XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Усилиями Дель Ферро, Тартальи, Кардано и Феррари в первой половине XVI века были открыты способы решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени. Предложенный Кардано прием искусственной подстановки оказался весьма эффективный для дальнейшего развития алгебры. Он явился той основой, на которой великому французскому математику Франсуа Виету (1540 – 1603) удалось создать применяемый до настоящего времени «общий способ преобразования уравнений». Но заслуги миланского врача на этом не ограничиваются: он первым из математиков не только дал способы решения уравнений, но и попытался проникнуть в их природу, сформулировать положения, общие для всех алгебраических уравнений. В этом главная историческая ценность «Великого искусства».

Заметим, что до появления этой книги уравнения с несколькими корнями относили к диковинкам, а отрицательные корни, как правило, вообще не принимались во внимание. Кардано, решая в восемнадцатой главе уравнения

 , ,

нашел, что каждое из них имеет по три корня:

; ;

соответственно. Более того, в первой главе книги («Великое искусство»), написанной, вероятно, позже остальных глав, он приводит примеры уравнений, имеющих различное число корней:

− ни одного корня,

− один корень (2),

− два корня (3; −7),

− три корня (−3; ; ),

− четыре корня (2; −2; 3; −3).

Таким образом, Кардано возводит исключение в правило и открывает перед алгеброй безграничные горизонты, закладывая основы для определения характера и числа корней уравнения по его виду и виду его коэффициентов.

В «Великом искусстве» Кардано учит различать не только характер корней трехчленных кубических уравнений, но задолго до Декарта высказывает основополагающую идею «правила знаков». В современной формулировке это правило, записанное у Кардано, выглядит следующим образом: если в уравнении

сосчитать число перемен и повторений знаков между его последовательными членами, то выяснилось, что уравнение может иметь столько положительных корней, сколько перемен знаков, и столько отрицательных корней, сколько повторений знаков.

Относительно этого правила Кардано приводит в главе семнадцатой следующие мнение. Выделяя в уравнении «крайние деноминации» (крайние знаки) и «средние (или «вставные») деноминации», он рассматривает перечисленные ниже случаи.

Крайние деноминации равны между собой (т.е. все члены уравнения по одну сторону от знака равенства имеют более высокую степень, чем члены, находящиеся по другую сторону).

Примеры:

, , .

В этом случае имеется одно изменение знаков, и уравнение имеет один положительный корень.

Крайние деноминации равны средним.

Примеры:

, .

Здесь два изменения знаков, и уравнение имеет два положительных корня, если только оно не «ложное» (т.е. не имеет только комплексно сопряженных корней).

Крайние и средние деноминации уравниваются, чередуясь между собой.

Пример:

.

Здесь более двух изменений знаков, и уравнение может иметь три корня.

Кардано доказывает сформулированные положения.

Например, в случае уравнения его рассуждения таковы.

Имеются величины , которые, по словам Кардано, «доставляют» (удовлетворяют неравенству) . Тогда по мере увеличения х кубический член увеличивается быстрее, чем квадратичный член рх² , а по мере того, как х становится меньше, х³ уменьшается медленнее, чем рх², поскольку пропорция увеличивается и уменьшается вместе с соответствующим изменением х.

Следовательно, неравенство можно преобразовать в равенство , которое можно заставить посредством изменения х как увеличиваться, так и уменьшаться. Поэтому уравнение имеет два корня.

Конечно, подобные «доказательства» лишены строгости, и их следует рассматривать скорее как комментарии к сформулированным положениям. Кардано использует их в первой главе, в которой он анализирует характер корней трехчленных кубических уравнений.

Например, для уравнения

, (1)

он указывает следующие возможные случаи.

При есть два корня: один положительный и один отрицательный, причем абсолютная величина положительного корня в два раза больше абсолютной величины отрицательного.

При есть три корня: один положительный и два отрицательных, причем абсолютная величина положительного корня является суммой абсолютных величин отрицательных корней.

При есть один корень – положительный.

Остальные пять видов трехчленных кубических уравнений рассматриваются аналогичным образом.

Как утверждал впоследствии голландский историк математики Гравелар, карданово «различение характера корней в трехчленных уравнениях даже с современной точки зрения едва ли оставляет желать лучшего».

Хотя Кардано при изложении результатов своего исследования ограничился действительными значениями корней, все же мнимые величины не ускользнули от его внимания.

Он впервые столкнулся с ними при решении уравнения

, (1)

когда при ему пришлось извлекать кубический корень из мнимой величины. После многих неудачных попыток он понял, что столкнулся с «неприводимым случаем» (как он его назвал) – «casusirreducibilis» − и обратился за объяснениями к Тарталье, но тот не смог помочь ему.

Этот «неприводимый случай» очень смущал Кардано, так как ограничивал применимость формулы дель Ферро – Тартальи. Он не понимал, почему, при решении уравнения получается бессмысленный результат:

,

в то время как уравнению удовлетворяет «истинный» корень .

Заметим, что рассматриваемое уравнение имеет еще два отрицательных корня: и . Вообще же можно показать, что в «неприводимом случае» все корни действительные.

Так же, как впоследствии Рафаэль Бомбелли, Кардано пытался свести кубические корни вида к виду , чтобы при сложении мнимые числа исчезли. Он потратил много времени этим попыткам, получил интересные частные результаты, которые затем привел в «Правиле Ализа», но окончательно справиться с «неприводимым случаем» так и не смог.

Вместе с тем в процессе своих исследований Кардано сделал важный шаг в понимании природы мнимых величин, которые он называл «минусом корня» («radixm») или «воображаемым минусом» («msofisticum»).

Решая задачу о делении числа 10 на две части, произведение которых равно 40 , т.е. определяя корень квадратного уравнения , он получил числа и . При этом он показал, что если с этими числами производить вычисления как с обычными двучленами и полагать , то они действительно будут удовлетворять условию задачи.

В тридцать седьмой главе «Великого искусства» Кардано ставит одну за другой четыре задачи, которые сводятся к решению уравнения

.

Требуется найти две величины, для которых:

сумма равна 6, а произведение равно 40; ответ: ;

сумма равна 6, а произведение равно −40; ответ: ;

сумма равна −6, а произведение равно 40; ответ: ;

сумма равна −6, а произведение равно −40; ответ: .

Кардано отмечает, что вторая и третья задачи дают «чистый минус», а первая и четвертая – «воображаемый минус». Он вычисляет суммы и произведения полученных ответов и подчеркивает, что первые всегда равны коэффициенту при первой степени неизвестной (q), а вторые – свободному члену (r).

Из приведенных примеров ясно, что Кардано понимал необходимость учета комплексных корней при решении квадратных уравнений. Более того, в тех случаях, когда ему удавалось свести решение кубического уравнения, например,

к решению квадратного уравнения

,

которому удовлетворяли комплексные корни , от его внимания не мог ускользнуть тот факт, что среди корней исходного уравнения также имеются и корни комплексного вида .

Именно поэтому можно утверждать, что современное деление корней на положительные, отрицательные и комплексные, о котором впервые было написано в книге «Новое открытие в алгебре» (1629) голландца Альбера Жирара (1590 – 1632), ведет свое начало от «Великого искусства».

Вместе с тем необходимо отметить, что Кардано, свободно складывавший и перемножавший мнимые числа, так и не понял окончательно их природы и считал их совершенно не нужными . Именно по этой причине он не мог справиться с «неприводимым случаем», заслуга в разрешении которого принадлежит Рафаэлю Бомбелли, Альберу Жирару и другим математикам.

Кардано знал и говорил о некоторых соотношениях между корнями и коэффициентами уравнения. В главе восемнадцатой, решая уравнения, для которых он определяет количество корней,

− ни одного корня,

− один корень (2),

− два корня (3; −7),

− три корня (−3; ; ),

− четыре корня (2; −2; 3; −3),

Кардано делает вывод: «Ясно, что коэффициент при второй степени неизвестной в этих примерах, в которых х имеет три значения, всегда можно найти путем их сложения».

Другими словами, для уравнения

наблюдается соотношение

,

где − корни уравнения.

Тот факт, что Кардано пришел к своему открытию через решение этого уравнения, легко объясним: оно является единственным из тринадцати кубических уравнений, у которых «крайние деноминации равны средним переменным», и, таким образом, возможно появление трех положительных корней.

Все же впоследствии Кардано не выделяет, что это положение имеет особую силу, так как среди действительных корней обнаруживаются отрицательные корни при условии, что можно предположить следующее: «сложить минус» сводится к тому же, что и «отнять плюс» (глава восемнадцатая). Кардано приводит это выражение и в первой главе, поясняя решение уравнений

и ,

и говорит, что разность абсолютной величины между положительными и отрицательными корнями этого уравнения означает коэффициент при квадратичном члене.

Кардано показывает свое утверждение с помощью уравнения

,

три корня которого равны 3; ; .

Он знает, что это же положение относится и к уравнениям

(1)

и

, (2)

в которых отсутствует квадратичный член (т.е. член с х²) и, значит, сумма корней равна нулю.

Действительно, Кардано сводит решение уравнения (2) к решению квадратного уравнения

(3)

с помощью вспомогательного уравнения

(4)

и почленного сложения уравнений (1) и (4), которое приводит к уравнению

. (5)

Последнее уравнение после деления обеих частей (5) на двучлен принимает вид:

(6)

откуда

.

Следовательно, уравнению (1) соответствуют две величины, для которых w – положительный корень уравнения (4) − является суммой. Кроме того, знак минус перед w означает, что сумма корней этого уравнения равна нулю. Следует особо отметить, что Кардано знал о зависимости, которая существует между корнями квадратного уравнения и коэффициентом w при первой степени неизвестной.

Наконец, решение уравнения третьей степени, в котором встречается квадратичный член, Кардано сводит путем подстановки

к решению уравнения третьей степени без этого члена. Такое уравнение должно иметь вид

если − действительные величины, для чего должно соблюдаться равенство

,

следовательно,

.

Таким образом, Кардано можно полноправно считать предшественником Виета, Гэрриота и Жирара, сформулировавших положение о зависимости коэффициентов и корней уравнения.

Список используемой литературы

Развитие алгебры в Европе в XV–XIX столетиях. Учебное пособие для студентов дневного отделения физико-математического факультета / сост.: Гордиенко Н.А. – Воронежский госпедуниверситет, 2007. – 120 с.

Код для цитирования: Скопировать