XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Введение

Существуют уравнения (неравенства) стандартного вида (линейные, квадратные, иррациональные, логарифмические и т. д.) и стандартные методы их решения. Однако не всякое уравнение или неравенство можно решить с помощью стандартных приемов, предназначенных для вполне определенных типов уравнений (неравенств). Встречаются такие уравнения (неравенства), которые с помощью традиционных алгоритмов решить затруднительно. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать их нестандартные методы решения, которые порой существенно упрощают и сокращают решение. Остановимся на применении одного из таких методов – использования свойств элементарных функций при решении уравнений и неравенств, т.е. функциональный подход.

Функция – одно из важнейших понятий математики. В школьном курсе математики основное внимание уделяется числовым функциям. Причиной этого является тесная связь математики с естественными науками, в частности с физикой, для которой числовые функции служат средством количественного описания различных зависимостей между величинами. Великий математик П. Дирихле в 1837 году дал следующее определение функции «… есть функция от , если всякому значению соответствует вполне определённое значение , причём совершенно не важно, каким именно способом установлено указанное соответствие…».

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Еще в глубокой древности в математических сочинениях встречались задачи, решаемые с помощью уравнений. Однако общее правило для решения уравнений первой степени с одни неизвестным дал в IX веке Мухаммед аль-Хорезми в своем сочинении «Аль-джебр и аль-мукабала». Самоназвание «алгебра» взято из заглавия этого сочинения - «Аль-джебр». Великий прорыв в алгебре связан с именем французского ученого XVI в. Франсуа Виета. Он первым из математиков ввел буквенные обозначения для коэффициентов уравнения и неизвестных величин. А традицией обозначать неизвестные величины последними буквами латинского алфавита (, или) мы обязаны соотечественнику Виета - Рене Декарту.

Впервые всем нам известный знак равенства ввел Роберт Рекорд в 1557 году, за образец он взял два параллельных отрезка. Он пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины.

Понятие равенство наряду с понятиями «больше» и «меньше» возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Знаки неравенств ввел английский математик Томас Гарриот, объясняя это тем, что, если величины равны, то отрезки не должны быть параллельны, а должны пересекаться слева и справа. Книга, где впервые были применены эти знаки, вышла в 1631 году.

В 1734 году французский математик Пьер Бугер ввел знаки «не больше» и «не меньше», которые позднее приняли более привычные для нас очертания.

Уравнения и неравенства имеют очень большую роль в математике, потому что любая задача сводится к построению математической модели как в виде уравнения либо неравенства, поэтому спектр применения этих понятий очень велик.

Тема нашей курсовой работы является актуальной, потому что во многих школьных курсах математики функциональный подход к решению уравнений и неравенств в отдельную тему не выделен и использование свойств функции для решения задач упоминается вскользь при изучении других тем. Но в ЕГЭ достаточно часто встречаются уравнения и неравенства, решение которых упрощается, если применить функциональный подход.

Цель исследования – систематизация теоретического материала и его применение к решению уравнений и неравенств по теме: «Функциональный подход к решению уравнений и неравенств»

Цель исследования позволили определить объект и предмет.

Объект исследования – методы и приемы решения уравнений и неравенств.

Предмет исследования – функциональный подход к решению уравнений и неравенств.

Результаты исследования были представлены на конференциях: «Студенчество в научном поиске».

Работа состоит из введения, двух частей, заключения. Список использованной литературы включает 25 наименований.

Глава 1. Теоретические основы решения уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций

Основные понятия теории уравнений и неравенств

Линия уравнений и неравенств является стержнем алгебраического материала школьного курса математики. Она основана на построении и изучении математических моделей, включает вырабатывание и совершенствование техники алгебраических преобразований для решения уравнений и неравенств.

Определение 1. Пусть – два выражения с переменной и областью определения . Тогда выражение вида называется уравнением с одним неизвестным. Значение переменной из множества , при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения (или его решением) [20].

Примечание: В частных случаях правая или левая часть уравнения может быть числом, тогда она рассматривается как постоянная функция (представлена константой), имеющая одно и то же значение при всех значениях аргументов.

Определение 2. Решить уравнение – это значит найти множество его корней или доказать, что уравнение не имеет корней [20].

Множество всех решений уравнения может быть как конечным, так и бесконечным. Процесс решения уравнения обычно состоит из ряда преобразований, имеющих целью заменить данное уравнение одним или несколькими более простыми уравнениями. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не получим уравнение, которое мы умеем решать. Но чтобы эти корни были корнями заданного уравнения, необходимо, что бы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают, т.е. равносильные уравнения.

Определение 3. Два уравнения и называются равносильными, если любой корень первого уравнения, множеству , удовлетворяет уравнению, а любой второго уравнения, множеству , удовлетворяет уравнению.

Выясним, преобразования позволяют равносильные уравнения:

1. Пусть уравнение задано на множестве и – , определенное на же множестве. уравнения иравносильны.

2. Пусть уравнение задано на множестве и – , определенное на же множестве и обращается в нуль при каких из множества . уравнения равносильны

теоретические положения неравенств с одной .

Определение 4. Пусть – выражения с переменной и определения . Тогда вида называются с одним неизвестным. переменной из , при котором обращается в истинное неравенство, называется решением [20].

Примечание:, составленные с помощью или , называются ; а неравенства, составленные с знаков или – .

Определение 5. Решить – это значит множество всех решений или , что их [20].

Если множество решений неравенства пустое множество, говорят, что неравенство не решений. Обычно неравенства записываются в промежутка или нескольких промежутков.

решениями неравенств и много общего. же состоит в , что решение чаще всего бесконечными множествами. , сделать полную ответа, как делается для , нельзя. Поэтому важно при неравенств переходить к равносильным неравенствам.

6. Два неравенства равносильными, если множества решений .

К равносильным неравенствам тождественные преобразования, изменяющие область значений (таблица 1.)

1.

Свойства числовых

	пусть пусть
	Пусть тогда

Рассмотрим основные решения уравнений и .

Основные способы уравнений и неравенств

В литературе выделяют универсальные методы уравнений и неравенств:

методы решения :

метод подбора – корни уравнения, а доказывается, что корней уравнение имеет.

метод на многочлен - многочлена на степень которого или равна многочлена .

Основной решения неравенств: интервалов применяют решении линейных, и дробно-рациональных . Основан на , что непрерывная может изменить либо в граничных ОДЗ, где "разрывается", либо, через ноль, т.е. в , являющиеся корнями . Ни в каких точках перемены не происходит.

помимо вышеперечисленных решения неравенств и другие, применимые и решения уравнений:

замены переменных, основывается на новых переменных.

расщепления. Правила следуют из действительных чисел и следующим образом.

Правила расщепления неравенств получаются 2 и 3 заменой всех неравенств на нестрогие (т.е. меняется , а — на ).

метод степени, с помощью приведения и основного тождества (для уравнений и неравенств).

разложения на , который основывается использовании формул умножения, вынесении множителя за , группировка, выделение квадрата.

графический решения уравнений и основывается на графиков функции, в уравнение (неравенство).

будем подробно на каждом этих методов, как наш способ заключается в свойств функций, в уравнения и неравенства.

понятия и свойства , используемые при уравнений и неравенств

, механика физика, области науки и дают нам примеров, когда в том или вопросе переменные находятся в зависимости, что значение из величин значение другой. рода зависимости двумя переменными функциональными зависимостями [19].

7. Переменная называется переменной , если значению (из области изменения ) в соответствие по закону значение . этом  называется переменной (аргументом), а ее изменения  - определения функции [19].

подход решения и неравенств основан использовании свойств , образующих это или неравенство. В литературе обычно функционально-графический , где подразумевается двух методов: свойств функций и уравнений (неравенств) методом. Но в от графического , использование свойств позволяет находить корни уравнения (и неравенства), при не требуется графиков функций.

свойства функции, традиционно используют и в основной научной при решении и неравенств:

Область функции;

Область функции;

Монотонность ;

Четность (нечетность) ;

Периодичность функции.

понятия области функции

Определение 8. определения функции называется множество всех значений (ОДЗ) , при которых имеет смысл [9].

3. Пусть дано где и — элементарные , определенные на . Тогда областью значений ( ) уравнения множество, состоящее тех значений , принадлежат обоим , то есть . , что когда пустое ( ), то решений не .

Пример:

Решение: этого уравнения из всех х, удовлетворяющих условиям:

значит, что есть пустое ( ). Этим решение и завершается, т.к. установлено, ни одно не может решением системы, т.е. не имеет .

Ответ: решений .

Примечание: Часто достаточным рассмотреть всю область функции, а лишь подмножество, на функция принимает , удовлетворяющие некоторым (например, только значения).

Теорема 4. дано неравенство и — определения функции Если удается доказать, для всех области определения неравенство то собой решение неравенства.

Пример:

Область определения части:

Для х из области выполняется неравенство:

Использование понятия значений функции

9. Областью значений называется множество переменной при значениях переменной [9].

10. Функция называется на данном (содержащемся в области определения), если такое число , при всех аргумента, принадлежащих промежутку, имеет неравенство .

Теорема 5. дано уравнениегдеи— элементарные функции, на множествах . область изменения функций соответственнои . является решением , то будет числовое равенство , — значение функцииа — значение функции . Значит, если имеет решение, области значений и имеют общие ( ). Если же общих элементов и не содержат, уравнение решений имеет.

Пример:

: Область допустимых уравнения есть всех действительных .

Показательная функция только положительные , а функция — только значения. Множества этих функций имеют общих , и, следовательно, уравнение не имеет.

: решений нет.

свойства монотонности

Определение 11. Функция называется возрастающей на числовом промежутке , большему значению соответствует большее функции , то для любых и промежутка таких, выполнено неравенство [9].

12. Функция называется на данном промежутке , если значению аргумента меньшее значение , то есть любых и из таких, что _, неравенство [9].

Определение 13. , называется монотонной некотором промежутке , она на промежутке возрастает убывает [20].

Рассмотрим свойств монотонных , используемых для характера монотонности :

Теорема 6. Монотонная промежутке функция свое значение лишь при значении аргумента этого промежутка.

7. Если функция (убывает) на и функция возрастает () на промежутке , функция + также (убывает) на .

Теорема 8. Если неотрицательна и возрастает () на промежутке , неотрицательна и возрастает () на промежутке , функция , также (убывает) на .

Теорема 9. Если возрастает (убывает) промежутке , то – убывает (возрастает) этом промежутке.

10. Если функция монотонна на промежутке и на этом знак, то на промежутке противоположный характер .

Теорема 11. Если функции и возрастающие обе убывающие, функция — возрастающая . Если одна функций возрастающая, а убывающая, то — функция.

Решение и неравенств с использованием монотонности основывается следующих теоремах:

12. Если функция на промежутке , уравнение , где , на промежутке более одного .

Теорема 13. Если монотонна на , то уравнение на промежутке .

Теорема 14. Если возрастает на , а убывает на , то уравнение на промежутке более одного .

Теорема 15. Если возрастает (убывает) промежутке , то < равносильно на неравенству < ( > ). Аналогичное имеет место и нестрогих неравенств

16. Если функция на промежутке , уравнение равносильно промежутке уравнению .

Решение: Рассмотрим и . Функция возрастает всей области , а функция убывает области определения. , по теореме 17, уравнение имеет более одного . Подбором находим,

Ответ: 1.

Использование четности или функций

Определение 14. называется четной, для любого , взятого из определения функции, также принадлежит определения и выполняется [9].

Определение 15. Функция нечетной, если любого значения , из области функции, значение принадлежит области и выполняется равенство – [9].

16. Если ни из условий – не выполняется, функция не ни четной, нечетной, т.е. общего .

Примечание: Области четной и нечетной симметричны относительно (необходимое условие).

любых двух значений аргумента области определения функция принимает числовые значения, а — равные по величине, но знака.

Рассмотрим свойств, используемых установления четности () функций:

Теорема 17. четных (нечетных) является четной () функцией.

Теорема 18. двух четных двух нечетных является четной .

Теорема 19. Произведение и нечетной функции нечетной функцией.

20. Если функция (нечетна), то и четна (нечетна).

имеем уравнение неравенство , (), где — или нечетная :

Чтобы решить , где — четная нечетная функция, найти положительные ( отрицательные) корни, чего записываются (или положительные) , симметричные полученным. нечетной функции будет , если значение входит в определения . Для функции значение непосредственной подстановкой в .

Чтобы решить ( ), где — четная , достаточно найти решения для ( ). Действительно, если данного неравенства промежуток ( ; ), где , — одного знака одно из равно нулю, его решением и промежуток ( ; ).

Чтобы неравенство ( ), где — функция, достаточно решения для ( ). Если нам промежутки знакопостоянства для (или ), легко записать знакопостоянства и для ( ).

Использование свойства функции

Определение 17. называется периодической, существует такое 0, что для значения x, взятого области определения, ,, также принадлежат определения и выполняется

Всякая периодическая имеет бесконечное периодов. При уравнений и неравенств использовать положительный период функции.

функция — периодическая, решение уравнения неравенства ( ) достаточно на промежутке, по длине функции, после записывается общее . Если периодическая еще и четная нечетная, то достаточно найти промежутке, равном длине половине .

Рассмотрим применение свойств функции решении более уравнений и неравенств.

2. Практическая реализация подхода при уравнений и неравенств понятия области функции

Пример 1. уравнение: + + 6 = 9

Решение: функции, входящие в левой части

определения функции части уравнения:

+ + 6

, что в данном левая часть больше восьми, а часть равна при всех значениях переменной х, данное уравнение имеет корней.

: нет корней.

2. Решить уравнение:

: Рассмотрим функции и

Проверим, является корнем данного :

Если , тогда , а , т.е. этом интервале не имеет .

Ответ: 1.

Пример 3. неравенство:

Решение. функции входящие в определения неравенства.

определения неравенства условиями:

При  = 1 , что исходное обращается в неверное 0

При имеем неравенство .

Ответ: 5.

понятия области функции

Пример 4. уравнение: .

Решение: функцию и найдем область значений.

.

значений функции является промежуток .

Найдём значений функции . , что имеем .

образом, исходное будем иметь тогда и только , когда будем решение система:

: нет решений.

5.Решите уравнение:

: Разделим обе уравнения на 5, :

Областью значений является промежуток , а – промежуток Поэтому уравнение будет решение в том , если будет решение система:

: 1.

Пример 6. Решить :

4 +

Решение: Упростим корень:

Заметим, что оба слагаемых в левой части неравенства неотрицательны, следовательно, правая часть также должна быть неотрицательна, то есть:

При этих значениях подмодульное выражение отрицательно, следовательно, раскрываем модуль с противоположным знаком:

Так как, квадратный корень – величина неотрицательная, следовательно, неравенство выполняется, только если левая часть равна нулю:

или

=

Легко проверить, что только число является решением исходного неравенства.

Ответ:

Использование свойства монотонности функции

Пример 7. Решить уравнение: = 3

Решение: Перепишем уравнение в виде (перенести, умножить и разделить левую часть уравнения на сопряженное):

= 3

Левая часть уравнения есть убывающая функция, а правая – возрастающая. Значит, уравнение не может иметь более одного корня [Теорема 14].

Подбором находим: = 2

Ответ: 2.

Пример 8.Решить уравнение:

Решение: Рассмотрим функцию . Исследуем ее на монотонность с помощью производной:

f’(x) =

Решаем биквадратное уравнение: 10 = 0

D = 9 200

поэтому f’(x) при всех значениях  R., следовательно, функция f(x) - возрастающая.

Теперь исследуем функцию , легко установить, что она убывает при всех значениях  R.

Из проведенного исследования можно сделать вывод, что данное уравнение не может иметь более одного корня [Теорема 14].

Подбором находим:

Ответ: 2.

Пример 9. Решить неравенство:

.

Решение. Область определения данного неравенства есть промежуток 

Функция   возрастает на этом промежутке как сумма возрастающих функций.

Так как  , то все значения x из множества  удовлетворяют исходному неравенству.

Ответ: [0; 1).

Пример 10. Решить уравнение: + +

Решение: Рассмотрим левую часть данного уравнения

+ + – возрастающая функция, как сумма возрастающих функций, поэтому у него не более одного корня [Теорема 12].

Решение находится подбором – это

При подстановке его в уравнение получаем 3+2+1=6, это верное равенство.

Ответ: 7.

Использование свойств четности или нечетности функций

Пример 11.Может ли при каком-нибудь значении а уравнение

иметь 5 корней?

Решение:Обозначимf(x) – функция четная, поэтому, если – корень данного уравнения, то – тоже является корнем данного уравнения.

= 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном a четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.

Ответ: не может.

Пример 12. Решить уравнение:

Решение: Решим уравнение с учётом свойств четной функции.

В обеих частях уравнения имеем чётные функции. Поэтому достаточно найти для решения . Но не является корнем уравнения.

Рассмотрим два промежутка

На промежутке :

На промежутке имеем:

– посторонний корень.

Значит, для данное уравнение имеет только один корень

Корни, принадлежащие промежутку противоположны корням из промежутка , т.е. также является корнем уравнения.

Ответ:

Использование свойства периодичности функции

Пример 13. Решить неравенство:

Решение:

ОДЗ: хR

Эквивалентными преобразованиями придём к уравнению:

Рассмотрим функцию f(x)=

Следовательно, решение уравнения достаточно найти на промежутке, равном по длине периоду функции. Так как функция чётная, то за такой промежуток возьмем и решения достаточно найти лишь на промежутке .

Функция на данном промежутке имеет два корня: 0, – которые разбивают промежуток на два интервала знакопостоянства: .

Неравенство выполняется для всех Но тогда оно будет выполняться и для (т.к. функция четная).

Учитывая периодичность функции, запишем общее решение неравенства:

Ответ:

Заключение

Функциональный подход решения уравнений и неравенств является составной частью и естественным развитием функциональной линии обучения математике. Использование свойств функций очень важны для решения многих неравенств (уравнений), ведь зная эти свойства и умея их правильно применять, в некоторых случаях можно решить задачу не прибегая к каким-либо большим преобразованиям, которыми не всегда удобно пользоваться.

В процессе исследования цель курсовой работы достигнута и получены следующие результаты:

Приведены сведения о давности постановки перед человеком задачи решения уравнений и неравенств.

Приведены и рассмотрены на примере методы решения уравнений и неравенств, основанные на использовании свойств функций, входящих в данное уравнение (неравенство).

Список литературы

Александров П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я. (ред.) Энциклопедия элементарной математики. Книги 1–5. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1951.

Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. Изд. 3-е, испр. – М.: Изд-во ЛКИ, 2008.

Болтянский В. Г., Сидоров Ю. В., Шабунин М. И. Лекции и задачи по элементарной математике. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1974.

Задачи Международных, Всесоюзных и Всероссийских олимпиад по математике.

Журнал «Квант», 1970-2017 г.г.

Катманов А.М., Лейнартас Е.К., Мысливец С.Г. Математика. Адаптационный курс: Учебное пособие. – СПб.: «Лань», 2013.

Книги серии «Мир математики»: М.: Де Агостини, 2014.

Книги Я. И. Перельмана

Ковалева Г.И., Конкина Е.В. Функциональный метод решения уравнений и неравенств. – М. : Чистые пруды, 2008.

Конкурсные задачи по математике: Справ. Пособие/ М.К. Потапов, С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко. – М.: ФИЗМАЛИТ, 2001.

Лысенко Ф.Ф., Калашников В.Ю., Неймарк А.Б., Давы- дов Б.Е. Математика. Подготовка к ЕГЭ, подготовка к вступительным экзаменам. — Ростов-на-Дону: Сфинкс, 2004.

Математическая энциклопедия. Т. 1–5 / Под ред. И. М. Виноградова. – М.: Советская энциклопедия, 1985.

Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. – М.: Советская энциклопедия, 1988.

Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. – М.: Высшая школа, 1960.

Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. - М.: МГУ, 1991 г.

Пипия М. А. Статья по теме : "Уравнения и неравенства с одной переменной в начальном курсе математики".

Сборник задач по математике для поступающих во втузы / В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др., под. ред. М. И. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013.

Селивоник С.В. Элементарная математика и практикум по решению задач (Эвристика как система общих приемов поиска решения нестандартных задач). Электронный учеб.- метод. комплекс для студентов физ.-мат. факультета М.: Брест, 2015.

Сканави М. И. Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп., – М.: Наука, 1974 г.

Стойлова Л.П. Учебник для студ. высш. Пед. Учеб. Заведений.- М.: «Академия», 1999.

Томашевич Я.И. О нестандартных приемах решения неравенств//Математика в школе, 1969, № 2.

Чучаев И.И., Мещерекова С.И. Уравнения вида f(g(x)) = f(h(x)) и нестандартные методы решения//Математика в школе, 1995, № 3.

Шарыгин И. Ф. Стандарт по математике: 500 геометрических задач : кн. для учителя / И. Ф. Шарыгин. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2007.

Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989.

Шунда Н.Н. Об использовании свойств функции при решении уравнений и неравенств//Математика в школе, 1970, № 3.

Код для цитирования: Скопировать