XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Введение

Окружающие нас предметы в большинстве своем не являются плоскими, они расположены в пространстве и не умещаются в какой-то одной плоскости. Любой реальный предмет занимает какую-то часть пространства. Представления об геометрических телах дают предметы, встречающиеся в нашей повседневной жизни. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности носят название многогранники.

Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. С древнейших времен представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей. Мы можем наблюдать, что многогранники окружают нас повсюду, как в природе, так и в искусстве человечества. Использовать многогранники в архитектуре люди стали еще до новой эры, так как форма куба и параллелепипеда является наиболее органичной для строительства сооружений.

Изучением многогранников занимается раздел математики стереометрия. Стереометрия как наука известна уже очень давно. Издавна великие геометры уделяли внимание не только теоретическим положениям и практическим приложениям науки, многие понятия, образы становились незаменимыми компонентами их философских систем. Например, главный труд Евклида – «Начала», состоящий из 15 книг, которые посвящены планиметрии, стереометрии и теории чисел. «Начала» Евклида открываются описанием построения правильного треугольника и заканчиваются изучением пяти правильных многогранных тел. В наше время они известны как Платоновы тела.

Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников. Платоновыми телами называются выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники. Существует бесконечно много различных правильных многоугольников, но лишь пять различных правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр, додекаэдр, октаэдр и икосаэдр.

Архимед Сиракузский оставил после себя немало изобретений, тринадцать сочинений (таких как «О сфере и цилиндре», «Измерение круга», «Равновесие плоскостей», «Стомахион», «Правильный семиугольник и другие). Вклад Архимеда в теорию многогранников - описание 13 полуправильных выпуклых однородных многогранников (архимедовых тел).

Детали машин и приборов очень часто имеют формы, представляющие собой различные геометрические поверхности. Иногда необходимо выполнить развёртки поверхности полых деталей, усечённых плоскостью, выявить внутренние очертания деталей. Это применяется в раскрое листового материала, из которого изготовляются полые детали. Такие детали обычно представляют собой части всевозможных трубопроводов, вентиляционных устройств, кожухов для закрытия механизмов, ограждения станков и т.п. Сечением поверхности геометрических тел называется плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

В школьном курсе математики многогранники рассматриваются школьниками в 10-11 классах. Учебники содержат задачи на различные методы построений сечений: метод следов, метод внутреннего проектирования. В контрольно-измерительных материалах ЕГЭ присутствуют задачи связанные с сечениями многогранников и вызывают у ребят наибольшую трудность при сдаче ЕГЭ.

Для развития стереометрического представления плоских чертежей, представляющих собой пространственные фигуры необходимо изучить вопросы, которым посвящена настоящая работа по теме «Сечение многогранников».

Объект исследования – методы построения сечений многогранников.

Предмет исследования – задачи на построение сечений многогранников разными методами.

Цель исследования – систематизация теоретического материала по теме «Сечения многогранников» и его применение к решению задач.

Теоретическая часть

1.История многогранников

Знания о многогранниках применялись еще с древнейших времён цивилизацией Египта, Месопотамии, Африки: например, были найдены ювелирные украшения в форме многогранников, а их возраст насчитывает несколько тысяч лет, а также игральные кости ( археологами была найдена игральная кость в форме додекаэдра, датируемая 1000 годом до н.э.).

Пифагор Самосский (около 582 года до н.э. – 507 год до н.э.) создал космологическое учение, связавшее правильные многогранники с устройством Вселенной. Пифагорейцы считали, что элементы первоснов бытия имеют форму правильных многогранников, а именно: огонь- тетраэдр, земля-гексаэдр, воздух- октаэдр, вода- икосаэдр. Вся Вселенная, по мнению древних, имела форму додекаэдра. [7]

Первая теория о пяти правильных телах принадлежит великому математику Теэтету Афинскому. Его основные открытия были изложены в «Началах» Евклида. Они открываются описанием построения правильного треугольника и заканчиваются изучением пяти правильных многогранных тел. В наше время они известны как Платоновы тела.

Древнегреческий ученый Платон подробно описал свойства правильных многогранников в своём знаменитом диалоге «Тимей». Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников. Существует бесконечно много различных правильных многоугольников, но лишь пять различных правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр, додекаэдр, октаэдр и икосаэдр.

Архимед Сиракузский оставил после себя немало изобретений, тринадцать сочинений (таких как «О сфере и цилиндре», «Измерение круга», «Равновесие плоскостей», «Стомахион», «Правильный семиугольник и другие). Вклад Архимеда в теорию многогранников - описание 13 полуправильных выпуклых однородных многогранников (архимедовых тел). Кеплер первый опубликовал полный список 13 Архимедовых тел и дал им названия, которые известны до настоящего времени ( усеченный тетраэдр, усеченный октаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекааэдр, ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр, усеченный икосододекаэдр, курносый куб и курносый додекаэдр). [3]

2. Определение многогранника и его элементов (рёбер, граней, вершин, двухгранных углов и диагоналей)

Существует множество различных определений понятия многогранник, которые встречаются в известных учебниках.

Л.С. Атанасян называет многогранником геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, удовлетворяющих следующим двум условиям:

а) никакие два смежных многоугольника не лежат в одной плоскости;

б) объединение всех многоугольников является двумерным многообразием.[2]

Смолякова Н.В. даёт такое определение понятию многогранник: «многогранник – геометрическое пространственное тело, ограниченное со всех сторон конечным числом плоских многоугольников» [8].

А.В. Погорелов считает, что «многогранник- это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников».[9]

Многогранник имеет множества элементов - ребро, грань, вершина, двухгранный угол и диагональ. Определения данных элементов можно увидеть в учебниках Л.С. Атанасян и А.П. Киселева [1,10].

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями.

Стороны граней называются ребрами, а концы ребер - вершинами многогранника.

Грани многогранника, сходящиеся в одной точке, образуют двугранный угол.

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

3.Виды многогранников

3.1.Выпуклые многогранники

Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. Отсюда непосредственно следует, что грани выпуклого многогранника - выпуклые многоугольники.

Теорема 1(теорема Эйлера). Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство

В + Г – Р = 2, (*)

Где В - число вершин, Р - число рёбер и Г- число граней данного многогранника.

Доказательство [3]. Представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим сетку (рис. 1,а), содержащую Г' = Г – 1 многоугольников (которые по-прежнему будут называться гранями), В вершинами и Р рёбрами.

Если для этой сетки выполняется соотношение

В – Р + Г' = 2, (**)

То для исходного многогранника будет справедливо требуемое соотношение (*).

Покажем, что соотношение (**) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике сетки провести диагональ. Действительно, после проведения такой диагонали в сетке будет В вершин, Р + 1 ребер и Г' + 1 граней, и, следовательно В - (Р + 1) + ( Г' + 1) = В – Р + Г'. Пользуясь этим свойством, проведем в сетке диагонали, разбивающие входящие в нее многоугольники на треугольники (рис. 1, б), и для полученной сетки покажем выполняемое соотношение (**). Для этого будем последовательно убирать внешние ребра сетки, уменьшая в ней количество треугольников.

Рис. 1

При этом возможны два случая:

а) для удаления треугольника АВС требуется снять два ребра, в нашем случае АВ и ВС;

б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае MN.

В обоих случаях соотношение (**) не изменится. Например, в первом случаем после удаления треугольника сетка будет состоять из В - 1 вершин, Р - 2 рёбер и Г '- 1 граней, (В – 1) – (Р – 2) + (Г' – 1) = В – Р + Г'.

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет соотношение (**). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов мы придём к сетке, состоящей из одного треугольника. Для такой сетки В=3, Р=3, Г'=1, и, следовательно, В – Р + Г' = 1. Значит соотношение (**) имеет место и для исходной сетки , откуда окончательно получаем, что для данного многогранника справедлива соотношение (*).

3.2. Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани- равные правильные многоугольники и, кроме того, в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер [4].

Многогранник называется правильным, если [5]:

все его грани равны и правильны;

все его многогранные углы равны и правильны.

Теорема 2. Существует только пять видов правильных многогранников.

Доказательство [6]. Пусть m– число сторон каждой грани правильного многогранника; n – число рёбер каждого многогранного угла.

Если принять прямой угол за единицу, то каждый угол какой-либо грани выразится числом 2 - ; но сумма nплоских углов, примыкающих к одной вершине, должна быть меньше четырёх прямых; следовательно, каждый из них должен быть меньше .

Отсюда имеем:

2 - < ,

или

. (1)

Причём равенство исключено.

Это неравенство и даёт искомое решение. Действительно, каждое из чисел m и nбольше или равно 3, но оба они не могут быть больше 3; так как для m и n4, имеем .

Следовательно, по крайней мере одно из чисел m и n равно 3. Допустим, что это будет m: в равенстве (1) можно переставить числа m и n, так как оно симметрично относительно этих двух чисел.

При этом будем иметь:

,

откуда n < 6.

Следовательно, n может иметь только значения 3, 4 и 5.

Симметрия неравенства (1) относительно чисел m и nне должна нас удивлять; в самом деле, каждое из этих чисел становится на место другого, если от некоторого многогранника перейти к многограннику, ему сопряжённому. Каждый раз, как m и nбудут различны, мы будем иметь пару сопряжённых решений – всего-навсего получим следующие пять решений:

m = n = 3;

m, n = 3, 4;

m, n = 3, 5.

В соответствие с теоремой получаем следующие правильные многогранники (Платоновы тела): тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр (табл. 1).

Таблица 1

Рисунок	Название многогранника	Число вершин	Число ребер	Число граней
	Тетраэдр	4	6	4
	Октаэдр	6	12	8
	Гексаэдр	8	12	6
	Икосаэдр	12	30	20
	Додекаэдр	20	30	12

Обозначим некоторые теоремы правильных многогранников, которые представим без доказательства [11]:

Теорема 3. Два правильных многогранника, обладающих тем свойством, что одна из граней первого многогранника (а, следовательно, и каждая его грань) равна одной из граней второго, и один из многогранных углов первого равен одному из многогранных углов второго, равны между собой.

Кроме того, если одна из граней первого многогранника совпадает с гранью второго и если оба многогранника расположены по одну сторону от этой общей грани( или, иначе, если один из многогранных углов первого совпадает с многогранным углом второго), то многогранники совпадают.

Теорема 4. Правильный многогранник допускает всякое перемещение, при котором одна из граней f данного многогранника переходит в грань f' того же многогранника и внутренняя область многогранника располагается после перемещения с той же стороны от грани f' , с которой она располагалась до перемещения.

Обратная теорема. Если выпуклый многогранник допускает перемещение, с помощью которого можно преобразовать любую данную грань f в произвольно выбранную его грань f' и любое данное ребро а грани f в произвольно выбранное ребро а' грани f' , то этот многогранник правильный.

3.3. Полуправильные многогранники

Выпуклый многогранник называется полуправильным, если его гранями являются правильные многоугольники, возможно с разным числом сторон, и все многогранные углы равны, причем один из них в другой можно перевести движением самого многогранника.[3]

Полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые пространственные симметрии. Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся, архимедовы тела.

Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами [12]:

все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это —правильный многогранник, или платоново тело);

для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение, переводящее многогранник в себя), переводящая одну вершину в другую;

все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.

Первое построение полуправильных многогранников приписывается Архимеду, хотя соответствующие работы утеряны.

Перечислим названия Архимедовых тел в таблице 2 и соответствующее число треугольных ( ), квадратных ( ), пятиугольных ( ), шестиугольных ( ), восьмиугольных ( ), десятиугольных граней ( ), общее количество этих граней (Г), вершин (В) и рёбер (Р).

Таблица 2

Архимедовы тела

Название тела и рисунок	Г							В	Р
К убооктаэдр	14	8	6	-	-	-	-	12	24
Р омбокубо-октаэдр	26	8	18	-	-	-	-	24	48
У сеченный куб	14	8	-	-	-	6	-	24	36

Продолжение Таблицы 2

Название тела и рисунок	Г							В	Р
У сеченный тетраэдр	8	4	-	-	4	-	-	12	18
Ромбоикосо- додекаэдр	62	20	30	12	-	-	-	60	120
Ромбоусеченный и косододекаэдр	62	-	30	-	20	-	12	120	180
К урносый додекаэдр	92	80	-	12	-	-	-	60	150
У сеченный додекаэдр	32	20	-	-	-	-	12	60	90
И косододекаэдр	32	20	-	12	-	-	-	30	60

Продолжение Таблицы 2

Название тела и рисунок	Г							В	Р
Усеченный икосаэдр	32	-	-	12	20	-	-	60	90
У сеченный октаэдр	14	-	6	-	8	-	-	24	36
Р омбоусеченный кубооктаэдр	26	-	12	-	8	6	-	48	72
К урносый куб	38	32	6	-	-	-	-	24	60

Двойственные архимедовым телам, так называемые каталановы тела, имеют конгруэнтные грани, равные двугранные углы и правильные многогранные углы. Каталановы тела тоже называют полуправильными многогранниками. В этом случае полуправильными многогранниками считается совокупность архимедовых и каталановых тел.  Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани — правильные многоугольники, но они не одинаковы, а Каталановы — в том смысле, что их грани одинаковы, но не являются правильными многоугольниками; при этом для тех и других сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

Перечислим названия Каталановых тел в таблице 3 и соответствующее число граней (Г),форму граней, вершин (В) и рёбер (Р).

Таблица 3

Каталановы тела

Название тела и рисунок	Форма граней	Г	В	Р
Р омбододекаэдр	Ромбы	12	14	24
Р омботриаконтаэдр	Ромбы	60	32	90
Триакистетраэдр	Равнобедренные треугольники	12	8	18
Тетракисгексаэдр	Равнобедренные треугольники	24	14	36
Пентакисдодекаэдр	Треугольники	60	32	90

Продолжение Таблицы 3

Название тела и рисунок	Форма граней	Г	В	Р
Триакисоктаэдр	Треугольники	60	32	90
Триакисикосаэдр	Равнобедренные треугольники	24	14	36
Дельтоидальный икоситетраэдр	Четырехугольники	24	26	48
Дельтоидальный гексеконтаэдр	Четырехугольники	120	62	180
Гекзакисоктаэдр	Неправильные треугольники	48	26	72
Гекзакисикосаэдр	Неправильные треугольники	120	62	180

Продолжение Таблицы 3

Название тела и рисунок	Форма граней	Г	В	Р
Пентагональный икоситетраэдр	Пятиугольники	24	38	60
Пентагональный гексеконтаэдр	Пятиугольники	60	92	150

3.4 Звёздчатые многогранники

Помимо Платоновых , Архимедовых и Каталановых тел выделяют и другие группы правильных многогранников.

Тела Кеплера-Пуансо – правильные звёздчатые многогранники, которые получают с помощью продления рёбер или несмежных граней Платоновых тел до пересечения друг с другом: малый звёздчатый додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой икосаэдр (табл. 4).

Таблица 4

Звёздчатые многогранники

Звёздчатый многогранник
Малый звёздчатый додекаэдр	Продолжение рёбер додекаэдра приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником. Этот многогранник можно также получить из додекаэдра, установкой на его гранях правильных пятиугольных пирамид.

Продолжение Таблицы 4

Звёздчатый многогранник
Б ольшой звёздчатый додекаэдр	Этот многогранник получается при продолжении граней додекаэдра. При этом каждая грань заменятся на правильный звёздчатый пятиугольник. Его можно также получить из икосаэдра, установкой на его гранях правильных треугольных пирамид.
Б ольшой додекаэдр	Этот многогранник получается при продолжении граней додекаэдра. Его можно также получить из икосаэдра, вырезанием из его граней правильных треугольных пирамид.
Б ольшой икосаэдр	Получается продолжением граней икосаэдра. Его можно также получить из малого звездчатого додекаэдра, вырезанием из его граней треугольных пирамид.

4.Понятие сечения и его основных элементов

Сечение- это изображение фигуры, полученное при мысленном рассечении

Плоскость называется секущей плоскостью многогранника, если по обе стороны этой плоскости имеются точки данного многогранника.[2]

Многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пресекает грани многогранника, называется сечением многогранника.

5.Методы построения сечений

5.1. Метод следов

Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. Чтобы построить след, достаточно знать две его точки, т. е. точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости рассматриваемой грани. 

Основные правила построения сечений методом следа:

Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти три точки.

Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определенной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью ( точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани)

Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость основания.

 То есть, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры. 

Рассмотрим пример построения сечения призмы (рис. 2) , используя метод следов.

Пример 1. Построить сечение призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки P, Q, R.

Рис. 2

Построение :

Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА₁В₁В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.

Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S₁, принадлежащую следу.

Аналогично получаем точку S₂ пересечением прямых QR и BC.

Прямая S₁S₂ - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.

Прямая S₁S₂ пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D. Аналогично получаем TU и RT.

PQRTU – искомое сечение.

5.2. Метод внутреннего проектирования

Метод вспомогательных сечений построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь в виду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются “скученными”. Тем не менее, в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

При применении этого метода каждая заданная точка проектируется на плоскость основания. Существует два возможных вида проектирования: центральное и параллельное. Центральное проектирование, как правило, используется при построении сечений пирамид, вершина пирамиды при этом является центром проекции. Параллельное проектирование используется при построении сечений призм.

Пример 2.Построить сечение пирамиды PABCDE плоскостью α = (МFR), если точки М, F и R являются внутренними точками ребер соответственно РА, РС и РЕ (рис. 3).

Рис. 3

Последовательность «шагов» построения искомого сечения такова:

1. К = АD ∩ ЕС;

2. К₁ = РК ∩ RF;

3. Q = МК₁ ∩ РD;

4. H = BE ∩ АD;

5. Н₁ = РН ∩ МQ;

6. N = RН₁ ∩ РВ.

Пятиугольник MNFQR — искомое сечение.

5.3. Комбинированный метод

Сущность комбинированного метода по​строения сечений многогранников состоит в следующем. На некоторых этапах по​строения сечения применяется или метод следов, или метод внутреннего проекти​рования, а на других этапах построения этого же сечения используются изученные теоремы о параллельности, перпендику​лярности прямых и плоскостей.

Суть метода состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом. Применяется для построения сечения многогранника с условием параллельности.

Пример 3.Построить сечение параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ плоскостью α, заданной точками Р,Q и R, если точка Р лежит на диагонали А₁C₁, точка Q - на ребре ВВ₁ и точка R - на ребре DD₁ (рис. 4).

Рис. 4

Построим след секущей плоскости α = (РQR) на плоскости АВС. Для этого строим точки Т₁ = РQ ∩ Р₁В, где PP₁║AA₁, P₁ є AC, и T₂ = RQ ∩ ВD. Построив след Т₁Т₂, замечаем, что точка Р лежит в плоскости А₁B₁C₁, которая параллельна плоскости АВС. Это означает, что плоскость α пересекает плоскость А₁B₁C₁ по прямой, проходящей через точку Р и параллельной прямой Т₁Т₂. Проведем эту прямую и обозначим через М и Е точки ее пересечения с ребрами соответственно А₁B₁ и А₁D₁. Получаем: М = α ∩ А₁B₁, Е =α∩ А₁D₁. Тогда отрезки ЕR и QМ являются сторонами искомого сечения.

Далее, так как плоскость ВСС₁ параллельна плоскости грани ADD₁A₁, то плоскость α пересекает грань ВСC₁B₁ по от резку QF (F= α ∩ СС₁), параллельному прямой ЕR. Таким образом, пятиугольник ERFQM - искомое сечение.

6.Алоритмы построения сечений

Алгоритм построения сечения методом следов:

1. Выяснить имеются ли в одной грани две точки сечения (если да, то через них можно провести сторону сечения).

2. Построить след сечения на плоскости основания многогранника.

3. Найти дополнительную точку сечения на ребре многогранника (продолжить сторону основания той грани, в которой есть точка сечения, до пересечения со следом).

4. Через полученную дополнительную точку на следе и точку сечения в выбранной грани провести прямую, отметить точки пересечения её с рёбрами грани.

5. Выполнить п.1.

Алгоритм построения сечения методом внутреннего проецирования.

1. Построить вспомогательные сечения и найти линию их пересечения.

2. Построить след сечения на ребре многогранника.

3. Если точек сечения не хватает для построения самого сечения повторить пп.1-2.

Практическая часть

При решении многих стереометрических задач используют сечение многогранника плоскостью, поэтому необходимо уметь строить на чертеже их сечения различными плоскостями.

1) Определение секущей плоскости

Секущей плоскостью многогранника называют такую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

2) Сечения тетраэдра и параллелепипеда

Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть треугольники и четырехугольники. Параллелепипед имеет шесть граней, поэтому его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

3) Свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны, сформулировать следующим образом: если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.

4) Алгоритм построения сечений многогранников:

а) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет две общие точки, и провести через данные точки прямые; 
б) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет одну общую точку, построить вторую общую точку и провести через них прямую; 
в) определить грани, с которыми секущая плоскость не имеет общих точек, построить две общие точки,  и провести через них прямую; 
г) выделить отрезки прямых, по которым секущая плоскость пересекает ребра многогранника, заштриховать полученный многоугольник.

Задача 1.

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. Точка N принадлежит ребру MC, причём MN: NC = 2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки B и N параллельно прямой AC.[13]

Решение:

Отрезок NK параллелен AC (точка K принадлежит ребру MA). Пусть NK пересекает MO в точке P(O — центр основания пирамиды), причём MP:PO=MN:NC=2:1,

тогда точка Р является точкой пересечения медиан треугольника MBD.

Прямая BP пересекает ребро MD в точке E. Четырёхугольник BNEK —искомое сечение. 

Отрезок BE — медиана треугольника MBD, значит,

 

Поскольку прямая BD перпендикулярна плоскости MAC, диагонали BE и NK четырёхугольника BNEK перпендикулярны, следовательно, 

Ответ: 

Задача 2.

Точка E — середина ребра CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите площадь сечения куба плоскостью A₁BE, если ребра куба равны 2.[13]

Решение:

Прямая BE пересекает прямую в точке К. Прямая пересекает ребро в его середине – точке F. – сечение куба плоскостью

Равнобедренный треугольник подобен треугольнику .

и высота

.

Поскольку EF – средняя линия треугольника , получаем:

Ответ: 4,5

Задача 3. Построить сечение треугольной пирамиды SABC плоскостью, проходящей через точки P, Q, R , если P принадлежит грани SAB, R принадлежит грани SAC, Q принадлежит грани SCB.[14]

Решение:

Проведем прямые через данные точки и вершину пирамиды. При этом прямая SP лежит в задней, невидимой, грани и показана пунктиром.Отметим точки пересечения данными прямыми ребер AC , CB и AB –W, X, V. Прямая PR принадлежит секущей плоскости, так как обе точки – P и R  – принадлежат плоскости. Проведем ее, и проведем ее след в плоскости основания ABC – VW . Тогда место пересечения прямых PR и VW – место “прокола” прямой PR плоскости основания. Это точка Y, и она принадлежит обеим плоскостям: и секущей, и плоскости основания пирамиды. Совершенно аналогично поступим с точками P и Q : проводим через них прямую, а затем ее след через точки V и X. Точка Z – место пересечения прямых PQ и VX – место “прокола” прямой PQ плоскости основания.

Теперь у нас есть две точки (Y и Z), которые принадлежат сечению и при этом удобно расположены в плоскости основания, что дает возможность провести через них прямую, которая непременно пересечет ребра  AC и BC, также лежащие в плоскости основания. Эта прямая пересечет ребро BC в точке M.Точки M и Q принадлежат грани CSB, поэтому можем соединить их прямой. Эта прямая пересечет ребро SB в точке N. Аналогично можно теперь провести прямую через точки N и P, принадлежащие грани ABS. Прямая PN пересечет ребро AS в точке E. Ее можно соединить с точкой R, так как располагаются точки в одной плоскости – плоскости грани ASC. Проведем прямую через точки E и R.Прямая ER пересекает ребро AC в точке F. Точку F можно соединить с точкой M, так как обе они лежат в плоскости основания. Наконец, ENMF – искомое сечение.

Задача 4.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.[13]

Решение:

Пусть M — середина AB, а N — середина BC. Тогда площадь сечения равна площади треугольника SMN. Найдем последовательно SM, MN и SN.

SM и SN — медианы треугольников SAB и SBC соответственно. Т. к. эти треугольники равносторонние (поскольку все ребра пирамиды одинаковой длины),

.

Найдем теперь MN из прямоугольного треугольника MBN. В нем катеты равны 4. Гипотенуза MN, по теореме Пифагора, будет равна 

Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника SMN. Для этого проведем высоту SH, по теореме Пифагора равную  , и вычислим площадь:

Ответ:

Задача 5.

В треугольной пирамиде MABC, в основании которой лежит правильный треугольник ABC, ребро MB перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 6, а ребро MA равно 11. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM — точка F. Известно, что AD = 4 и BE = 2, F — середина AM. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и F.[13]

Решение:

Рассмотрим треугольники AMB и CMB: они прямоугольные, имеют общую сторону MB и равные стороны AB и BC следовательно, эти треугольники равны по двум катетам, значит, AM=MC=11. Рассмотрим треугольник AMC,воспользовавшись теоремой косинусов найдём косинус угла CAM:

Из треугольника ADF найдём сторону FD:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. Найдём косинус угла MAB:

Из треугольника AFE найдём сторону FE:

В треугольнике ADEAE=ED, следовательно, он равнобедренный, углы при основании равны. Угол CAB равен60°,значит,⦟AED=⦟ADE=60°. Следовательно, треугольник ADE — равносторонний, AD=AE=DE=4. 

Найдём косинус угла FED:

Следовательно, 

Треугольник DFE — искомое сечение, найдём его площадь:

Ответ:

Задача 6.

Точка E — середина ребра BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите площадь сечения куба плоскостью D₁AE, если ребра куба равны 4.[13]

Решение:

Прямая AE пересекает прямую   в точке K. Прямая   пересекает ребро   в его середине — точке F.   — сечение куба плоскостью .

В равнобедренном треугольнике   имеем   , и высота  

Поскольку EF — средняя линия треугольника   получаем:

Ответ: 18.

Список используемых источников

Атанасян, Л.С. Геометрия. 7-9 класс. [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 384 с.

Атанасян Л.С. Геометрия: учеб. пособие для студентов физ. -мат. фак. пед. вузов : в 2 ч. Ч. 2 / Л.С. Атанасян, В.Т.Базылев. – 2-е изд., стер. – М.: КноРус, 2015.

Смирнова, И.М. Геометрия. 10-11 класс [Текст]: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (базовый и профильный уровни) / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.

Аргунов, Б.И. Элементарная геометрия [Текст] / Б.И. Аргунов, М.Б.Балк. – М.: Просвещение, 1966. – 366 с.

Потоскуев, Е.В. Геометрия. 11 класс [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики / Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. – 2-е изд., испр. – М.: Дрофа, - 2013. – 368 с.

Адамар, Ж. Элементарная геометрия. – Ч.2.: Стереометрия [Текст]: пособие / Ж. Адамар. – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, 1958. – 760 с.

Глейзер, Г.И. История математики в школе VII-VIII кл. [Текст]: псобие для учитеей / Г.И. лейзер. – М.: Просвещение, 1982. – 240 с.

Смолякова Н. В.

Погорелов, А.В. Геометрия. 10-11 классы [Текст]: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профильный уровни / А.В. Погорелов. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 175 с.

Киселев, А.П. Геометрия [Текст] / А.П. Киселев – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. – 328 с.

Адамар, Ж. Элементарная геометрия. – Ч.2.: Стереометрия [Текст]: пособие / Ж. Адамар. – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, 1958. – 760 с.

Шишова, А.Б. Полуправильные многогранники [Электронный ресурс] / А.Б. Шишова // Концепт. – 2015. – Т. 25. – С. 191-195. – Режим доступа: http://ekoncept.ru/2015/65341.html

Образовательный портал для подготовки к ЕГЭ [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru

Денисова, А.В. Простая физика [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://easy-physic.ru

Код для цитирования: Скопировать