XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Для того чтобы широко раскрыть тему вероятностных игр (рис.1), обратимся к понятию вероятности. ВЕРОЯТНОСТЬ – показатель осуществимости тех или иных возможностей при определенных условиях.

(рис.1)

Под вероятностью случайного события в математике понимают меру возможности осуществления данного события в конкретных условиях эксперимента (испытания).

Рассмотрим некоторую конечную полную группу равновозможных элементарных событий (исходов) В₁, В₂, ..., В_n, т. е. со­вокупность всех единственно возможных, несовместных и вместе с тем равновозможных результатов некоторого испытания, при­чем пусть интересующее нас случайное событие А осуществляет­ся тогда и только тогда, когда наступают некоторые из элемен­тарных событий указанной полной группы. Пусть таких событий, благоприятствующих для события А, насчитывается т (естественно, т < п). Тогда вероятность события А определяют следующим образом:

Определение. Вероятностью Р(А) случайного события А называется отношение количества т элементарных событий, благо-препятствующих событию А, к общему количеству элементарных событий п:

Пример:найти вероятность того, что при извлечении наугад одного шара из корзины, в которой находятся 2 белых, 3 зеленых и 5 красных шаров, извлеченный шар окажется зеленым.

Решение: поскольку общее количество элементарных событий (исходов) для данного испытания образует полную группу из n=10 равновозможных событий (по общему количеству шаров в корзине), из которых только т = 3 элементарных события (по количеству зеленых шаров) являются благоприятствующими для интересующего нас события (обозначим это событие через А), по формуле получим:

Ответ: 0,3 - вероятность того, что при случайном извлечении одного шара из корзины, шар окажется зеленым.

Виды вероятностей

1.Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω:

2.Классической вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу

3.Вероятностью случайного события назовем предел, к которому стремится частота события при неограниченном увеличении числа испытаний:

В теории вероятностей исследуются закономерности, относящиеся к случайным событиям, величинам, процессам. Врачи редко задумываются, что постановка диагноза имеет вероятно­стный характер и, как остроумно замечено, лишь патологоанатомическое исследование может достоверно определить ди­агноз умершего человека.

Все понимают, что в жизни следует поступать так, чтобы шансы были наибольшими, хотя это и не даст полной гарантии успеха. Чтобы почувствовать вероятность и оценить шансы, лучше всего с вероятностями поиграть.

Разберем вероятностные игры на примерах.

Игра 1. Минное поле (к изучению геометрических вероятностей).

Играют в нее вдвоем. Каждый рисует на двух листочках по квадрату со стороной в 10 клеток. Под одним квадратом подписывает: “Минирую”, а под другим – “Перехожу”. Каждый игрок втайне от другого минирует соответствующий квадрат одной точкой, которую он ставит в любом месте квадрата. Потом берется заранее заготовленный след (площадь его примерно две клетки), вырезанный из картона, и изображает три следа на квадрате “Перехожу”. Шаги можно делать как угодно, важно, чтобы они полностью уместились в квадрате. Далее игроки открывают друг другу квадраты и смотрят, кто кого подорвал. Если точка-мина легла в след противника, значит, тот подорвался. Это легко проверяется на просвет – наложением одного квадрата на другой или, если квадрат “Минирую” изготовлен отдельно на кальке или полиэтилене(рис.2).

(рис.2)

Подсчитаем вероятность события А - подорваться. Так как S _кв.=100 (клеток), S_сл.=2(клетки) , то

Итак, 3 шанса из 50 подорваться, и 47 шансов из 50 пройти благополучно по минному полю. Пошел бы ты через такое поле? Подведем общий результат по количеству “взрывов” в классе, сделаем вывод, что относительная частота события – подорваться меньше, как и теоретически рассчитанная вероятность того же события.

Прежде, чем мы познакомимся со следующей игрой, поговорим об играх справедливых и несправедливых.

Справедливая игра – это та игра, при которой в начале игры участники имеют равные шансы на выигрыш, то есть вероятности сделать ход у каждого игрока равны.

Несправедливая игра– это та, в которой у игроков неравные шансы на выигрыш.

Игра 2. Морской бой (к изучению геометрических вероятностей).

Как и в предыдущей игре, у каждого из двух игроков есть два одинаковых по размерам бумажных квадрата. Пусть сторона каждого квадрата составляет 10 клеток (рис.3). Игрок 1 на квадрате “Мои корабли” штрихует (занимает кораблями) 10 клеток, а игрок 2 штрихует на своем квадрате 20 клеток. Игрок 1 на квадрате “Мои цели” ставит точки в центре 30 клеток, которые он выбирает совершенно произвольно. Свои 30 точек ставит на своем квадрате “Мои цели” и игрок 2.

(рис.3)

Далее накладываем на просвет квадрат “Мои цели” 1-го игрока на квадрат “Мои корабли” 2-го игрока и подсчитываем число попаданий в корабли; обозначим это число через n₁. Соответственно накладываем на просвет квадрат “Мои цели” 2-го игрока на квадрат “Мои корабли” 1-го игрока и тоже подсчитываем число попаданий – n₂. Можно убедиться по результатам, что n₁ приблизительно в 2 раза больше, чем n₂ (легко сообразить, что вероятность попасть в корабли 2-го игрока в 2 раза больше вероятности попасть в корабли 1-го игрока, так как корабли 2-го игрока занимают в 2 раза больше клеток).

Игра 3. Игра – угадай-ка “Одинаковые или разные?” (к изучению классической вероятности).

Берутся три монетки на каждого ученика и бросаются им одновременно. Предлагается угадать число одинаковых сторон, которые при этом выпадут. Какие исходы возможны?

1 исход:все три стороны будут одинаковы;

2 исход: две стороны одинаковы, третья от них отличается.

Эти два исхода равновероятны? На что вы поставите?

Сначала каждый учащийся выдвигает гипотезу, выбирая один из исходов, а затем она проверяется практически и теоретически.

1.Практическая часть: каждый ученик выполняет 30 бросков трех монеток. При этом в 10 бросках каждый предлагает соседу угадать, какой из исходов наступит. Результаты заносятся в таблицу, которая состоит из двух столбцов: в первом фиксируются исходы с тремя одинаковыми сторонами, общее количество обозначим n₁, во втором – с двумя одинаковыми сторонами, общее количество обозначим n₂. Общее число исходов: N=30. По окончании эксперимента каждый ученик подсчитывает относительную частоту каждого из исходов по формулам:

Нетрудно убедиться, что , так как .

2.Теоретическая часть: для расчета вероятности каждого из исходов по формуле классической вероятности, можно использовать построение дерева возможных вариантов или комбинаторику.

1 способ: Дерево возможных вариантов (рис.4)

(рис.4)

n=8;

m₁=2;

m₂=6;

;

;

Отсюда следует, что P₁ < P₂ в 3 раза,поэтому вероятнее исход с двумя одинаковыми сторонами.

2 способ: по правилу произведения n³=2³=8 (исходов)

1 исход:

2 исход:

Распределение исходов относительно орла или решки соответствует третьей строчке треугольника Паскаля: 1 3 3 1

.

Таким образом, изучив на примерах некоторые виды вероятностных игр, можно сделать вывод, что вероятность – это большой помощник в нахождении того или иного ответа. С помощью вероятности люди всегда ищут какой-либо шанс на удачу, но, как и в любой игре, предсказать исход невозможно, а попытаться найти вероятность – легко, нужно лишь только сделать это правильно, опираясь на достоверные источники.

Список использованных источников

1. Сережина И.Е. Игры с вероятностями. [Электронный ресурс] - Режим доступа: https://scienceforum.ru/2018/article/2018001689

2. Практические 2008-09 (Классическое определение вероятности случайного события). [Электронный ресурс] - Режим доступа: https://studfiles.net/preview/6055012/page:3/

3. Геометрическая вероятность. [Электронный ресурс] - Режим доступа: https://www.berdov.com/works/teorver/geometric_probability/

4. Учебник по теории вероятностей (1.2. Классическое определение вероятности). [Электронный ресурс] - Режим доступа: https://www.matburo.ru/tvbook_sub.php?p=par12

Код для цитирования: Скопировать