XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Цель работы заключается в исследовании графического метода решения трансцендентных уравнений.

Трансцендентным уравнением называется уравнение f(x)=0, не являющееся алгебраическим. Как правило, это уравнение содержит показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции. Можно сформулировать более строгое определение. Трансцендентное уравнение – это уравнение вида m(x) = k(x), где функции m и k являются аналитическими функциями от некоторого независимого аргумента x, и только одна из них возможно является алгебраической.

Задача нахождения корней трансцендентных уравнений вида f(x)=0 встречается в различных областях научных исследований. Как известно, не всякое уравнение может быть решено точно. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Однако точное решение уравнения не всегда является необходимым. Задачу отыскания корней уравнения можно считать практически решенной, если мы сумеем найти корни уравнения с заданной степенью точности. Для этого используются численные методы решения уравнений.

Пусть дано уравнение f(x)=0, где функция f(x) определена и непрерывна в конечном или бесконечном интервале a < x < b. Нахождение корней с заданной точностью необходимо проводить в два этапа:

1) отделение корней, т.е. нахождение достаточно малых промежутков, в которых содержится один и только один корень данного уравнения;

2) уточнение приближенных корней, т.е. нахождение корней с заданной точностью [4, с. 34].

Процесс отделения корней можно проводить различными методами. Широко используются графический и аналитический методы. Они базируются на свойствах гладкости функции.

График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим значениям функции. Уравнение – выражение, содержащее неизвестную переменную. Решить уравнение – это значит найти все его корни, или доказать, что их нет. Решение уравнений графическим методом позволяет определить количество корней уравнения, а также найти точное или приближенное значение корней.

Графический метод основан на построении графика функции y = f(x). Если построить график данной функции, то искомым отрезком [a;b], содержащим корень уравнения f(x)=0, будет отрезок оси абсцисс, содержащий точку пересечения графика функции с этой осью. На присутствие корня уравнение f(x)=0 на отрезке [a;b] указывает различие знаков функции на концах отрезка. Разновидность применения графического метода локализации корней: уравнение f(x)=0 представляют в виде f₁(x)=f₂(x), где функции y₁=f₁(x), y₂=f₂(x) таковы, что можно без особого труда построить их графики. Тогда абсциссы точек пересечения этих графиков и будут точными корнями исходного уравнения [2, с. 43].

Вычислим с точностью до 0,001 корень трансцендентного уравнения cos7x + x² - 3 = 0, принадлежащий отрезку [0; 10].

Шаг 1. Для отделения корня графическим методом строим график функции по таблице значений функции, где аргумент изменяется с фиксированным шагом. Визуально определяем точку пересечения графика с осью OX. На выделенном отрезке функция меняет отрицательный знак на положительный.

Построим таблицу значений функции у=cos7x+x²-3 на отрезке [0; 10] с шагом изменения аргумента h=1 (рис. 1).

Рис. 1. Таблица значений функции на [0; 10] с h=1 и график функции

На графике функции на рис. 1 мы видим, что на отрезке от 1 до 2 уравнение у=cos7x+x²-3 имеет 1 корень.

Шаг 2. Проделаем те же действия с функцией у=cos7x+x²-3, только уже на уточненном отрезке [1; 2] (рис. 2).

Рис. 2. Таблица значений функции на [1; 2] с h=0,1 и график функции

Функция меняет знак на отрезке от 1,6 до 1,7. На данном этапе точность наших вычислений равна 0,1. Т.к. нам нужна уточнить значение до тысячных, то продолжаем отделять корень.

Шаг 3. Рассмотрим, как поведет себя наша функция на отрезке [1,6; 1,7] (рис. 3).

Рис. 3. Таблица значений функции на [1,6; 1,7] с h=0,01 и график функции

Проделав шаг 3, получаем уточненный отрезок локализации корня, т.е. отрезок [1,62; 1,63].

Шаг 4. Аналогично проведем отделение корня на отрезке от 1,62 до 1,63.

Рис. 4. Таблица значений функции на [1,62; 1,63] с h=0,001 и график функции

Получаем корень, который находится на отрезке 1,623 до 1,624. Длина данного интервала 0,001 и любое число из этого интервала можно принять за приближенное значение корня с погрешностью 0,001 (например, середину отрезка). По графику видно, что данный корень ближе к правому концу найденного интервала, поэтому уравнение cos7x + x² - 3 = 0 имеет на отрезке [0; 10] корень x ≈ 1,624.

Мы исследовали графический метод решения трансцендентных уравнений. Преимущества данного метода заключаются в том, что он очень удобен, нагляден и легок в понимании. Недостатком является его длительная пошаговая трудоемкость, если нужно отделить и уточнить корни с достаточно большой степенью точности.

Список литературы

Гусев В. А., Мордкович А.Г. Математика: Справ. материалы: Кн. Для учащихся. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1990. – 416 с.

Пантина И. В. Вычислительная математика [Электронный ресурс]: учебник / И. В. Пантина, А. В. Синчуков. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: МФПУ Синергия, 2012. – 176 с. – Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/451160 (дата обращения 11.12.2018)

Численные методы и программирование: Учебное пособие / В.Д. Колдаев; под ред. Л.Г. Гагариной. – М.: ИД ФОРУМ: НИЦ ИНФРА-М, 2014. – 336 с.

Шевченко А.С. Лабораторный практикум по численным методам: Практикум / – М.:НИЦ ИНФРА-М, 2018. – 199 с.: 60x90 1/16. – (Высшее образование) [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/966104 (дата обращения 10.12.2018)