XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Исторический экскурс

Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которых человек узнал еще в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. Платон утверждал, что вообще вся “Поверхность состоит из треугольников”.

Треугольник - первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнаментах. Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются во многих папирусах Древней Греции и Древнего Египта.

В Египте он символизировал триаду духовной воли, любви, интуиции и высшего разума человека, то есть его личность или душу. Прямоугольный треугольник применялся тысячелетия назад строителями египетских пирамид.

В более древних культурах нередко встречаются треугольники как формы декора на керамике, при этом с вершиной, направленной вниз, рассматриваются как «символы воды» (направление падающей капли), а с вершиной, направленной вверх, — как «символы огня» (направление пламени). Наложенные один на другой, оба они образуют шестиконечную звезду.

Ацтеки использовали изображение треугольника с вершиной наверху, соединенного с перевернутым треугольником, в качестве символа временного цикла.

Уже со времён палеолита и неолита в древнем искусстве очень широко распространяются изображения равностороннего треугольника:

- вожди племен североамериканских индейцев носили на груди символ власти: равносторонний треугольник.

- в Африке женщины украшали себя большими пластинами из равносторонних треугольников.

- у христиан равносторонний треугольник означает Троицу - Отца, Сына и Святого Духа.

Еще в древности стали вводить некоторые знаки для обозначения геометрических фигур. Древнегреческий ученый Герон (I век н.э.) впервые применил знак Δ вместо слова треугольник.

В западном искусстве композиционные схемы с треугольниками часто используются в архитектуре и в живописи.

В современности треугольники используются в различных конструкциях, требующих наибольшей прочности, например, при строительстве.

Треугольники используют в различных играх, например в бильярде или боулинге.

Треугольник есть среди музыкальных инструментов

Треугольник можно увидеть на небе.

Также известен Бермудский треугольник — район в Атлантическом океане, в котором происходят таинственные исчезновения морских и воздушных судов.

Педальный треугольник и его свойства

Пусть Р — любая точка внутри треугольника АВС, и пусть перпендикуляры, опущенные из точки Р на стороны ВС, СА, АВ треугольника, будут РА₁, РВ₁ и РС₁. Треугольник А₁В₁С₁ вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным треугольником треугольника АВС для «педальной точки» Р (рис.1).

рис.1

Определение: Педальный треугольник - треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки, находящейся внутри треугольника. А сама эта точка называется педальной точкой.

Рассмотрим некоторые свойства педального треугольника:

Теорема 1. Если расстояние от педальной точки до вершины треугольника АВС равны х, у, z, то длины сторон педального т реугольника равны , где R – радиус описанной окружности.

(рис.2)

Дано: треугольник АВС, Р – педальная точка. АР=х, ВР=у, СР=z, R – радиус описанной окружности.

рис.2

Доказать: 

Доказательство: Около каждого из полученных четырехугольников ВС₁РА₁, СВ₁РА₁, АС₁РВ₁ можно описать окружность (по свойствам описанного четырехугольника). Прямые углы в точках С₁ и В₁ указывают на то, что эти точки лежат на окружности с диаметром АР, другими словами, точка Р лежит на окружности, описанной вокруг треугольника АВ₁С₁. Аналогично, точка Р лежит на окружностях, описанных вокруг треугольников СА₁В₁, ВС₁А₁.

Опишем окружность около четырехугольника АВ₁РС₁; ее диаметром будет АР.

Пусть В₁С₁=а₁, тогда на основании теоремы синусов¹ для треугольника С₁АВ₁ :  (1).

Применив теорему синусов к самому треугольнику АВС, получим   (2).

Разделив почленно равенство (1) на равенство (2), получим: .

Аналогично:  , где  . А так как АР=х, ВР=у, СР=z, то длины сторон педального треугольника равны  .Теорема доказана.

Замечание. Если точка Р является центром описанной окружности (х=у=z=R), то длины сторон педального треугольника равны  .

М ожно расширить условие нахождения педальной точки внутри треугольника. Тогда она может находиться и вне его. Если педальную точку взять на описанной около треугольника окружности, то треугольник «вырождается», а основания перпендикуляров, опущенных от данной точки к сторонам треугольника, лежат на одной прямой, которая называется прямой Симсона.

Теорема 2: Основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда эта точка лежит на описанной окружности.

Рис.3

Открытие этой прямой долго приписывалось Роберту Симсону¹, но в действительности она была открыта лишь в 1797 году Уильямом Уоллесом². Поэтому наряду с традиционным названием этой прямой часто используется исторически более справедливое название прямая Уоллеса.

Т еорема 3: Если из точки L внутри треугольника опущены перпендикуляры l_a, l_b, l_cсоответственно на стороны а, b, с треугольника, то(рис. 4).

Дано: треугольник АВС, а, b, с – стороны, L – педальная точка; l_a, l_b, l_c - перпендикуляры соответственно на стороны а, b, с.

Доказать: 

рис. 4

Доказательство: Соединим точку Lc вершинами треугольника АВС. Треугольник АВС разобьется на три треугольника. Назовем площади этих треугольников S_a, S_b, S_c. Тогда имеем: . Сложив, получим , а так как S_a+S_b+S_c=S, то . Теорема доказана.

Теорема 4: Перпендикуляры, опущенные из точки, лежащей в плоскости треугольника, на его стороны, определяют на сторонах шесть отрезков так, что сумма квадратов трех отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов других трех отрезков (рис. 5).

Дано: треугольник АВС, OL, OM, ON- перпендикуляры, проведенные к сторонам треугольника соответственно.

Доказать:  AL² + BM² + CN² = LB² + MC² + AN².

рис. 5

Доказательство: Так как OL, OM, ON – перпендикуляры, применим теорему Пифагора для соответственных треугольников, получим:

AO² - AL² = BO² - BL², ВО² - ВМ² = ОС² - СМ², ОА² - АN² = ОС² – СN²,

тогда

АL² - BL² = AO² - BO², BM² – MC² = BO² – OC², CN² – NA² = CO² - OA².

Сложив последние три равенства, получим:

AL² - BL² + BM² - MC² + CN² - NA² = 0 или

AL² + BM² + CN² = BL² + MC² + NA². Теорема доказана.

Следующее свойство педального треугольника было открыто Жозефом Нейбергом в 1892 году, в нём рассматриваются педальные треугольники педальных треугольников. Внутренняя точка Р использована для определения треугольника А₁В₁С₁(первого) педального треугольника АВС. Та же самая педальная точка Р снова использовалась для определения педального треугольника А₁В₁С₁, который мы обозначим через А₂В₂С₂ и назовем «вторым педальным треугольником» треугольника АВС. Третья операция дает треугольник А₃В₃С₃ — педальный треугольник треугольника А₂В₂С₂. И для «третьего педального треугольника» использовалась та же самая точка Р.

Теорема 5: Третий педальный треугольник подобен исходному треугольнику (рис.6)

рис. 6

Доказательство: Соединим точки Р и А. Точка Р принадлежит каждой из окружности, описанной вокруг треугольников АВ₁С₁, А₂В₁С₂, А₃В₃С₂, А₂В₂С₁иА₃ В₂С₃. Значит углы С₁АР, С₁В₁Р, А₂В₁Р, А₂С₂Р, В₃С₂Р, В₃А₃Р равны, а значит и углы РАВ₁, РС₁В₁, РС₁А₂, РВ₃А₂, РВ₂С₃, РА₃С₃ так же равны.

Другими словами, две части, на которые прямая АР делит угол А, имеют двойников: одна — при вершине В₁, а другая при вершине С₁, далее при вершинах С₂ и В₂ и, наконец, обе — при вершине А₃. Следовательно, треугольник АВС и треугольник А₃В₃С₃ имеют равные углы при вершинах А и А₃. Аналогично, они имеют равные углы В и В₃. Теорема доказана.

Т очкой Брокара называется такая педальная точка, которая при соединении с вершинами треугольника образует равные чередующиеся углы. Такие углы называются углами Брокара

Заключение

В приведённой статье вы познакомились с понятием и свойствами педального треугольника, а также показали применение его свойств при решении геометрических задач. Следует отметить, что это позволит решать сложные математические задачи просто, красиво и понятно.

Список литературы и Интернет-ресурсов:

Коксетер Г.С., Грейтцер С.Л., Новые встречи с геометрией. – М: Наука, 1978;

Кубышева М.А., Избранные вопросы геометрии.- М, 2006;

Прасолов В.В., Задачи по планиметрии. – М: МЦНМО, 2006;

Фетисов А.И., Геометрия в задачах. – М: Просвещение, 1977;

Шарыгин И.Ф., Геометрия 7-9 класс. – М: Дрофа, 2006;

http://nsportal.ru/

http://artyomtutor.nsknet.ru/

Код для цитирования: Скопировать