XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Необходимо отметить, что данная тема встречается в преподавании в школах с углубленным изучением математики.

Рассмотрим варианты внедрения данной темы в общеобразовательную программу.

Для начала следует отметить учебник [1] в котором интересующая нас тема начинается с комплексного числа в алгебраической форме. Авторы подходят к понятию раскрытия комплексного числа начиная с знакомого ученикам правила о том, что извлечение квадратного корня из отрицательного числа не возможно, однако при этом плавно переходят к проблемам математики при решении уравнений третьей и четвертой степени и возникающей необходимости расширять поле действительных чисел, вводя понятие о мнимой единице, а также объяснением арифметических действий над ней.

В данном учебнике рассматриваются такие вопросы как: «Является ли мнимая единица iединственным комплексным числом квадрат которого равен -1. Можно ли употреблять в записи комплексных чисел операции сложения и умножения до того, как они получают определения. Достаточно ли комплексных чисел для записи корней любых уравнений с комплексными коэффициентами. Какие практические приложения может иметь теория комплексных чисел.» Последний вопрос один из самых важных, так как учащиеся не до конца понимают суть и необходимость в изучении комплексного числа. Также помимо данных вопросов авторы затрагивают и сопряженные комплексные числа, следует отметить что после каждой подтемы учащемуся предоставляются рассмотренные примеры с подробным решением для лучшего закрепления материала.

Рассмотрим вторую часть изучения данной темы.

Для более глубокого изучения комплексных чисел первым делом предлагается рассмотреть геометрическое изображение комплексного числа. Введение в данную тему авторы предлагают с определения того, что комплексное число задается парой действительных чисел (x,y), а также говорят о том, что можно их рассматривать как координаты точки на плоскости. И предлагается каждому комплексному числу вида z=x+yi подставить в соответствии точку и объясняется, что действительным числам будет соответствовать точка оси абсцисс, а мнимым - ординат. Также дается определение того что комплексное число — это радиус-вектор и объясняется это тем, что на этом пути проще получить геометрическое истолкование и что теперь все действия над векторами доступны теперь и над комплексными числами.

Далее рассматривается тригонометрическая форма комплексного числа, а также формула Муавра. Заключительной темой является функция комплексного переменного, в этой теме объясняется геометрический смысл умножения комплексного числа.

Рассмотрим такой сборник как [2] и способы раскрытия темы комплексных чисел в нем.

В данном учебнике данная тема начинается с того, что автор объясняет зачем нужны комплексные числа и на этом фоне дается их определение, а также сразу предлагается ряд задач в котором можно наглядно заметить необходимость данного предмета. Однако на этом этапе объяснений, автор, не сильно углубляется в понятие самого комплексного числа, но несмотря на это преподносятся такие правила арифметических действий как сложение и умножение, при этом символiсчитается как формальное обозначение. И уже после введения правил арифметических операций вводится полноценное понятие комплексного числа, а также множество комплексных чисел. И объясняется что в данном множестве работают такие же законы как: коммутативный, ассоциативный, дистрибутивный. И уже после данных определений вводяться действия вычитания и деления.

Далее вводится понятие о мнимых и чисто мнимых числах. И после рассмотрения всех возможных в данном множестве арифметических операций автор предлагает рассмотреть геометрическое изображение комплексного числа. При этом говорится о том, что геометрическая интерпретация комплексных чисел более важна чем геометрическая интерпретация действительных чисел. Объяснение этой темы начинается с того, что каждому геометрическому числу ставится в соответствие точка с координатами, в которых одна часть мнимая, а другая действительная.

После наглядных иллюстраций изображения комплексного числа автор говорит о том, что при помощи геометрического изображения можно наглядно трактовать сложение и вычитание комплексных чисел.

Далее нам предлагают ознакомится с понятиями модуля и аргумента комплексного числа, из которых плавно вытекает понятие геометрической формы. И предлагают нам запись комплексного числа в виде z = r(cosa + isina ), объясняется что в этой форме можно записать любое комплексное число.

В данном учебнике также рассматривается тригонометрические и логарифмические функции комплексного числа. В заключении говорится о происхождении формулы Эйлера и применении комплексных чисел.

Можно сказать, что при рассмотрении этих двух учебников можно заметить много сходства в очередности подач данных тем, однако есть и определенные различия, например такие как объяснения более глубокого понятия комплексного числа уже после введения арифметических операций над ним. А также стоит отметить что в авторстве Виленкина рассматривается больше практических заданий и больше уделяется именно практике.

Хочется подчеркнуть, что в рассмотренных мной материалах везде присутствует тема о том, в каких отраслях и зачем необходимо изучение комплексного числа, что не мало важно для учащихся.

Составлен тест для учащихся в школах с углубленным изучением математики, так как именно в них в учебной программе затрагивается тема «Комплексные числа».

По результатам тестирования по данному тесту можно увидеть насколько хорошо была освоена учащимися тема «Комплексные числа». В данном опроснике мы встречаем не только теоретическую часть, но еще и практическую части.

Разберем вопросы из данного теста.

В первом вопросе нужно указать каким образом изображается комплексное число на координатной плоскости. Этот вопрос присутствует в данном тесте, так как например в учебнике [3] привычным способом для учащихся рассматривается геометрическая модель множества комплексных чисел на координатной плоскости. Арифметические операции сложения, вычитания и умножения на действительное число подаются в векторной интерпретации. И по итогу этого вопроса можно судить о усвоении азов этой темы.

Также в восьмом вопросе рассматривается геометрическая интерпретация комплексного числа, только в нем она более углубленная. В данном вопросе ученик уже должен знать о том, как правильно записать координаты комплексного числа, а также ориентироваться в том, где мнимая и вещественная ось. Для того чтобы ответить на данный вопрос школьник должен уже сам уметь изображать комплексные числа на координатной плоскости.

Также в одиннадцатом классе ученик должен первым делом произвести арифметическую операцию, а именно сложение перед тем как ответить на вопрос. После того как будет получен ответ учащимся еще будет необходимо сопоставить его с изображением соответствующем его ответу. Так, например, в пятнадцатом вопросе нужно идти от обратного. Для начала ученик должен найти координаты двух векторов, изображенных на рисунке, после чего провести с ними арифметические действия (в этом вопросе также нужно складывать) и уже после определить правильный вариант ответа. По ответу на данный вопрос можно сделать вывод о том, как хорошо ориентируется ученик в геометрии комплексного числа, а также увидеть, как он справляется с арифметическими операциями над данными числами.

На этом вопросы, касающиеся геометрической части комплексного числа окончены. Теперь рассмотрим тесты, которые должны показать насколько овладел вычислительными навыками школьник. Так, например, во втором вопросе учащимся необходимо произвести арифметическую операцию над комплексными числами и указать правильный ответ, это упражнение входит в основу комплексного числа. Что касается арифметических операций, в десятом вопросе также нужно применять свои знания по этой теме, только в отличии от второго вопроса где нужно было производить сложение, в этом вопросе нужно найти частное двух комплексных чисел. Эту тему школьники проходили по школьной программе вместе с остальными арифметическими операциями, по школьной программе делается упор на умножение знаменателя на сопряженный множитель. Данная практика очень важна для школьника, именно поэтому данный вопрос находится в этом опросе.

Нахождение произведения комплексных чисел затрагивается в тринадцатом вопросе. Эта тема тут находится так как при опросе нужно затронуть все аспекты арифметических операций, также и умножение.

И завершением арифметических аспектов становится четырнадцатый вопрос, в котором необходимо раскрыть скобки по формулам сокращенного умножения, а также найти произведение и привести подобные. При решении этого задания учащимся необходимо будет возводить комплексное число в квадрат и это очень важно так как они должны помнить о том, что квадрат из мнимой единицы равен минус одному. По ответам на этот вопрос можно сделать вывод о том насколько школьники освоили свойства комплексных чисел, а также еще раз проверить их умение производить арифметические операции над такими числами.

Также в пятом вопросе, например необходимо указать как должна выглядеть тригонометрическая форма комплексного числа. Для того чтоб это сделать для начала необходимо вычислить модуль комплексного числа, а уже после по знаниям записи данной формы написать правильное выражение.

Что касается модуля комплексного числа, эта тема раскрывается в девятом вопросе. В нем необходимо вычислить модуль данного числа, для того чтоб это сделать в первую очередь нужно знать формулу вычисления модуля, тут нужно применять и теоретические и практические знания.

В некоторых учебниках тема комплексных чисел начинается с того что учащимся объясняют, что извлечение квадратного корня из отрицательного числа возможно, а далее начинается раскрытие данной темы. Поэтому в данном тесте представлен вопрос, в котором необходимо применить свои знания об извлечении корня из отрицательного числа. В двенадцатом вопросе, в котором нужно решить квадратное уравнение школьники сталкиваются с такой темой как извлечение квадратного корня из отрицательного числа, так как при решении этого уравнения получается отрицательный дискриминант и именно на этой теме учащимся и нужно применять свои знания о извлечении квадратного корня из отрицательного числа. Именно поэтому данный вопрос тут присутствует так как отрицательное число под квадратным корнем — это основа комплексных чисел.

Теперь, когда практическая часть теста рассмотрена, затронем теоретический аспект данной темы.

Теоретический вопрос связанный с историей комплексных чисел встречается под третьим номером в данном тесте. В нем ученик должен ответить на вопрос о том, кто ввел название мнимых чисел в математические круги.

Также в четвертом вопросе мы встречаемся с темой расширения числовой оси. В некоторых учебниках именно с этого начинается раскрытие данной темы. По ответу на данных вопрос мы сможем увидеть, как хорошо школьники поняли, где в классификации чисел, находится комплексное число. Также, например и в седьмом вопросе нужно ответить на вопрос о том, что представляет собой число i, главное для учителя чтоб на этот вопрос были правильные ответы, так как по ним можно будет сделать вывод о том, что основа данной темы была хорошо понята учащимися.

В шестнадцатом вопросе рассматривается формула Муавра.

По итогу можно сказать что ниже представлен тест, который включает в себя все основные аспекты изучения комплексных чисел, по итого которого можно делать выводы о всем пройдённом материале.

В нем собраны не только теоретические знания, но и практические (их преобладающая часть). Данный тест составлен на основе учебных планов и тем, которые рассматриваются обучающимися. Он позволяет проверить знания, связанные с темой теории функций комплексных переменных. Так как тест составлен на основе всей программы мы можем по нему отметить степень усвояемости программы школьниками, а также проверить их теоретические и практические знания.

Ниже представлено тестирование учащихся для проверки освоения темы комплексные числа.

1. Как на координатной плоскости изображается комплексное число?

а) В виде отрезка;

б) Точкой или радиус-вектором;

в) Плоской геометрической фигуры;

г) В виде круга

2. Вычислите сумму чисел z₁=7+2i и z₁=3+7i

а) 10+9i;

б) 4+6i;

в) 10+5i;

г) 4+5i.

3. Кто ввёл название «мнимые числа»?

а) Декарт;

б) Арган;

в) Эйлер;

г) Кардано.

4. В какое множество входят числа 5; 3-6i; 2.7; 2i?

а) Действительные числа;

б) Рациональные числа;

в) Комплексные числа;

г) Иррациональные числа

5. Как выглядит тригонометрическая форма числа z = 3 + 4i?

а) это радиус-вектор

б) z = 5(0,6 + 0,8i)

B)z = 3-4i

г) это точка на координатной плоскости

6. Выберите из предложенных чисел чисто мнимое:

a) z = 5 - 3i

б) z = 75i

в) z = 32

r)z = 0

7. Что представляет собой число i?

а) число, квадратный корень из которого равен -1

б) число, квадрат которого равен -1

в) число, квадратный корень из которого равен 1

г) число, квадрат которого равен 1

8. В какой четверти координатной плоскости расположены точки, изображающие число z = -3+2i

a) 1

б) 2

в) 3

г) 4

9. Модуль комплексного числа z = -5 + 15i равен

a)

б)

в)

г)

10. Найти частное комплексных чисел z₁ и z₂, если z₁ = 23+i, z₂ = 2+i.

a)

б)

в)

г)

11.Вектор, соответствующий сумме комплексных чисел z₁ =-1+2iи z₂ = 2 − i, изображен на рисунке.

а) б)

в
) г)

12. Решить квадратное уравнение x²-6x+13=0

a) x_1,2 = 3

б) x_1,2 = 3

в) x_1,2 = 3

г) x_1,2 = 3

13. Найти произведение комплексных чисел z₁ = 2+3i, и z₂ = -1+i.

a) z₁z₂ = 1 – i

б) z₁ z₂ = 5 + i

в) z₁ z₂ = -5 – i

г) z₁ z₂ = -1 + i

14. Раскрыть скобки и привести подобные (1+i)²(1+2i)³

a) 4 - 22i

б) -22i - 28

в) -26i - 26

г) 26i - 28

15. Комплексные числа z₁  и z₂  заданы соответственно радиус-векторами   и  :

Тогда сумма z_1+z2, записанная в алгебраической форме, имеет вид:

а) -2+3i

б) -3+2i

в) 1+i

г) 2i

16. Формулу Муавра можно применять, если комплексное число записано:

a) в показательной форме

б) наглядной форме

в) тригонометрической форме

г) алгебраической форме

17. Вычислить i¹⁵ + i¹⁶ + i¹⁷ + i¹⁸

a) 1

б) 0

в) -i

г) -6

18. Комплексное число в координатной форме можно задать:

а) Парой действительных чисел

б) Парой целых чисел, одно из которых положительное, другое – отрицательное

в) Упорядоченным набором любых чисел

г) Углом, который радиус-вектор от начала координат до точки, в виде которой отображается комплексное число, образует с осью Ox

19.Какое действие над комплексными числами характеризует данная формула

z₁+z₂=(a₁+a₂)+i (b₁+b₂)

а) Умножение

б) Деление

в) Сложение

г) Вычитание

20) Конец радиус-вектора, задающего комплексное число z= -5 – 4i , z=-5+2i лежит

а) Во второй четверти

б) В первой четверти

в) В третьей четверти

г) В четвёртой четверти

Список литературы

1.Виленкин Н.Я., Ивашов-Мусатов О.С.,Швацбурд С.И. Алгебра и математический анализ, 11 класс: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва "Просвещение", 1993.

2.Избранные вопросы математики.10 класс, факультативный курс. Под редакцией В.В.Фирсова., Москва, "Просвещение", 1980.

3.А.Г. Мордкович, П.В. Семенов «Алгебра и начало математического анализа» 2009 г. 10 класс.

Код для цитирования: Скопировать