XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Уравнение теплопроводности в сплошной среде имеет вид:

где – искомая температура [K];

– коэффициент теплопроводности в направлениях x,y и z соответственно [ ];

Q – источник тепла внутри рассматриваемой области, который считается положительным, если тепло подводится к телу [ ].

В одномерном случае уравнение теплопроводности (1.1) принимает вид:

С уравнением (1.1) связывают два различных типа граничных условий. Если температура известна на некоторой части границы S области, то записывают

где – известная температура на границе S, которая может быть функцией координат точек поверхности S.

Если на границе происходит конвективный теплообмен, который характеризуется величиной или задан поток тепла q, то граничное условие имеет вид:

где h – коэффициент теплообмена [ ];

T – неизвестная температура на границе области [K];

известная температура окружающей среды [K];

– направляющие косинусы нормали к поверхности;

q – поток тепла, который считается положительным, если тепло теряется телом [ ].

Поток тепла q и конвективная потеря тепла не имеют место на одном и том же участке поверхности границы. Если существуют потери тепла за счёт конвекции, то отсутствует отвод или приток тепла за счёт теплового потока и обратно.

Уравнения (1.1) и (1.4) могут быть применены к одномерным и двумерным задачам после простого вычёркивания членов, связанных с ненужными координатами.

Уравнение для одномерной задачи теплопроводности примет вид

Граничное условие (1.4) перепишется в виде:

Если конвективный теплообмен отсутствует и, кроме того, поток тепла равен нулю, то уравнение (1.4) сводится к соотношению:

которое выражает условие существования теплоизолированной границы, где n – внешняя нормаль.

Рассмотрим одномерную задачу расчёта температурного поля в однородном стержне с теплоизолированной боковой поверхностью.

РИСУНОК!!!

К левому концу стержня подводится тепловой поток с заданной интенсивностью q. На правом конце стержня происходит конвективный обмен с окружающей средой, температура которой - . Стержень теплоизолирован, так что потерь тепла через боковую поверхность не происходит.

Запишем дифференциальное уравнение для распределения температуры внутри стержня:

с граничными условиями

и

В вариационном исчислении устанавливается, что для минимизации функционала

необходимо, чтобы удовлетворялось дифференциальное уравнение

с граничными условиями

Уравнения (1.11) и (1.12) идентичны исходным уравнениям (1.7) - (1.9), поэтому любое распределение температуры, при котором функционал , определяется формулой (1.10), становится минимальным, также удовлетворяет дифференциальным уравнениям и, таким образом, является решением рассматриваемой задачи. Оба граничных условия (1.8) и (1.9) содержатся в (1.12), так как поверхностный интеграл в функционале (1.10) может быть разбит на два интеграла по каждой из торцевых поверхностей стержня.

Реализация метода конечных элементов начинается с определения подобластей и их узловых точек. Разобьём стержень на два линейных элемента с неизвестными пока узловыми значениями

Температура внутри элементов находится по формулам:

где верхний индекс – номер элемента.

Соответствующие функции формы определяются соотношениями

Для рассматриваемого примера функционал представляет собой сумму трёх интегралов:

где и – площади торцевых поверхностей, на которых заданы поток q и конвективный теплообмен с окружающей средой соответственно.

Начнём вычисления с интеграла, включающего тепловой поток q:

где – площадь поперечного сечения стержня, соответствующая первому узлу.

Рассмотрим поверхностный интеграл, содержащий коэффициент теплообмена h:

где - площадь поперечного сечения стержня на правом конце;

– температура в третьем узле.

Объёмный интеграл в функционале (1.14) содержит производную от температуры. Дифференцируем (1.13), получаем:

и, аналогично,

Первый (объёмный) интеграл в функционале (1.14) разобьём на два интеграла, потому что выражение производной не сохраняет непрерывность по объёму стержня:

При вычислении интеграла предполагалось, что площадь поперечного сечения каждого элемента постоянна, так что d

Представление объёмного интеграла по области в виде суммы интегралов, каждый из которых вычисляется по отдельному элементу, позволяет рассматривать различные свойства материала для различных элементов. Это является важной особенностью метода конечных элементов.

Окончательное значение функционала получается сложением выражений (1.15), (1.16) и (1.18). В результате получаем выражение для этого функционала через узловые значения температур :

где и .

Искомыми значениями являются те, при которых достигается минимум функционала . Необходимое условие экстремума (1.19) – равенство нулю частных производных, т. е.

=>

или

Система линейных алгебраических уравнений (1.20) может быть преобразована к виду:

или к более общей матричной форме:

[K]*{T}={F}. (1.22)

Матрицу коэффициентов [K] в формуле (1.22) обычно называют глобальной матрицей жесткости. Более правильным было бы назвать её глобальной матрицей теплопроводности, поскольку решается задача о переносе тепла. Вектор-столбец {F} называется глобальным вектором нагрузки.

Найдём числовые значения температур при следующих значениях исходных данных:

( минус потому, что тепло подводится к стержню).

Код для цитирования: Скопировать