XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Все люди сталкиваются с понятием множество каждодневно, ведь множество-это совокупность объектов. Но мало кто задумывается об особенностях, которые могут быть связаны с ними. В данной статье рассматриваются парадоксы теории множеств.

Парадоксами теории множеств называют:

Рассуждения, демонстрирующие противоречивость наивной теории множеств, такие как

Парадокс Рассела,

Парадокс Кантора,

Парадокс Бурали-Форти.

Рассуждения, результат которых интуитивно кажется ложным или «парадоксальным», но которые, тем не менее, являются следствием аксиом формальной теории множеств, включая:

Предложенный Б. Расселом «парадокс Тристрама Шенди»,

Нетривиальные следствия аксиомы выбора:

Парадокс Банаха — Тарского,

Парадокс Хаусдорфа.

Особое место занимает парадокс Сколема, представляющий собой ошибочное рассуждение, которое может быть допущено неспециалистом при применении теоремы левенгейма-сколема к аксиоматической теории множеств.

Парадокс Рассела — открытая в 1903 году Бертраном Расселом и позднее независимо переоткрытая Э. Цермело теоретико-множественная антиномия, демонстрирующая противоречивость наивной теории множеств Г. Кантора.

Антиномия Рассела формулируется следующим образом

Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие.

Противоречие в антиномии Рассела возникает из-за использования в рассуждении понятия множества всех множеств и представления о возможности неограниченного применения законов классической логики при работе с множествами. Для преодоления этой антиномии было предложено несколько путей. Наиболее известный состоит в предъявлении для теории множеств непротиворечивой формализации M, по отношению к которой являлись бы допустимыми все «действительно нужные» (в некотором смысле) способы оперирования с множествами. В рамках такой формализации утверждение о существовании множества всех множеств было бы невыводимым.

Действительно, допустим, что множество U всех множеств существует. Тогда, согласно аксиоме выделения, должно существовать и множество K, элементами которого являются те и только те множества, которые не содержат себя в качестве элемента. Однако предположение о существовании множества K приводит к антиномии Рассела. Следовательно, ввиду непротиворечивости теории M, утверждение о существовании множества U невыводимо в этой теории, что и требовалось доказать.

В ходе реализации описанной программы «спасения» теории множеств было предложено несколько возможных её аксиоматизаций (теория Цермело — Френкеля ZF, теория Неймана — Бернайса — Гёделя NBG, и т. д.), однако ни для одной из этих теорий до настоящего момента не найдено доказательства непротиворечивости. Более того, как показал Гёдель, такого доказательства не может существовать (в некотором смысле).

Варианты формулировок

Одна из них традиционно называется задачей (или парадоксом) брадобрея и звучит так:

Одному деревенскому брадобрею приказали «брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется», как он должен поступить с собой?

Еще один вариант:

В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров», где должен жить мэр Города мэров?

И ещё один:

Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылок на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

1.2. Парадо́кс Ка́нтора — парадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.

Формулировка

Предположим, что множество всех множеств V={x∣x=x} существует. В этом случае справедливо ∀x∀t(x∈t→x∈V), то есть всякое множество t является подмножеством V. Но из этого следует ∀t|t|≤|V| — мощность любого множества не превосходит мощности V. Но в силу аксиомы множества всех подмножеств, для V, как и любого множества, существует множество-степень P(V), и по теореме Кантора |P(V)|=2|V|>|V|, что противоречит предыдущему утверждению. Следовательно, V не может существовать, что вступает в противоречие с «наивной» гипотезой о том, что любое синтаксически корректное логическое условие определяет множество, то есть что ∃y∀z(z∈y↔A) для любой формулы A, не содержащей y свободно.

Не существует максимального кардинального числа. В самом деле: пусть оно существует и равно μ. Тогда по теореме Кантора 2μ>μ.

Вывод: Этот парадокс, открытый Кантором около 1899 г., обнаружил необходимость пересмотра «наивной теории множеств» (парадокс Рассела был открыт несколько позднее, около 1901 г.) и стимулировал разработку строгой аксиоматики теории множеств.

1.3. Парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что предположение о существовании множества всех порядковых чисел ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория множеств, в которой построение такого множества возможно.

Формулировка

В математической литературе встречаются различные формулировки, опирающиеся на разную терминологию и предполагаемый набор известных теорем. Вот одна из возможных формулировок. Можно доказать, что если x — произвольное множество порядковых чисел, то множество-сумма ⋃x есть порядковое число, большее или равное каждому из элементов x. Предположим теперь, что Ω — множество всех порядковых чисел. Тогда ⋃Ω — порядковое число, большее или равное любому из чисел в Ω. Но тогда и ⋃Ω∪{⋃Ω}=⋃Ω+1 — порядковое число, причём уже строго большее, а значит, и не равное любому из чисел в Ω. Но это противоречит условию, по которому Ω — множество всех порядковых чисел.

История

Парадокс был обнаружен Чезаре Бурали-Форти в 1897 году и оказался одним из первых парадоксов, показавших, что наивная теория множеств противоречива, а следовательно, непригодна для нужд математики. Несуществование множества всех порядковых чисел противоречит концепции наивной теории множеств, разрешающей построение множеств с произвольным свойством элементов, то есть термов вида «множество всех x таких, что P» ({x∣P}). Современная аксиоматическая теория множеств накладывает строгие ограничения на вид условия P, с помощью которого можно образовывать множества. В аксиоматических системах типа Гёделя — Бернайса позволяется образование терма {x∣P} для произвольных P, но с оговоркой, что он может оказаться не множеством, а классом.

2.1.Парадокс Тристрама Шенди — рассуждение, предложенное Расселом в книге «Мистицизм и логика» («Mysticism and Logic») в связи с понятием равномощности множеств (см. Мощность множества), демонстрирующее нарушение интуитивного принципа «часть меньше целого» для бесконечных множеств.

Формулировка

В романе Стерна «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена» герой обнаруживает, что ему потребовался целый год, чтобы изложить события первого дня его жизни, и ещё один год понадобился, чтобы описать второй день. В связи с этим герой сетует, что материал его биографии будет накапливаться быстрее, чем он сможет его обработать, и он никогда не сможет её завершить. «Теперь я утверждаю, — возражает на это Рассел, — что если бы он жил вечно и его работа не стала бы ему в тягость, даже если бы его жизнь продолжала быть столь же богатой событиями, как вначале, то ни одна из частей его биографии не осталась бы ненаписанной». Действительно, события n-го дня Шенди мог бы описать за n-й год и, таким образом, в его автобиографии каждый день оказался бы запечатлённым. Иначе говоря, если бы жизнь длилась бесконечно, то она насчитывала бы столько же лет, сколько дней.

Аналогия

Ряд натуральных чисел можно поставить во взаимно однозначное соответствие с рядами квадратов натуральных чисел, степеней двойки, факториалов и т. п.:

1 2 3 4 5 …

1 4 9 16 25 …

2 4 8 16 32 …

1 2 6 24 120 …

Можно привести примеры рядов натуральных чисел со всё более быстрым ростом, представителей которых, как бы редко они ни были расположены в натуральном ряду, будет столько же, сколько натуральных чисел.

Вывод: Данное рассуждение демонстрирует нарушение принципа «часть меньше целого», которое характерно для бесконечных множеств и даже может быть использовано для отличения их от конечных. Критерий бесконечности множества, предложенный Дедекиндом, формулируется следующим образом: «множество является бесконечным, тогда и только тогда, когда оно равномощно некоторой своей части». Можно доказать, что критерий Дедекинда в аксиоматической теории множеств эквивалентен определению бесконечного множества как множества, содержащего счётное подмножество элементов.

2.2.1. Парадокс Банаха — Тарского, или парадокс удвоения шара, говорит, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям.

Два подмножества евклидова пространства называются равносоставленными, если одно можно разбить на конечное число «кусков» и составить из них второе. При этом для удвоения шара достаточно пяти кусков, но четырёх недостаточно.

Более точно, два множества A и B являются равносоставленными, если их можно представить как конечное объединение непересекающихся подмножеств A=∪niAi, B=∪niBi так, что для каждого i подмножество Ai конгруэнтно Bi.

2.2.2. Парадокс Хаусдорфа утверждает, что существует счётное подмножество T двумерной сферы S² такое, что \bar S^2, S^2 с вырезанным T, может быть разбито на три подмножества A, B и C так, что подмножества A, B, C и B ∪C являются попарно конгруэнтными. Парадокс Хаусдорфа — вовсе не логический парадокс, это теорема, только весьма неинтуитивная (в частности, две копии \bar S^2 можно разбить на шесть кусков и составить из них три копии \bar S^2!).

Идея доказательства

Здесь мы докажем упрощённый вариант парадокса, мы покажем, что сферу с выколотым счётным числом точек (назовём её \bar S^2) можно разбить на три попарно конгруэнтных куска A, B и C такие, что B ∪C конгруэнтно подмножеству A. Как и парадокс Хаусдорфа, это утверждение доказывает, что на двумерной сфере нельзя ввести функционал «площади», который бы был определён на всех подмножествах и такой, что конгруэнтные множества имели бы одинаковый объём.

3. Парадокс Сколема представляет собой рассуждение, связанное с использованием теоремы Лёвенгейма — Сколема для аксиоматической теории множеств.

В отличие от парадокса Рассела, парадокса Кантора, парадокса Бурали-Форти, где при помощи логически верных выводов обнаруживается противоречие, «замаскированное» в исходных посылках, «противоречие» парадокса Сколема возникает от ошибки в рассуждениях, и аккуратное рассмотрение вопроса показывает, что собственно парадокса нет. Тем не менее, рассмотрение парадокса Сколема имеет большую дидактическую ценность.

Формулировка

Если система аксиом любой аксиоматической теории множеств непротиворечива, то она в силу теорем Гёделя и Лёвенгейма — Сколема имеет модель и, более того, эта модель может быть построена на натуральных числах. То есть всего лишь счётное множество объектов M (каждый из которых будет соответствовать уникальному множеству) требуется для того, чтобы подобрать значение предиката x∈y для каждой пары объектов, полностью удовлетворяющее системам аксиом теории множеств (например, ZF или ZFC, см. Аксиоматика теории множеств). В такой ситуации для каждого объекта модели y лишь конечное или счётное количество объектов (больше просто нет в предметной области) могут входить в отношение …∈y. Фиксируем такую модель M со счётным M в качестве предметной области.

В силу теорем ZF, вне зависимости от принятой модели в ZF выводимо, например, существование терма P(ω), мощность которого несчётна. Но в счётной модели любое множество вынужденно не более чем счётно — противоречие

Список используемых источников

1.http://poivs.tsput.ru/ru/Math/Logic/TheoryOfSets/MathematicalRelations/OrderTheory/BuraliFortiParadox

2. http://ru.math.wikia.com/wiki/Парадоксы_теории_множеств

3.https://pikabu.ru/story/paradoks_rassela_ili_kto_bree..

4.http://ru.math.wikia.com/wiki/Парадокс_Кантора

5.http://www.wikiwand.com/ru/Парадокс_Тристрама_Шенди

6.http://ru.math.wikia.com/wiki/Парадокс_Сколема

7. http://mediaknowledge.ru/d4a6c9d2f5264b66.html

Код для цитирования: Скопировать