XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Данная статья посвящена способам вычисления расстояния от точки до плоскости. Рассмотрен метод координат, который позволит находить расстояние от заданной точки трехмерного пространства. После изложения теоретических аспектов приведены решения нескольких характерных примеров и задач.

Расстояние от точки до плоскости находится посредством известного расстояния от точки до точки, где одна из них заданная, а другая – проекция на заданную плоскость.

Когда в пространстве задается точка с плоскостью φ, то через точку можно провести перпендикулярную плоскости прямую. является общей точкой их пересечения. Отсюда получаем, что отрезок – это перпендикуляр,который провели из точки к плоскости φ, где точка – основание перпендикуляра (рис. 1).

(рис.1)

Определение. Расстоянием от точки до плоскости называют расстояние от заданной точки к основанию перпендикуляра, который провели из заданной точки к заданной плоскости.

Расстояние от точки к плоскости φ определяется так: расстояние от точки до плоскости φ будет являться наименьшим от заданной точки до любой точки плоскости. Если точка располагается в плоскости φ и не равна точке , тогда получаем прямоугольный треугольник вида , который является прямоугольным, где имеется катет , – гипотенуза. Значит, отсюда следует, что . Тогда отрезок считается наклонной, которая проводится из точки до плоскости φ. Мы имеем, что перпендикуляр, проведенный из заданной точки к плоскости, меньше наклонной, которую проводят из точки к заданной плоскости. Рассмотрим этот случай на рисунке 2, приведенном ниже.

(рис.2)

Существует ряд геометрических задач, решения которых должны содержать расстояние от точки до плоскости. Способы выявления этого могут быть разными. Для разрешения применяют теорему Пифагора или подобия треугольников. Когда по условию необходимо рассчитать расстояние от точки до плоскости, заданные в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, решают методом координат. Данный пункт рассматривает этот метод.

По условию задачи имеем, что задана точка трехмерного пространства с координатами с плоскостью φ, необходимо определить расстояние от к плоскости φ. Для решения применяется несколько способов решения.

Первый способ

Данный способ основывается на нахождении расстояния от точки до плоскости при помощи координат точки , которые являются основанием перпендикуляра из точки к плоскости φ. Далее необходимо вычислить расстояние между (рис.2).

Чтобы вычислить расстояние нужно применить формулу:

,

где - длина вектора нормали плоскости φ, а число - есть результат подстановки координат точки в левую часть общего уравнения плоскости.

Условие:

Вычислить расстояние от точки до плоскости

Решение:

Вектор нормали имеет координаты , тогда

Ответ: 3

Второй способ

По условию имеем, что является основанием перпендикуляра, который опустили из точки на плоскость φ. Тогда определяем координаты точки . Искомое расстояние от к плоскости φ находится по формуле:

где и .

Для решения необходимо узнать координаты точки .

Имеем, что является точкой пересечения плоскости φ с прямой , которая проходит через точку , расположенную перпендикулярно плоскости φ. Отсюда следует, что необходимо составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости. Именно тогда сможем определить координаты точки Необходимо произвести вычисление координат точки пересечения прямой и плоскости.

Способ нахождения расстояния от точки с координатами к плоскости x:

составить уравнение прямой , проходящей через точку и одновременно перпендикулярной к плоскости φ;

найти и вычислить координаты точки , являющимися точками пересечения прямой с плоскостью φ;

вычислить расстояние от до φ, используя формулу

Третий способ

В заданной прямоугольной системе координат имеется плоскость φ, тогда получаем нормальное уравнение плоскости вида:

+ .

Отсюда получаем, что расстояние с точкой , проведенной на плоскость φ, вычисляемое по формуле:

| |=| + |.

Эта формула справедлива, так как это установлено благодаря следующей теореме.

Теорема. Если задана точка в трехмерном пространстве, имеющая нормальное уравнение плоскости φ вида

+ ,

тогда вычисление расстояния от точки до плоскости | | производится из формулы

| |=| + |,

так как

Рассмотрим задачу, для которой применим данный способ.

Условие:

Найдите расстояние от точки до координатной плоскости Oxyz и до плоскости .

Решение:

Координатной плоскости Oyz соответствует неполное общее уравнение плоскости вида . Это же уравнение является нормальным уравнением плоскости Oyz. Подставив в левую часть записанного уравнения значение и взяв модуль, получаем искомое расстояние от точки до заданной плоскости: .

Нормальное уравнение плоскости имеет вид . Поэтому, искомое расстояние от точки до плоскости равно

Ответ: искомое расстояние от точки до координатной плоскости Oyz равно 3, а до плоскости равно .

Список использованных источников

1. Расстояние от точки до плоскости: определение и примеры нахождения [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://www.zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/rasstojanie-ot-tochki-do-ploskosti/

2. Расстояниеотточкидоплоскости.Среднийуровень.[Электронный ресурс] – Режим доступа:https://youclever.org/book/rasstoyanie-ot-tochki-do-ploskosti-2

3. Вычисление расстояния от точки до плоскости. [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://studfiles.net/preview/1970740/

Код для цитирования: Скопировать