XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Целью нашей работы стало исследование особенностей фрактальной геометрии и ее приложений.

Перед нами были поставлены такие задачи, как исследование классификации фракталов, установление взаимосвязи фрактальных свойств и природных объектов, а также определение основных отраслей применения фракталов.

Разрабатывая данную тематику, мы руководствовались следующими методами: анализ научных работ, публикаций, исследований, связанных с изучением фрактальных свойств; изучение и анализ фрактальных структур; исследование связи между природными объектами и фракталами; выявление областей применения фрактальных свойств природных объектов.

Фрактал (лат. fractus — дробленый, разбитый) — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть она составлена из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Данный термин был введен в 1975 г., и основоположником фрактальной геометрии принято считать Бенуа Мандельброта (Benoît B. Mandelbrot).

Исходя из анализа вторичных данных, была выявлена классификация фракталов:

1. Геометрические: данные структуры образуются путем простых геометрических построений. Это самый наглядный класс фракталов, так как свойство самоподобия в них видно при любых масштабах наблюдения. Примером геометрического фрактала может служить снежинка Коха.

2. Алгебраические: самая крупная группа фракталов. Они создаются при использовании простых алгебраических формул и получаются с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. К алгебраическим фракталам можно отнести множество Жюлиа.

3. Стохастические: способны к формированию, если в итерационном процессе случайным образом происходит замена каких-либо параметров. При этом возникают фрактальные структуры, имеющие сходство с природными. Примером стохастического фрактала является папоротник Барнсли.

К природным объектам, обладающим фрактальными свойствами, можно отнести раковину наутилуса, строение которой представляет собой алгебраический фрактал, снежинку, демонстрирующую свойства геометрического фрактала, и горный хребет, передающий особенность стохастического фрактала.

Фрактальные свойства различных объектов находят широкое применение в жизни человека и являются его спутником, окружают повсеместно.

Так в физикефрактальные алгоритмы делают возможным описание и предсказание свойств твёрдых, пористых, губчатых тел, различных аэрогелей, что способствует созданию новых материалов с необычными и полезными качествами. Свойства фракталов позволяют моделировать динамику турбулентных потоков, языков пламени, облаков. Фрактальное самоподобие применяется при интегрировании, в теории потенциала, используется вместо стандартных объектов в исследованных уравнениях.

Если окунуться в область медицины, топри детальном рассмотрении можно убедиться, что организм человека содержит множество фракталоподобных структур: кровеносная система, бронхи, центральная нервная система и т.п., поэтому ученые развитых стран применяют фрактальные алгоритмы для диагностики сердечно-сосудистых заболеваний, анализа электрогастроэнтерограмм. Также ведутся разработки в обработке медицинских рентгеновских изображений и карт адгезии поверхностей нормальных и раковых клеток вследствие обнаружения разной фрактальной размерности карт.

В геофизике с помощью свойств фракталов, в частности, стохастических, проводится исследование аномалии магнитного поля, климата, изучение распространения волн и колебаний в упругих средах.

Специалисты в области компьютерной графики осуществляютпостроение изображений природного ландшафта, например, деревьев, горных хребтов, поверхностей морей и т.д.

Интересно применение фрактальных свойств в телекоммуникациях, где производится создание фрактальных антенн, отличающихся многодиапазонностью и сравнительной широкополосностью.

Стохастические фракталы востребованы и в геологии. С их помощью осуществляетсявычисление длин побережий островов и континентов, поиск и разработка месторождений полезных ископаемых, оценка сейсмичности и тектоники.

Несмотря на большое разнообразие представленных областей, в которых применяются фракталы и их свойства, это далеко не полный список, поскольку существует великое множество вариантов их использования.

Проведенное исследование позволяет сделать вывод, чтофракталы – удивительное математическое искусство. Благодаря свойству самоподобия, они находят широкое применение. С их помощью становится возможным получение бесконечного множества фигур необычайной красоты и сложности, описание природных объектов, визуализация человеческих органов, моделирование процессов и многое другое, что казалось невозможным еще менее полувека назад до открытия фрактальных свойств.

Список источников:

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт // Институт компьютерных исследований, 2002. — 656 с.

2. Маврикиди Ф. И. Фракталы: постигая взаимосвязанный мир / Ф. И. Маврикиди // Дельфис. — 2000. — № 23(3).

3. Вишневский В. М. Широкополосные беспроводные сети передачи информации / В. М. Вишневский [и др.] // — М.: Техносфера. — 2005. — с. 498—569