XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

В электростатике часто приходится решать задачи, в которых распределение зарядов в системе неизвестно, но заданы потенциалы проводников, их форма и относительное расположение. Требуется найти характеристики электростатического поля в любой точке между проводниками, например, потенциала , распределение поверхностных зарядов на проводниках . Решение таких задач обычно процедура сложная и трудоемкая. Однако, в некоторых случаях ответы на поставленные вопросы можно получить, непосредственно не решая сложных математических уравнений, применяя метод зеркального изображения. Данный метод позволяет относительно просто рассчитать характеристики поля .

В методе изображений для определения характеристик поля конструируется другая задача, в которой поле, созданное зарядами, индуцированными на поверхности проводников, заменяется другим полем. При этом подбирается такая конфигурация фиктивных зарядов , чтобы в интересующей нас части пространства результирующее поле, созданное как фиктивными, так и реальными зарядами, было в точности таким же. Затем по известной конфигурации фиктивных зарядов и зарядов заряженных тел выполняется расчет неизвестных характеристик.

Совокупность фиктивных зарядов принято называть зеркальным изображением реальных зарядов в проводящей поверхности. Анализ построения электрических изображений зарядов показывает [1, 2]:

– если проводник безграничная проводящая плоскость, то электрическое изображение точечного заряда получается путем зеркального отражения в этой плоскости, соответственно, Здесь и – расстояния от основания перпендикуляра, опущенного из точки, где находится заряд , на проводящую поверхность, до фиктивного и реального точечных зарядов. Проводящая поверхность при такой конфигурации имеет потенциал ;

– если проводник проводящая сфера (заземленная), то изображение точечного заряда лежит внутри сферы на линии соединяющей ее центр с зарядом , на расстоянии от центра сферы, которое равно а величина фиктивного заряда определяется по формуле Здесь – радиус сферы, – расстояние от центра сферы до заряда . Проводящая поверхность (заземленная) при такой конфигурации будет иметь .Применим метод зеркального изображения в конкретной ситуации. Пусть на бесконечной плоскости поверхности проводника имеется сферический бугор , центр которого лежит в этой же плоскости. На перпендикуляре вне проводника расположен точечный заряд . Найти напряженность электростатического поля в пространстве (рис. 1).

Решение. Электростатическое поле в пространстве выше проводящей поверхности создается точечным зарядом и индуцированными зарядами на плоскости, имеющей сложный рельеф. Для нахождения напряженности поля воспользуемся методом зеркального изображения. Так как проводящая плоскость уходит в бесконечность, то потенциал проводящей поверхности везде . Фиктивным изображением точечного заряда в плоскости является его зеркальное отражение в этой плоскости. Здесь это заряд , расположенный на перпендикуляре к плоскости и отстоящий на расстоянии от точки . Однако, одного фиктивного точечного заряда недостаточно, чтобы обеспечить выполнение граничных условий для потенциала на выпуклой части поверхности. Чтобы потенциал на поверхности сферического бугра был равен нулю, расположим на перпендикуляре фиктивный заряд . В соответствии, с построением зеркального изображения точечных зарядов в сферической поверхности его величина равна

а расстояние от центра составляет

Из рисунка видно, что в этом случае на сферической поверхности будет отличным от нуля потенциал поля, создаваемого фиктивным зарядом , кроме этого останется не скомпенсированным, потенциал поля, создаваемого фиктивным на плоскости . Для выполнения условия на всей проводящей поверхности необходимо добавить еще фиктивные заряды. Из геометрии рисунка следует, что если добавить еще один фиктивный заряд величиной

и расположить его на перпендикуляре на расстоянии от центра равном

то потенциал результирующего поля, созданного всеми зарядами, в любой точке проводящей поверхности будет равен нулю. Соответственно, можно констатировать, что конфигурация зарядов , , , полностью описывает электростатическое поле, созданное точечным зарядом и индуцированными зарядами . Напряженность и потенциал этого поля в любой точке пространства можно найти, используя следующие соотношения:

Напряженности ( ) и потенциалы ( ) электростатических полей, создаваемых точеными зарядами, рассчитываются по стандартным формулам.

Таким образом, метод зеркального изображения зарядов позволяет относительно просто проводить расчеты характеристик поля, распределения индуцированных зарядов на проводящих поверхностях, если удается найти простую конфигурацию фиктивных зарядов, полностью моделирующее реальное поле.

Литература

1. Новоселов В.И. Метод электрических изображений и его применение при изучении электрических явлений. В сборнике: Непрерывное педагогическое образование: глобальные и национальные аспекты: материалы III Международного конгресса;/21-22 ноября 2016 г., Челябинск. - Челябинск: Изд-во ЮУрГГПУ, 2017. - с. 316 - 319.

2. Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма: учеб. Пособие для студентов вузов [текст]/ И. Е. Иродов. – М.: Высш. шк. – 1991. – 288 с.