Полувписанные сферы

Ваврженчик О.И. 1, Мугаллимова С.Р. 2

1Сургпу

2сургпу

Работа в формате PDF

2.9 MB

Сертификат участника

Комментарии

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Еще с древности сфера была в большом почёте у учёных. Все астрономические наблюдения вызывали образ сферы. И по сегодняшний день сфера так же изучается в различных областях науки и техники. Форму шара имеют множество предметов, это и небесные тела, и спортивные мячи, и икринки рыб, в тех же шариковых ручках, главной деталью без которой не возможно было бы письмо, используется металлический шар, в форме шара делают батискафы, в технике распространены шарикоподшипники и т.д.

Слова «шар» и «сфера» произошли от одного и того же греческого слова «сфайра» – мяч. Впервые Евклид в 11-й книге «Начал» дал определение этим понятиям как телам вращения. Однимиз величайших открытий Архимеда был вывод формулы объёма шара и площади сферы.

Шар – одна из простейших фигур, но о богатсве и разнообразии свойств шара и ее поверхности написано множество книг. Шар обладает многими свойствами. Например, шар является единственным телом, обладающим большей площадью поверхности при объёме, равном объёму других сравниваемых тел, таких как куб или прочие всевозможные многогранники.

Изучение многих физических процессов и математических закономерностей часто приводит к решению задач, связанных с вписанными сферами, которые в свою очередь бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. Полувписанные сферы редко встречаются в практической деятельности и редко рассматриваются в учебно–методической литературе. Задачи, использующие эти понятия, можно отнести к нестандартным.

Объект исследования: свойства многогранников и сферы.

Предмет исследования: методы и приемы решения задач по теме «Полувписанные сферы».

Цельисследования: систематизация материала о полувписанных сферах и его применение к решению задач.

Структура работы: работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.

Глава 1. Теоритические основы полувписанной сферы

Определение1.Сеферой называется множество точек пространства, удаленных от данной точкиО(центра) на заданное положительное расстояние R(радиус). Шаровая поверхность называется еще сферической поверхностью или шаровой поверхностью.

Определение 2. Шаром называетсямножество точек пространства, находящихся от данной точки О на расстоянии, не большем некоторого данного положительного расстояния –R. Указанная точка О – центр шара, указанное расстояниеR – радиус. Шаровая поверхность (рис. 1) является границей, отделяющей шар от окружающего пространства.

Рис. 1

Сам интегральное шар и шаровая поверхность как ознакомились тело получается неточность вращением круга, геометрияследовательно шар можно получить и вращением полукруга около ограничивающего его диаметра.

Определение 3. Отрезок, соединяющий центр шара с какой-нибудь точкой поверхности, называется радиусом этого шара, и расстоянием от центра до огрничивающей его сферы.

Определение 4.Диаметром шара и сферы называют как величину , равную удвоенному радиусу, так и любой отрезок, по которому пересекает шар прямая, проходящая через центр. Точки сферы являются концами диаметра, называются диаментрально противоположными.

Рассмотрим окружность с центром центра О, апология лежащую в плоскости геометрия λ. Будем вращать приближенно ее вокруг диаметраАВ(рис. 2). Тогда техники каждая из точек механические окружности, например М, в познакомились свою очередь одно опишет при математика вращении окружность, прямая имеющую своим геометрия центром точку проективное М₀–проекцию вращающейся искомый точки М на ось возникло вращения АВ. Плоскость этой область окружности перпендикулярна решим к оси вращения. Радиус ОМ, ведущий общую из центра исходной установил окружности в точку М, будет книга сохранять свою объем величину во все веков время вращения, бесконечно и потому точка М все объемы время будет объем находиться на сферической диаметр поверхности с центром успеху Ои основания радиусом R. Таким образом, шаровая поверхность владимир может быть задачами получена вращением была окружности вокруг середина любого из ее диаметров.

Рис. 2

Исследуем вопрос возникло о взаимном расположении шипачев шара и плоскости. Для этого опустим числовперпендикуляр студентов на плоскость. Если одно основание этого объем перпендикуляра М₀окажется вне ражшара (рис. 3), то остальные больше точки плоскости особие и будут аркой лежать вне рисунке шара, так равными как они математика еще больше прямым удалены от

Рис. 3

центра, равен чем основание установил перпендикуляра. В этом основанием случае плоскость кавальери не имеет общих имеет точек с шаром, вращающейся она его тело не пересекает.

Если можно основание перпендикуляра лейбниц окажется на шаровой поверхности (рис. 4), поверхности

то остальные точки рассмотрим плоскости, как геометрия и в предыдущем случае, равна будут лежать вокруг вне шара. Плоскость области будет иметь величин одну общую написал точку споверхностью; профиля такая плоскость меньше называется касательной к шару. Радиус, взаимном проведенный в точку робервалю

касания, перпендикулярен прямой к касательной плоскости.

Рис. 4

Действительно, части если плоскость радиусом имеет с поверхностью последнем шара единственную поверхности общую точку, меняется то эта точка– отрезок ближайшая к центру центр шара по сравнению этими с остальными точками рассмотрим плоскости и потому промера служит основанием кавальери перпендикуляра, опущенного фридман из центра шара высотой на плоскость.

Если, наконец, данную основание перпендикуляра М₀ дана окажется другом внутри шара, аналитическая то плоскость будет геометрия пересекать поверхность если шара, так область как часть показанную ее окажется

в нутри ряду шара, а часть – вне. Пересечение плоскости со сферой представляет

окружность (рис.5).

Рис. 5

Исследуем узнал линию пересечения лейбниц такой плоскости плоскость с шаровой поверхностью. Пусть началь расстояние ее от центра умение шара равно d, d<R. Тогда бесконечно оказывается, что взаимно линия пересечения высота плоскости с поверхностью плоскости шара является гробер окружностью с центром решим в точке М₀ плоскость и радиусом, центр равным . Для однако доказательства проведем тогда через М₀произвольный луч М₀М, лежащий объем в секущей плоскости. Выходя описанной из внутренней области принципы шара во внешнюю, профиля он пересечет поверхность лаборатория шара в некоторой некоторых точке М. изучении Рассмотрим треугольник ОМ₀М лейбниц с прямым углом лейбниц при вершине М₀. Катет М₀М по успеху теореме Пифагора является будет равен . Впрочем, ознакомились постоянство длины плоскости отрезка независимо начертательная от направления луча М₀М в описанной данной получаемым плоскости видно шибасов и без применения рассмотрим теоремы Пифагора (пользуемся площадь равенством прямоугольных общественный треугольников, имеющих центры общие катеты математика и равные гипотенузы). Теперь области видно, что техники все точки прямая пересечения плоскости , лейбниц с поверхностью шара получаемым лежат на одной плос окружности с центром М₀ площадь и данную радиусом, равным . Напротив, равных любая точка получаемым этой окружности прямоугольных удалена от центра ражение шара на расстояние, работах равное , и потому принципы лежит на поверхности написал шара (равно можно как и в плоскости ) и, систему значит, принадлежит лежащую рассматриваемой линии особие пересечения. Из этого юрайт видно, что прямой линия пересечения –полная длина окружность, а не какая-либо рисунке часть ее.

Итак, описанной если длина строгого перпендикуляра, опущенного продолжении из центра редь О шара радиуса R круга на общий данную плоскость, экзамену равна d, то:

при d>R плоскость началь не пересекает шара;

при d=R принадлежит плоскость высо касается шара неточность в одной точке, испр радиус,
проведенный в точку заключение касания, перпендикулярен поэтому к плоскости;

при d<R плоскость цилиндр пересекает шар прямым по окружности, цент
ром находится которой служит шара основание перпендикуляра, успеху опущенного изцентра общий шара на плоскость, веков а радиус равен.

Взаимное расположение шара (сферы) и плоскости описывается следующими теоремами.

Теорема 1. Если расстояние от центра шара до данной плоскости больше радиуса шара, то плоскость не имеет с шаром общих точек.

Теорема 2.Если расстояние от центра шара до плоскости равно радиусу шара, то плоскость имеет с шаром и ограничивающей его сферой только одну общую точку.

Теорема 3.Если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса шара, то пересечение шара с плоскостью представляет собой круг. Центр этого круга находится в основании перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость, или в самом центре шара, если плоскость проходит через центр.

Теорема 4. Если плоскость касается сферы, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Обратно, если плоскость проходит через точку сферы и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она касается сферы.

Определение 5. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Наибольший радиус сечения получается, когда секущая плоскость проходит через центр шара. Круг, получаемый в этом случае, называется большим кругом.

Свойства больших кругов:

Теорема 5. Всякая плоскость, проходящая через центр шара, делит его поверхность на две симметричные и равные части.

Теорема 6. Через две точки шаровой поверхности, не лежащие на концах одного диаметра, можно провести окружность большого круга и только одну.

Теорема 7. Касательная (опорная) плоскость – плоскость касающаяся сферы в одной точке.

Теорема 8. Прямая касается сферы, если она лежит в касательной плоскости к сфере и проходит через точку касания.

Определение 5. Сфера вписана в многогранник (рис.6), если она касается всех его граней. В этом случае говорят, что многогранник описан около сферы.

Рис. 6

Определение 6. Сфера описана около многогранника (рис.7), если она проходит через все его вершины. В этом случае говорят, что многогранник вписан в сферу.

Рис. 7

Если около многогранника можно описать сферу, то около каждой его грани можно описать окружность.

Определение 7. Сфера называется полувписанной в многогранник (рис.8), если она касается всех его ребер.

Определение 8. Центр полувписанной сферы – точка равноудаленная от всех ребер многогранника.

Рис. 8

Если у многогранника существует полувписанная сфера , в каждую грань можно вписать окружность (рис.9). Окружности вписанные в соседние грани касаются общего ребра в одной и той же точке.

Рис. 9

Определение 9. Радиус полувписанной сферы – расстояние от центра сферы до грани многогранника.

Рассмотрим вписанную и описанную сферы в правильных многогранниках, а так же формулы радиуса сферы изпользуя величину a–ребро многогранника ( таблица 1).

Таблица 1.

Тип	r (вписанной сферы)	R(описанной сферы)	S	V	(полувписанной сферы)
Тетраэдр
Гексаэдр
Октаэдр
Икосаэдр
Додекаэдр

В данной таблице мы систематизировали уже известный материал, в том числе мы показали формулы радиуса повписанной сферы, выведенные в ходе выпонения исследовотельской работы. Выводу этих формул посвящена вторая глава.

Практическая часть

Вывод формул радиуса полувписанной сферы для правильных многогранников, при известной длине ребра многогранника.

Вывод формулы радиуса полувписаной сферы тетраэдра