можно провести так: на секущую прямую опускают перпендикуляры из всех вершин треугольника. В результате получают три пары подобных прямоугольных треугольников. Фигурирующие в формулировке теоремы отношения отрезков заменяют на отношения перпендикуляров, соответствующих им по подобию. Оказывается, что каждый отрезок – перпендикуляр в дробях будет присутствовать дважды: один раз в одной дроби в числителе, второй раз, в другой дроби, в знаменателе. Таким образом, произведение всех этих отношений окажется равным единице.

Обратная теорема доказывается методом «от противного». Предполагается, что при выполнении условий теоремы 2 точки А₁, В₁, С₁ не лежат на одной прямой. Тогда прямая А₁В₁ пересечет сторону АВ в точке С₂, отличной от точки С₁. При этом, в силу теоремы 1, для точек А₁, В₁, С₂ будет выполняться то же отношение, что и для точек А₁, В₁, С₁. Из этого следует, что точки С₁ и С₂ поделят отрезок AB в одинаковых отношениях. Тогда эти точки совпадут – получили противоречие.

Рассмотрим примеры применения теоремы Менелая.

Пример 1. Доказать, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины.

Р ешение. Запишем соотношение, полученное в теореме Менелая для треугольника ABM_bи прямой M_cM(C):

.

Первая дробь в этом произведении очевидно равна 1, а третья - . Поэтому второе отношение равно 2:1, что и требовалось доказать.

Пример 2. Секущая пересекает продолжение стороны AC треугольника ABC в точке B₁ так, что точка C является серединой отрезка AB₁. Сторону AB эта секущая делит пополам. Найдите, в каком отношении она делит сторону BC?

Решение. Запишем для треугольника и секущей произведение трех отношений из теоремы Менелая:

Из условий задачи следует, что первое отношение равно единице, а третье , таким образом, второе отношение равно 2, т.е., секущая делит сторону BC в отношении 2:1.

Следующий пример применения теоремы Менелая мы встретим, когда будем рассматривать доказательство теоремы Чевы.

Большинство замечательных точек треугольника могут быть по­лучены при помощи следующей процедуры.

Пусть имеется некоторое правило, согласно которому мы сможем выбрать определенную точку A₁, на стороне BC (или её про­должении) треугольника ABC (например, выберем середину этой стороны). Затем построим аналогичные точки B₁, C₁ на двух других сторонах треугольника (в нашем примере еще две середи­ны сторон). Если правило выбора удачное, то прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекутся в некоторой точке Z (выбор середин сторон в этом смысле, конечно, удачный, так как медианы треугольника пересекаются в одной точке).

Хотелось бы иметь какой-нибудь общий метод, позво­ляющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.

Универсальное условие, «закрывшее» эту проблему, нашёл в 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева.

Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах (или их продолжениях), называют чевианами, если они пересекаются в одной точке.

В озможны два варианта расположения чевиан (рис. 2).

а) б)

Рисунок 2 – Расположение чевиан

В одном варианте (рис. 2а) точка пересечения – внутренняя, а концы чевиан лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте (рис. 2б) точка пересечения внешняя, конец одного чевиана лежит на стороне, а у двух других чевиан концы лежат на продолжениях сторон.

Теорема 3. (Прямая теорема Чевы) В произвольном треугольнике АВС на сторонах ВС, СА, АВ или их продолжениях взяты соответственно точки А₁, В₁, С₁, такие, что прямые АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в некоторой общей точке, тогда

Доказательство:известно несколько оригинальных доказательств теоремы Чевы, мы рассмотрим доказательство, основанное на двукратном применении теоремы Менелая. Запишем соотношение теоремы Менелая первый раз для треугольника ABB₁ и секущей CC₁ (точку пересечения чевиан обозначим Z):

а второй раз для треугольника B₁BC и секущей AA₁:

Перемножив два этих отношения, проведя необходимые сокращения получим соотношение, содержащееся в утверждении теоремы.

Теорема 4. (Обратная теорема Чевы). Если для выбранных на сторонах треугольника ABC или их продолжениях точек A₁, В₁ и C₁ выполняется условие Чевы:

то прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Доказательство этой теоремы проводится методом от противного, также, как доказательство теоремы Менелая.

Рассмотрим примеры применения прямой и обратной теорем Чевы.

Пример 3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение. Рассмотрим соотношение

для вершин треугольника и середин его сторон. Очевидно, что в каждой дроби в числителе и знаменателе стоят равные отрезки, поэтому все эти дроби равны единице. Следовательно, выполнено соотношение Чевы, поэтому, по обратной теореме, медианы пересекаются в одной точке.

П ример 4. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки A₁, B₁ иC₁ соответственно так, что отрезки AA₁, BB₁ иCC₁ пересекаются в одной точке Q, расположенной внутри треугольника АВС. Пусть Р – точка пересечения отрезков A₁C₁и BB₁. Доказать, что

Доказательство. Эта задача может быть решена несколькими способами, рассмотрим решение, использующее теоремы Менелая и Чевы. Если , то утверждение задачи может быть легко доказано. Рассмотрим случай, когда прямые и пересекаются в точке М.

По теореме Менелая для треугольников и имеем:

откуда

Складывая эти равенства, получаем

(1)

По теореме Менелая для треугольников и имеем:

Учитывая, что , , и складывая уравнения, получаем:

Из теоремы Чевы для треугольника АВС следует, что

Поэтому

(2)

Сравнивая (1) и (2) , получаем требуемое.

Теоремы Чевы и Менелая  просты  в  понимании. Но  трудности,  связанные  с  освоением  этих  теорем, оправданы  их  применением  при  решении  задач.Решение задач с  помощью  теорем Чевы и Менелая  более  рационально , чем их  решение  другими  способами, например  векторным, которое  требует  дополнительных  действий. Решение  задач  с  помощью  этих  теорем  развивает  мышление  и  логику обучающихся. Теоремы Чевы и Менелая  помогают  быстро  и  рациональным способом  решить  задачи  повышенной  сложности, в том  числе  и  задачи  уровня С  единого  государственного  экзамена.

«Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения» Д.Пойа

Список используемых источников

1. Применение ерпем Чевы и Менелая . [Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]- Атанасян, Л.С. Геометрия 7–9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни /. – 22-е изд. – М : Просвещение, 2013. – 255 с. : ил.

2. Применение теорем Чевы и Менелая. [Электронный ресурс]- http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn-p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/591871/

3.Применение теорем Чевы и Менелая. [nsportal.ru]- https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2012/06/01/teorema-minelaya-i-teorema-chevy-i-ikh-primenenie

4. Применение теорем Чевы и Менелая . [Шарыгин И.Ф. Геометрия.]- Задачник.9—11 классы. — М.: Дрофа, 1996.

Код для цитирования: Скопировать