XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Во многих прикладных задачах встречаются обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие две или больше неизвестных функций, зависящих от одной переменной (обычно от времени). Такие задачи приводят к системам дифференциальных уравнений. Например, в теории автоматического управления все процессы как электрические, так и состояния устойчивости систем автоматики описываются системами дифференциальных уравнений. Аналитическое решение таких задач, в силу сложности дифференциальных уравнений, содержащихся в них, является часто невозможным. В таких случаях на практике прибегают к численному решению систем дифференциальных уравнений и его реализации в различных математических пакетах и на различных языках программирования.

В данной работе рассматриваются методы численного решения задачи Коши для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка [3]:

1)

где независимая переменная , известные функции от; , неизвестные функции от, удовлетворяющие начальным условиям:

заданные числа. Для получения численного решения системы (1) в работе каждое её уравнение решается методом Эйлера и методом Рунге-Кутты, реализация которых осуществляется с помощью программы MathCad.

Численное решение задачи Коши дифференциального уравнения первого порядка:

состоит в том, что на отрезке вводится сетка узлов интегрирования. При этом расчеты производятся с некоторым постоянным шагом расчетными точкам (узлами) служат точки промежутка . В каждой точке где находятся приближенные значения точного решения Результатом численного решения является таблица (таблица 1) приближенных значений искомого решенияв точках

Таблица 1

	x0	x1	…	xn ≈ b
y	y0	y1	…	yn ≈ y(b)

В

(2)

теории численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений метод Эйлера занимает ключевую позицию. Весь процесс определяется формулой [1]:

На практике более распространен метод Рунге-Кутты 4-го порядка точности. По методу Рунге-Кутты искомые приближенные значения на каждом шаге разбиения вычисляются по формулам [1]:

 

(3)

Метод Эйлера и метод Рунге-Кутты принадлежат одному семейству методов Рунге-Кутты. При разложении функции в ряд Тейлора [3] в окрестности начальной точки имеем

.

При :

,

или

,

где остаточный член, .

Остаточный член характеризует локальную (шаговую) ошибку метода Эйлера [1], а именно ошибку, совершаемую на одном шаге. При многократном применении формулы (2) происходит наложение ошибок и образуется глобальная ошибка. Порядок глобальной ошибки на единицу ниже, чем порядок локальной ошибки. Локальная ошибка метода Эйлера – это бесконечно малая величина от , т.е. , следовательно, глобальная ошибка – бесконечно малая от , т.е. . Поэтому метод Эйлера относится к методам первого порядка точности по .

Локальная ошибка в рассмотренном методе Рунге-Кутты – это бесконечно малая величина от , т.е. . Это объясняется тем, что при применении метода Рунге-Кутты на каждом шаге интегрирования используется не линейная аппроксимация, как в методе Эйлера, а аппроксимация с помощью квадратурных формул Симпсона [1]. Следовательно, глобальная ошибка данного метода – бесконечно малая величина от , т.е. . Поэтому методу Рунге-Кутты 4-го порядка соответствует четвертый порядок точности по .

Проиллюстрируем реализацию данных численных методов решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений на примере.

Пример. Найти численные решения методами Эйлера и Рунге-Кутты задачи Коши для системы дифференциальных уравнений:

(4)

Решение.

1. Получим точное решение системы дифференциальных уравнений (4) операторным методом. Для этого:

1.1. Перейдем от оригиналов к изображениям:

,

1.2. Составим систему относительно неизвестных отображений , :

и решим ее:

1.3. С помощью встроенного в MathCad оператора invlaplace [2] перейдем от изображений к оригиналам, т.е. получим точное решение данной задачи Коши:

2. Далее найдем численное решение данной задачи Коши (4) на отрезке с шагом методом Эйлера. В работе численное решение данной задачи Коши реализовано в пакете MathCad [2]. Приведем текст программы:

Результаты вычислений представлены в таблице 2.

Таблица 2

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
	-1	-0,3	0,41	1,158	1,972	2,883	3,923	5,128	6,54	8,206	10,185
	2	1,8	1,69	1,662	1,712	1,838	2,042	2,33	2,71	3,193	3,794

3. Получим численное решение данной задачи Коши (5) на отрезке с шагом методом Рунге-Кутты. Для него используем встроенный оператор rkfixed [2].

Начальные условия:

Вектор начальных условий:

Вектор правых частей:

Результаты вычислений представлены в таблице 3.

Таблица 3

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
	-1	-0,29	0,458	1,275	1,193	3,249	4,486	5,593	7,709	9,824	12,384
	2	1,844	1,772	1,781	1,871	2,047	2,314	2,685	3,174	3,8	4,588

4. На рисунках 1 и 2 представлены совместные графические решения для каждой искомой функции и : точного решения, а также численных решений по методу Эйлера и методу Рунге-Кутты.

Рис. 1. Совместное графическое решение для

Рис. 2. Совместное графическое решение для

5. Для сравнения приближенных решений, полученных по методу Эйлера и методу Рунге-Кутты составим таблицы 4 и 5 – таблицы абсолютных и относительных погрешностей на каждом шаге интегрирования для каждой искомой функции и .

Таблица 4

Абсолютные и относительные погрешности для

	Точное решение	Решение методом Эйлера	Решение методом Рунге-Кутты	Абсолютная погрешность метода Эйлера	Абсолютная погрешность метода Рунге-Кутты	Относительная погрешность метода Эйлера (%)	Относительная погрешность метода Рунге- Кутты (%)
								0	-1	-1	-1	0	0	0	0
0,1	-0,29	-0,3	-0,29	0,00969	0,00001	3,33877	0,00323
0,2	0,458	0,41	0,458	0,0479	0,00002	10,46104	0,00426
0,3	1,275	1,158	1,275	0,11665	0,00003	9,15181	0,00248
0,4	2,193	1,972	2,193	0,22033	0,00005	10,04819	0,00214
0,5	3,249	2,883	3,249	0,36585	0,00007	11,26061	0,00206
0,6	4,486	3,923	4,486	0,56304	0,00009	12,55173	0,00209
0,7	5,953	5,128	5,953	0,8251	0,00013	13,8608	0,00217
0,8	7,709	6,54	7,709	1,16933	0,00018	15,16862	0,00228
0,9	9,824	8,206	9,824	1,61799	0,00024	16,46901	0,00242
1	12,385	10,185	12,384	2,19954	0,00032	17,76032	0,00258

Таблица 5

Абсолютные и относительные погрешности для

	Точное решение	Решение методом Эйлера	Решение методом Рунге-Кутты	Абсолютная погрешность метода Эйлера	Абсолютная погрешность метода Рунге-Кутты	Относительная погрешность метода Эйлера (%)	Относительная погрешность метода Рунге- Кутты (%)
								0	2	2	2	0	0	0	0
								0,1	1,844	1,8	1,844	0,04381	0	2,376	0,00013
0,2	1,772	1,69	1,772	0,08166	0	4,609	0,00015
0,3	1,781	1,662	1,781	0,11864	0	6,663	0,00004
0,4	1,871	1,712	1,871	0,15952	0	8,526	0,00018
0,5	2,047	1,838	2,047	0,20905	0,00001	10,214	0,00048
0,6	2,315	2,042	2,314	0,27229	0,00002	11,764	0,00081
0,7	2,685	2,33	2,685	0,35494	0,00003	13,218	0,00116
0,8	3,174	2,71	3,174	0,46371	0,00005	14,611	0,0015
0,9	3,8	3,193	3,8	0,60667	0,00007	15,967	0,00182
1	4,588	3,794	4,588	0,79376	0,0001	17,301	0,00212

Сравнивая полученные значения относительных погрешностей вычислений видно, что метод Рунге-Кутты дает наименьшую погрешность, которая на каждом шаге интегрирования не превосходит для и , в то время как относительная погрешность метода Эйлера на каждом шаге более для и для .

Таким образом, в работе рассмотрены методы численного решения задачи Коши системы дифференциальных уравнений первого порядка: метод Эйлера и метод Рунге-Кутты четвертого порядка. Реализация данных численных методов проиллюстрирована на примере, при решении которого получено точное решение данной задачи Коши, построены совместные графические решения, найдены абсолютные и относительные погрешности данных численных методов на каждом шаге интегрирования.

Список литературы

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.И., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Наука, 2002. – 632 с.

2. Охорзин В.А. Прикладная математика в системе Mathcad. – СПб.: Изд-во «Лань», 2009. – 352 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебное пособие для высших технических учебных заведений. Т. 2. – М.: Наука, 1978. – 576 с.

Код для цитирования: Скопировать