XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

«Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике»

Мартин Гарднер

Наверно, каждый из нас слышал об одном выдающимся человеке, которого зовут Блез Паскаль. Блез Паскаль - французский математик, физик, писатель, религиозный философ, автор книги под названием "Трактат об арифметическом треугольнике". Ученый являлся одним из основателей математического анализа, проективной геометрии, создал первые образцы счетной техники, сформулировал основной закон гидростатики.

С его именем связано очень много: кратер на Луне, единица измерения давления системы СИ, язык программирования Pascal, один из университетов в Клермон-Ферране. Но также в честь него назван треугольник, как бы странно это не звучало.

Так что же такое треугольник Паскаля?

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел.

В действительности, треугольник Паскаля был известен задолго до 1653 года - даты выхода "Трактата об арифметическом треугольнике". Так, этот треугольник воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанном в начале XVI Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета. Изображен треугольник и на иллюстрации в книге одного китайского математика, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника около 1100 года, в свою очередь, заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.

Сам Паскаль упоминает треугольник в своей книге «Трактат об арифметическом треугольнике» где исследует свойства «треугольника Паскаля» и его применение к подсчёту числа сочетаний, не прибегая к алгебраическим формулам. Одним из приложений к трактату была работа «О суммировании числовых степеней», где Паскаль предлагает метод подсчёта степеней чисел натурального ряда и как мы все помним, натуральный числовой ряд – это ряд, члены которого являются последовательными натуральными числами: 1 + 2 + 3 + 4 + …

Я думаю, каждый человек сталкивался в повседневной жизни со словом «кортеж», например, автомобильный кортеж. Переводится оно как «торжественное шествие». Примерами кортежей могут служить слова (кортежи, составленные из букв алфавита), десятичные записи чисел (кортежи, составленные из цифр).

Два достаточно схожих понятия: кортеж и множество, но все-таки у них есть отличие. Главным отличием является то, что во множестве все элементы различны, а в кортеже компоненты могут повторяться.

Одним интересным кортежем является треугольник Паскаля, о котором уже было немного сказано выше. У этого треугольника множество свойств, но основным является то, что, не выполняя самого умножения (возведения в степень), с его помощью просто, быстро и точно можно возводить в любую степень двучлен (a+b).

Стоит отметить, что коэффициенты находятся рекуррентно, т.е., для того, чтобы узнать коэффициенты разложения биномиаседьмой степени, надо знать их для шестой, а чтобы узнать для шестой, сначала найти их для пятой и так далее до самого начала.

Но что же такое биномиальные коэффициенты?
Биномиальные коэффициенты — это коэффициенты в разложении бинома Ньютона (1+