XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.

На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий Архимед. (ок. 287 – 212 гг. до н.э.).

Термин «прогрессия» был введён римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Название «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим учёным Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида «Начала» (в 3 веке до н.э.). Правило нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книга абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский).

В XVIII веке в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий.

Определение арифметической прогрессии, дошедшее до наших дней, изучаемое в школьном курсе математики, подразумевает арифметическую прогрессию с постоянными разностями, т.е. каждый последующий элемент последовательности отличается от предыдущего на некоторое постоянное число.

В учебном пособии В.А. Далингера, О.О. Князевой и О.И. Муравской рассматриваются арифметические последовательности с переменной разностью.

Числовая последовательность, члены которой, начиная со второго, определяются по формуле:

,

где - функция натурального аргумента, называется арифметической прогрессией с переменной разностью.

Например, если рассмотреть последовательность, где и

, то получим - арифметическую последовательность с переменной разностью.

Рассмотрим последовательность , … Если для этой последовательности существует натуральное число и числа , такие, что начиная с -номера имеет место

, (1)

то такая последовательность называется возвратной (или рекуррентной) последовательностью порядка k, а соотношение (1) – возвратным (или рекуррентным) уравнением порядка k.

Приведем примеры возвратных последовательностей. Арифметическая прогрессия. Из школьного курса известен признак арифметической прогрессии: каждый ее член, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов:

.

Отсюда .

Здесь .

Таким образом, арифметическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка [2]

Значит, арифметическую прогрессию с переменной разностью тоже можно рассматривать как возвратную последовательность. И становится вопрос о связи рассматриваемых прогрессий.

Понятие возвратной последовательности является широким обобщением понятий арифметической или геометрической прогрессией. Как частные случаи оно охватывает также последовательности квадратов или кубов натуральных чисел, последовательности цифр десятичного разложения рационального числа (и вообще любые периодические последовательности) и т.д. Отсюда видно, что с возвратными последовательностями в курсе математики средней школы приходится встречаться весьма часто. Поэтому остановимся на вопросе о том, а какова связь между возвратными последовательностями и арифметическими прогрессиями с переменными разностями (разность определяется рациональной функцией) [1].

Возвратная последовательность характеризуется тем, что каждый ее член (начиная с некоторого номера) выражается через одно и то же количество kнепосредственно предшествующих ему членов по формуле (1).

Рассмотрим следующие предложения, показывающие связь между арифметическими прогрессиями с переменной разностью и возвратными последовательностями.

Предложение 1. Арифметическая прогрессия 1-го порядка , где , является возвратной последовательностью третьего порядка с возвратным уравнением:

. (2)

Доказательство. Пусть задана арифметическая прогрессия 1-го порядка , где .

Найдем числа , , такие, что справедливо равенство:

(3)

По формуле n-го члена арифметической прогрессии первого порядка имеем:

;

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n, получим систему уравнений относительно , , :

Решение этой системы даст нам: , , .

Подставляя найденные значения в выражение (3), получим нужное равенство ‒ возвратное уравнение третьего порядка:

Предложение 2. Если последовательность ‒ возвратная последовательность порядка k,члены которой удовлетворяют уравнению:

k≠0,(4)

то последовательность ее частичных сумм также является возвратной порядка k+1, причем ее члены удовлетворяют уравнению:

(5)

Доказательство. Для последовательности составим последовательность частичных сумм :

… ,

Тогда

=

Полагая так, что и подставляя в уравнение (4) вместо …, , … их выражения через получим: ,

откуда +…+ или, заменяя здесь nчерез n+1:

.(5)

Это ‒ возвратное уравнение порядка k+1 последовательности .

Теорема 1. Всякая арифметическая прогрессия k-го порядка

,

образует возвратную последовательность k+2 порядка.

Доказательство. Доказательство проведем методом математической индукции.

1. Пусть k=1,т.е. имеем арифметическую прогрессию первого порядка. Согласно предложению 1, арифметическая прогрессия первого порядка является возвратной последовательностью третьего порядка с возвратным уравнением (3). Таким образом, база индукции доказана.

2. Предположим, что арифметическая прогрессия k-го порядка образует возвратную последовательность k+2 порядка и докажем соответствующее утверждение для прогрессии порядка k+1. Согласно предложению 2, последовательность частичных сумм арифметической прогрессии k-го порядка, являющейся возвратной k+2 порядка (по предложению индукции), также образует возвратную последовательность, но порядка k+3. Сама же последовательность есть ни что иное, как арифметическая прогрессия k+1 порядка.

Сопоставив оба факта, приходим к нужному выводу: арифметическая прогрессия k+1 порядка является возвратной последовательностью k+3 порядка. Шаг индукции доказан [1].

Из теоремы 1 и предложения 2 вытекает такое следствие:

Следствие. Последовательность частичных сумм арифметической прогрессии k-го порядка образует возвратную последовательность k+3 порядка, удовлетворяющую уравнению

=(1+ ) + ( - ) + … +

+( - ) - , (6)

коэффициенты которого определяются из возвратного уравнения арифметической прогрессии k-го порядка:

= + + + , ≠0. (7)

Следующая теорема позволяет рекуррентно находить возвратные уравнения арифметических прогрессий любого порядка [1].

Теорема 2. Если арифметическая прогрессия k-го порядка образует возвратную последовательность порядка k+2, удовлетворяющую уравнению (7), то арифметическая прогрессия k+1 порядка образует возвратную последовательность порядка k+3, и ее члены удовлетворяют возвратному уравнению виду(6).

Доказательство. Справедливость теоремы следует из следствия теоремы 1 и того факта, что последовательность частичных сумм арифметической прогрессии k-го порядка является арифметической прогрессией k+1 порядка [1].

Исходя из определения арифметической прогрессии с переменной разностью становится очевидным, что рассматриваемые прогрессии включают в себя возвратные последовательности, т.е. понятие арифметической прогрессии с переменной разностью является более широким. Например, последовательность не является возвратной . Однако, записав ее в виде:

;

видим, что эта последовательность является арифметической прогрессией с переменной разностью.

С другой стороны, если рассматривать арифметические прогрессии k-го порядка, т.е. ограничиться случаем, когда закон изменения разности имеет рациональный вид, ситуация меняется. Из доказанных выше теорем, в частности теоремы 1, следует, что любая арифметическая прогрессия k-го порядка является возвратной последовательностью. Однако обратное утверждение не справедливо. Например, последовательность чисел Фибоначчи, как известно, образует возвратную последовательность, но эта последовательность не является арифметической прогрессией k-го порядка [1].

Список использованных источников

Далинглер В.А., Князева О.О. Учебно-исследовательская работа учащихся по математике: учебное пособие / В.А. Далинглер, О.О. Князева. ‒ Омск: Изд-во «Амфора», 2017. ‒224с.

Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. ‒ М.: Наука, 1983 ‒ 47с.

Код для цитирования: Скопировать