XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Введение. Для технологии процесса сушки важное значение имеет знание температуры материала. В периоде постоянной скорости температура материала равна температуре мокрого термометра, если подвод тепла, необходимого для испарения влаги и нагревания материала, берется из воздуха. При наличии дополнительного подвода тепла теплопроводностью или излучением температура материала на его поверхности будет выше температуры мокрого термометра. В основном температура материала определяется по I-d диаграмме, но это очень трудоемкий процесс, поэтому его автоматизация является актуальной задачей.

В данной работе рассматривается математическое моделирование процесса сушки и определение температуры материла с использованием средств ЭВМ, что значительно облегчает процесс определения.

Методика расчета температуры материала в периоде постоянной скорости сушки. При конвективной сушке сушильный агент передает материалу тепло и уносит влагу, испаряющуюся из материала за счет этого тепла. Таким образом, сушильный агент является тепло- и влагоносителем.

Влажный газ является смесью сухого газа и водяного пара (в большинстве случаев именно вода является влагой в материале). Далее под влажным газом будем подразумевать только влажный воздух.

Влажный воздух как, влаго- и теплоноситель, характеризуется следующими основными параметрами: температурой, абсолютной и относительной влажностью, влагосодержанием и энтальпией. Абсолютная влажность определяется количеством водяного пара в кг, содержащегося в 1 м³ влажного воздуха. С достаточной для технических расчетов точностью можно считать, что влажный воздух подчиняется законам идеальных газов. Тогда водяной пар как компонент газовой смеси (влажного воздуха), находящегося под давлением , должен занимать весь объем смеси. Поэтому абсолютная влажность, равна массе 1 м³ пара, или плотности водяного пара ρ_п (кг/м³) при температуре воздуха и парциальном давлении Р_п. Относительной влажностью, или степенью насыщения воздуха φ называют отношением массы водяного пара в 1 м³ влажного воздуха при данных условиях, температуре и общем барометрическом давлении к максимально возможной массе водяного пара в 1 м³ воздуха или плотность насыщенного пара ρ_н при тех же условиях:

. (1.1)

В соответствии с уравнением состояния идеальных газов Менделеева-Клайперона:

, (1.2)

, (1.3)

где абсолютная температура, К;

масса 1 кмоль водяного пара, равная 18 кг/кмоль;

универсальная газовая постоянная, равная 8314 ;

давление насыщенного водяного пара при данной температуре и общем барометрическом давлении, Па.

Подставляя значения и в выражение (1.1), получим:

. (1.4)

В процессе сушки воздух увлажняется, охлаждается и соответственно меняет свой объем. Использование абсолютной влажности в качестве параметра воздуха усложняет расчеты. Более удобно относить влажность воздуха к единице массы абсолютно сухого воздуха (1 кг сухого воздуха) – величине, не изменяющейся в процессе сушки.

Количество водяного пара, содержащегося во влажном воздухе и приходящегося на 1 кг абсолютно сухого воздуха, называемого влагосодержанием воздуха равно:

, (1.5)

где масса влажного пара и масса абсолютно сухого воздуха в данном объеме влажного воздуха, кг;

плотность абсолютно сухого воздуха, кг/м³.

Для того чтобы установить связь между влагосодержанием и относительной влажностью , подставив в выражение (1.5) значение и , определенные из уравнений (1.2) и (1.3), тогда:

, (1.6)

или

, (1.7)

где парциальное давление абсолютно сухого воздуха, Па.

По закону Дальтона равно разности общего давления влажного воздуха и парциального давления водяного пара в нем:

, (1.8)

а из уравнения (1.4):

. (1.9)

Подставляя в приведенное выше выражение для этих значений и , а также численные значения и , получим:

. (1.10)

Энтальпия I влажного воздуха относится к 1 кг абсолютно сухого воздуха и определяется уравнением при соответствующих параметрах:

, (1.11)

где средняя удельная теплоемкость абсолютно сухого воздуха,

энтальпия водяного пара, .

Известно, что количество испаренной из материала жидкости определяется количеством тепла, подведенного к материалу, а количество тепла в свою очередь определяется уравнением теплопередачи:

, (1.12)

где коэффициент теплопередачи, определяющий среднюю скорость отдачи тепла вдоль всей поверхности теплообмена,

средняя разность температур между теплоносителями, определяющая среднюю движущую силу процесса теплопередачи или температурный напор, ;

время,

поверхность теплообмена, .

Движущая сила теплопередачи – это разность температур сушильного агента и материала. Температура сушильного агента задается по технологическим условиям. Температура материала в периоде постоянной скорости сушки равна температуре мокрого термометра.

Таким образом, чтобы определить движущую силу надо знать температуру мокрого термометра. В расчетах эта температура определяется по I-x диаграмме Рамзина. Для случая применения ЭВМ предлагается вариант расчета, исходящий из условий теоретической сушилки. В соответствии с этим , а это значит, что такой процесс на I-x диаграмме выражается линией I = const. Следовательно, испарение влаги в теоретической сушилке происходит только за счет тепла воздуха, причем количества тепла, отданного воздухом, полностью возвращается в него с влагой, испаряемой из материала.

Энтальпия влажного воздуха складывается из теплосодержания абсолютно сухого воздуха и теплосодержания паров влаги, содержащейся в воздухе, причем энтальпию пара предлагается выражать формулой:

, (1.13)

где теплота парообразования воды,

средняя теплоемкость перегретого пара, .

В итоге, энтальпия воздуха, поступающего на сушку, определяется по формуле:

, (1.14)

где начальное влагосодержание влажного воздуха, кг/кг;

температура сушильного агента, .

Соответственно энтальпия влажного воздуха после процесса сушки:

, (1.15)

где влагосодержание влажного воздуха, кг/кг;

температура мокрого термометра, .

Исходя из условий теоретической сушилки ( ) приравнивая выражения (1.14) и (1.15) получаем:

. (1.16)

Начальное влагосодержание воздуха можно считать величиной неизменной и заранее известной, а конечное влагосодержание воздуха выразим через выражение (1.10). В соответствии с теорией массообмена на поверхности контакта фаз имеет место состояние равновесия. На поверхности жидкости это соответствует состоянию насыщенного влажного газа, то есть, равна единице, отсюда имеем:

. (1.17)

Для расчета давления насыщенного пара воспользуемся уравнением Антуана:

, (1.18)

где А, В и С – эмпирические коэффициенты, зависящие от природы вещества.

Объединяя выражения (1.17) и (1.18) получаем:

, (1.19)

Температура высушиваемого материала также зависит от относительной влажности или степени насыщения воздуха φ. В период постоянной скорости сушки степень насыщения воздуха максимальна и равна единице, так как влага из внутренних слоев материла поступает во внешнею среду и поддерживает постоянное ее количество, поэтому уравнение приобретает следующий вид:

((1.20)

Общий вид функции уравнения (1.20) представлен на рисунке 1.

Рис. 1. Общий вид функции уравнения (1.20)

В периоде постоянной скорости сушки степень насыщения начинает изменяться, так как количество влаги в материале уменьшается, и она уже не может поддерживать постоянное содержание влаги в окружающей среде, поэтому φ вводитсяуравнение. Уравнение приобретает следующий вид:

((1.21)

Проанализировав данное выражение, видим, что неизвестным является только температура мокрого термометра, нахождение которой становится целью данной части работы. Для поиска варианта расчета решим это уравнение относительно каждой из температур входящие в правую часть выражения (1.19), в результате этого получим четыре уравнения:

, (1.22)

, (1.23)

, (1.24)

. (1.25)

Полученные уравнения являются трансцендентными. Для их решения можно применить метод хорд, метод касательных, метод деления отрезка пополам, метод итераций, из которых наиболее простым является метод итераций (метод последовательных приближений).

Решение данных уравнений осуществляется с помощью программ, написанных на языке программирования в среде Mathcad 2001 Professional.

Решение уравнений методом простых итераций проводится в соответствии с блок-схемой, представленной на рисунке 2, в пять этапов:

Рис. 2. Блок-схема решения уравнения методом простых итераций

1. Ввод начальных данных;

2. Вычисление начального приближения;

3. Проверка соблюдения точности;

4. Вычисление следующего приближения корня;

5. Вывод результатов (корень, количество итераций).

В методе простых итераций из начального уравнения выражаем четыре уравнения относительно температуры мокрого термометра (1.22 – 1.25), подставляя различные значения степени насыщения и количество дополнительного тепла, решаем эти уравнения, соблюдая условие, по которому уравнение имеет решение, если на участке изоляции корня модуль первой производной меньше 0,5. Из четырех уравнений почти во всех случаях решение имеет третье уравнение, имеет линейную скорость схождения (см. рисунки 3-6).

Рис. 3. Вид первой производной функции уравнения (1.22)

Рис. 4. Вид первой производной функции уравнения (1.23)

Рис. 5. Вид первой производной функции уравнения (1.24)

Рис. 6. Вид первой производной функции уравнения (1.25)

Решая это уравнение, были получены результаты, представленные в таблице 1 и на рисунке 7.

Таблица 1 – Результаты решения

Qд	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций
	φ = 0,1		φ = 0,2		φ = 0,3		φ = 0,4
-2500	96.31116	10	79.72326	10	70.69284	10	64.56553	10
-2000	98.2926	11	81.5527	10	72.43849	10	66.25417	10
-1500	100.52985	11	83.61784	11	74.40872	10	68.15978	10
-1000	103.08687	12	85.97771	11	76.65976	11	70.33673	11
-500	106.05393	12	88.71565	12	79.27109	12	72.86181	12
0	109.56384	14	91.95443	13	82.3598	13	75.84821	13
500	113.82315	15	95.88528	15	86.10839	15	79.47243	15
1000	119.17757	18	100.82897	18	90.82332	18	84.031	18
1500	126.26971	24	107.38374	24	97.07698	25	90.07829	25

Продолжение таблицы 1

Qд	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций
	φ = 0,5		φ = 0,6		φ = 0,7		φ = 0,8
-2500	59.96512	9	56.30145	9	53.26862	9	50.68822	9
-2000	61.61093	10	57.91318	10	54.85216	10	52.24781	10
-1500	63.46801	10	59.73163	10	56.63868	10	54.00718	10
-1000	65.5893	11	61.80861	11	58.67901	11	56.01638	11
-500	68.04956	12	64.21728	12	61.045	12	58.34611	12
0	70.95906	13	67.06553	13	63.8426	13	61.10065	13
500	74.48973	15	70.52168	14	67.23709	14	64.44272	14
1000	78.93057	18	74.86868	18	71.5064	18	68.64598	18
1500	84.82223	25	80.63614	25	77.17098	26	74.223	26

Продолжение таблицы 1

Qд	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций
	φ = 0,9		φ = 1,0
-2500	48.44738	9	46.47034	9
-2000	49.9862	10	47.99086	10
-1500	51.72204	10	49.70596	10
-1000	53.70423	11	51.66436	11
-500	56.00251	11	53.93493	11
0	58.71971	13	56.61923	13
500	62.01631	14	59.87576	14
1000	66.16224	18	63.97116	18
1500	71.66326	26	69.40515	26

Рис. 7. График зависимости количества итераций от количества, дополнительно подведенного тепла в методе простых итераций

Решение уравнений методом дихотомии проводится в соответствии с блок-схемой, представленной на рисунке 8, в шесть этапов:

1. Ввод начальных данных;

2. Выполнение первой итерации;

3. Проверка соблюдения точности;

4. Определение границ нового отрезка для текущего приближения;

5. Вычисление следующего приближения корня;

6. Вывод результатов (корень, количество итераций).

Рис. 8. Блок-схема решения уравнения методом дихотомии.

В данном случае общий вид функции уравнения (1.20) будет представлен зависимостью, показанной на рисунке 9.

Рис. 9. Общий вид функции при решении уравнений методом дихотомии

Данный метод наиболее универсален, так как предъявляет минимальные требования к функции, требует лишь непрерывность функции на участке изоляции корня, но при этом снижается скорость сходимости метода (имеет линейную скорость схождения). Решая уравнение методом дихотомии получили результаты, представленные в таблице 2 и на рисунке 10.

Таблица 2 – Результаты решения

Qд	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций
	φ = 0,1		φ = 0,2		φ = 0,3		φ = 0,4
-2500	96.31116	25	79.72326	24	70.69284	21	64.56553	24
-2000	98.29261	25	81.5527	23	72.43849	26	66.25417	26
-1500	100.52985	23	83.61784	25	74.40871	26	68.15978	24
-1000	103.08687	26	85.97771	26	76.65976	26	70.33673	26
-500	106.05393	25	88.71565	26	79.27109	24	72.8618	26
0	109.56384	24	91.95444	24	82.3598	25	75.84821	24
500	113.82315	22	95.88529	26	86.10839	25	79.47243	26
1000	119.17757	25	100.82897	25	90.82332	25	84.031	25
1500	126.26971	25	107.38373	26	97.07699	25	90.07829	20
2000	136.504	25	116.86453	26	106.13091	26	98.83815	24
2500	153.99038	26	133.1652	26	121.74208	27	113.96853	27

Продолжение таблицы 2

Qд	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций
	φ = 0,5		φ = 0,6		φ = 0,7		φ = 0,8
-2500	59.96512	25	56.30145	23	53.26862	22	50.68822	25
-2000	61.61093	25	57.91318	26	54.85216	25	52.24781	25
-1500	63.46801	23	59.73163	26	56.63868	23	54.00718	25
-1000	65.5893	26	61.80861	22	58.67901	26	56.01638	26
-500	68.04956	26	64.21727	26	61.045	25	58.34611	24
0	70.95906	26	67.06553	26	63.84261	24	61.10065	24
500	74.48973	26	70.52168	25	67.23709	25	64.44272	21
1000	78.93056	25	74.86868	26	71.5064	23	68.64598	24
1500	84.82223	26	80.63615	26	77.17098	24	74.223	26
2000	93.35962	24	88.99564	26	85.38286	26	82.30911	25
2500	108.12359	23	103.46505	26	99.60689	25	96.32345	25

Продолжение таблицы 2

Qд	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций
	φ = 0,9		φ = 1,0
-2500	48.44738	26	46.47034	26
-2000	49.9862	26	47.99086	25
-1500	51.72204	26	49.70596	21
-1000	53.70423	26	51.66436	25
-500	56.00251	22	53.93493	24
0	58.71972	24	56.61923	25
500	62.01631	26	59.87576	25
1000	66.16224	25	63.97116	26
1500	71.66326	24	69.40515	21
2000	79.64007	23	77.28551	23
2500	93.47173	27	90.95561	27

Рис. 10. График зависимости количества итераций от количества, дополнительно подведенного тепла в методе дихотомии

Решение уравнений методом хорд проводится в соответствии с блок-схемой, представленной на рисунке 11, в пять этапов:

1. Ввод начальных данных;

2. Определение начальной точки и вычисление первого приближения;

3. Проверка соблюдения точности;

4. Вычисление следующего приближения корня;

5. Вывод результатов (корень, количество итераций).

Рис. 11. Блок-схема решения уравнения методом хорд

Метод хорд требует вычисления второй производной на начальном шаге, но при этом имеет более высокую скорость сходимости по сравнению с метод половинного деления. Недостатком метода является отсутствие четкого условия окончания вычислительного процесса.

В данном случае общий вид функции уравнения (1.20) будет представлен зависимостью, показанной на рисунке 12.

Рис. 12. Общий вид функции при решении уравнений методом хорд

Решая уравнение методом дихотомии получили результаты, представленные в таблице 3 и на рисунке 13.

Таблица 3 – Результаты решения

Qд	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций
	φ = 0,1		φ = 0,2		φ = 0,3		φ = 0,4
-2500	96.31116	6	79.72277	634	70.69272	168	64.56522	407
-2000	98.29261	5	81.55223	604	72.43839	160	66.25387	387
-1500	100.52984	30	83.61739	572	74.40861	151	68.15951	367
-1000	103.08686	28	85.97729	538	76.65967	142	70.33647	344
-500	106.05392	26	88.71527	502	79.271	132	72.86157	320
0	109.56384	23	91.95409	462	82.35972	121	75.848	294
500	113.82314	20	95.88497	417	86.10833	109	79.47224	264
1000	119.17756	27	100.8287	367	90.82326	95	84.03083	231
1500	126.2697	22	107.38351	307	97.07694	78	90.07817	192
2000	136.504	15	116.86437	233	106.13088	57	98.83805	141
2500	153.99038	12	133.16513	121	121.74207	24	113.9685	64

Продолжение таблицы 3

Qд	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций
	φ = 0,5		φ = 0,6		φ = 0,7		φ = 0,8
-2500	59.96379	1.494E+3	56.23181	49580	53.26638	2363	50.68768	657
-2000	61.60967	1.424E+3	57.84723	47430	54.85004	2253	52.2473	626
-1500	63.46683	1.349E+3	59.6696	45110	56.63668	2135	54.00669	592
-1000	65.58819	1.268E+3	61.75074	42600	58.67715	2008	56.01593	556
-500	68.04854	1.181E+3	64.16387	39840	61.04329	1870	58.34569	517
0	70.95813	1.085E+3	67.01696	36800	63.84105	1718	61.10028	474
500	74.4889	978	70.4784	33360	67.2357	1548	64.44239	426
1000	78.92985	856	74.83135	29400	71.50521	1354	68.64569	371
1500	84.82166	712	80.60572	24630	77.17001	1122	74.22277	306
2000	93.35921	527	88.9738	18420	85.38217	825	82.30895	222
2500	108.12341	243	103.45577	8599	99.60662	362	96.3234	92

Продолжение таблицы 3

Qд	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций
	φ = 0,9		φ = 1,0
-2500	48.44714	316	46.46188	7620
-2000	49.98598	301	47.98285	7273
-1500	51.72183	285	49.69843	6902
-1000	53.70403	267	51.65735	6499
-500	56.00233	248	53.92846	6060
0	58.71955	227	56.61336	5575
500	62.01617	204	59.87054	5030
1000	66.16212	177	63.96669	4403
1500	71.66316	145	69.40153	3649
2000	79.64001	104	77.28296	2670
2500	93.47171	39	90.95464	1118

Рис. 13. График зависимости количества итераций от количества, дополнительно подведенного тепла в методе хорд

Решение уравнений методом касательных проводится в соответствии с блок-схемой, представленной на рисунке 14, в пять этапов:

1. Ввод начальных данных;

2. Определение начальной точки и вычисление первого приближения;

3. Проверка соблюдения точности;

4. Вычисление следующего приближения корня;

5. Вывод результатов (корень, количество итераций).

Рис. 14. Блок-схема решения уравнения методом касательных

Метод касательных требует от функции наличия второй производной, которая вычисляется на каждом шаге, что является достаточно трудоемким процессом, взамен метод обеспечивает высокую скорость сходимости, имеет наиболее высокую скорость из всех рассмотренных методов (квадратная скорость сходимости).

В данном случае общий вид функции уравнения (1.20) будет представлен зависимостью, показанной на рисунке 12.

Рис. 15. Общий вид функции при решении уравнений методом касательных

Решая уравнение методом касательных получили результаты, представленные в таблице 4 и на рисунке 16.

Таблица 4 – Результаты решения

Qд	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций
	φ = 0,1		φ = 0,2		φ = 0,3		φ = 0,4
-2500	96.31116	3	79.72326	10	70.69284	8	64.56553	9
-2000	98.29261	3	81.5527	10	72.43849	8	66.25417	9
-1500	100.52985	5	83.61784	10	74.40871	8	68.15978	9
-1000	103.08687	5	85.97771	10	76.65976	8	70.33673	9
-500	106.05393	5	88.71565	10	79.27109	8	72.8618	9
0	109.56384	5	91.95444	10	82.3598	8	75.84821	9
500	113.82315	5	95.88529	9	86.10839	7	79.47243	9
1000	119.17757	5	100.82897	9	90.82332	7	84.031	9
1500	126.26971	5	107.38373	9	97.07699	7	90.07829	8
2000	136.504	4	116.86453	9	106.13091	6	98.83815	8
2500	153.99038	4	133.1652	7	121.74207	5	113.96853	6

Продолжение таблицы 4

Qд	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций
	φ = 0,5		φ = 0,6		φ = 0,7		φ = 0,8
-2500	59.96512	11	56.30145	17	53.26862	12	50.68822	10
-2000	61.61093	11	57.91318	17	54.85216	12	52.24781	10
-1500	63.46801	11	59.73163	17	56.63868	12	54.00718	10
-1000	65.5893	11	61.80861	17	58.67901	12	56.01638	10
-500	68.04956	11	64.21727	17	61.045	12	58.34611	10
0	70.95906	11	67.06553	17	63.84261	12	61.10066	10
500	74.48973	11	70.52168	16	67.23709	12	64.44272	10
1000	78.93056	11	74.86868	16	71.5064	11	68.64597	9
1500	84.82223	10	80.63615	16	77.17098	11	74.223	9
2000	93.35962	10	88.99564	15	85.38286	10	82.30911	8
2500	108.12359	9	103.46505	14	99.60689	9	96.32345	7

Продолжение таблицы 4

Qд	температура	кол-во итераций	температура	кол-во итераций
	φ = 0,9		φ = 1,0
-2500	48.44738	9	46.47034	14
-2000	49.9862	9	47.99086	14
-1500	51.72204	9	49.70596	14
-1000	53.70423	9	51.66436	14
-500	56.00251	9	53.93493	14
0	58.71972	9	56.61923	14
500	62.01631	8	59.87576	13
1000	66.16224	8	63.97116	13
1500	71.66326	8	69.40515	13
2000	79.64007	7	77.28551	12
2500	93.47173	6	90.95561	11

Рис. 16. График зависимости количества итераций от количества, дополнительно подведенного тепла в методе касательных

На основании полученных данных выбираем метод касательных как характеризующийся наименьшим количеством итераций. С использованием метода касательных строим графики зависимости температуры от степени насыщения воздуха и от количества дополнительно подведенного тепла (см. рисунки 17 и 18).

Рис. 17. Зависимость изменения температуры от степени насыщения воздуха

Рис. 18. Зависимость изменения температуры от количества дополнительно подведенного тепла

Заключение

В данной работе была исследована зависимость изменения температуры материала при сушке от степени насыщения воздуха и дополнительного подвода тепла в барабанной сушилке. Расчет был произведен с использованием ЭВМ, в качестве программной среды использовался Mathcad 2001 Professional. По результатам работы наиболее оптимальным методом для определения температуры является метод касательных, так как он имеет наименьшую скорость сходимости. Также было определенно, что температура зависит от степени насыщения воздуха обратно пропорционально, а от количества дополнительно подведенного тепла прямо пропорционально.

Список литературы

1. Лыков, М.В. Сушка в химической промышленности / М.В. Лыков. – М.: Химия, 1970. – 432 с.

2. Касаткин А.Г. Основные процессы и аппараты химической технологии: Учебник для вузов. Изд. 13-е, стер. – М.: АльянС, 2006 – 750 с.

3. Дытнерский Ю.И. Процессы и аппараты химической технологии: Учебник для вузов. Изд. 2-е. В 2-х кн.: Часть II. Массообменные процессы и аппараты. Изд. 3-е – М.: Химия, 2002. – 368 с.

4. Баранов Д.А. и др. Процессы и аппараты химической технологии. Явления переноса, макрокинетика, подобие, моделирование, проектирование: Учебное пособие для вузов: в 5 т / под ред. А.М. Кутепова. Т. 1: Основы теории процессов химической технологии – М.: Логос, 2000. – 478 с.

Код для цитирования: Скопировать