Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших проблем теории чисел. Данными вопросами занимались наиболее выдающиеся математики древности, к примеру, античный математик Пифагор (VI столетие вплоть до н. э.), александрийский математик Диофант (II - III век до н. э.) и лучшие математики наиболее схожие с нашей эпохой - П. Ферма (XVIII век), Л. Эйлер (XVIII век), Ж. Л. Лагранж (XVIII век) и прочие. Несмотря на старания многих поколений выдающихся математиков, в данной сфере отсутствуют какие - либо общие способы типа метода тригонометрических сумм И. М. Виноградова, позволяющего разрешать наиболее различные проблемы аналитической теории чисел.

Диофантовы уравнения связаны с именем древнегреческого математика Диофанта Александрийского. О подробностях жизни Диофанта Александрийского ровным счетом ничего не известно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до нашей эры); с другой стороны, о Диофанте сообщает Теон Александрийский (около 350 года нашей эры) — откуда можно сделать заключение, что его жизнедеятельность протекала в пределах данного периода.

Индусские математики приблизительно с пятого века также рассматривали неопределенные уравнения первой степени. Некоторые подобные уравнения с двумя и тремя неизвестными возникли в связи с трудностями, появившимися в астрономии, к примеру, при рассмотрении проблем, связанных с определением периодического повторения небесных явлений. Первое единое решение уравнения встречается у индусского мудреца Брахмагупты (приблизительно 625 года). В 1624 году была издана книга французского математика Баше де Мезирьяка «Problemes plaisans et delectables que se font par les nombres». Баше де Мезирьяк для решения уравнения применил процесс, сводящийся к последовательному высчитыванию неполных частных и рассмотрению подходящих дробей.

Объект исследования: линейное диофантво уравнение.

Предмет исследования: способы  решения линейного диофантова уравнения.

Цель исследования: систематизация теоретического материала по теме работы  и его применение к решению уравнений.

Задачи:

1. анализ научной и учебной литературы по теме работы;
2. систематизация и обобщение полученных знаний по теме;
3. рассмотреть различные способы решения уравнений в целых числах.
4. решение задач, используя полученные теоретические знания по теме.

Результаты исследования были представлены на конференции «Молодежь в мире науки», «Студенчество в научном поиске» и «Студенческий научный форум 2018».

Работа состоит из введения, теоретической и практической частей, заключения и списка использованной литературы, который состоит из 21 источника.

Глава 1. Теоретические основы решения уравнений в целых числах

1. Делимость в кольце целых чисел

Определение 1. Целое число делится на целое число , при (), или    делит , если существует целое число , такое, что