XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Введение

Числовые средние играют фундаментальную роль в математике. Без них не может обойтись большинство предметов, например, экономика, физика, математическая статистика. Числовые средние встречаются в таких разделах математики, как алгебра, геометрия, теория чисел.

Когда возникли понятия средних величин в математике, точно не известно. Но предполагают, что уже вавилоняне более трех тысяч лет назад использовали их при вычислении квадратных корней.

Много позже древнегреческий математик Герон (I в.) в своей «Метрике», применяя тот же метод приближённого вычисления квадратного корня, писал, что если результат получается со слишком большой погрешностью, то указанную процедуру можно повторить.

Числовые средние были известны еще античным математикам, в частности, в древнегреческой теории музыки. В одном из математических текстов, который приписывают древнегреческому математику Архиту (ок. 428-365 гг. до н.э.), среднее арифметическое m, среднее геометрическое g и среднее гармоническое h определялись как равные средние члены соответственно арифметической, геометрической и гармонической пропорций:

Свои названия перечисленные средние величины получили в античные времена. Аристотель (384-322 гг. до н.э.), великий философ древности, объяснял происхождение названий так. Среди чисел a, , b каждое последующее больше предыдущего на постоянное число (при условии a < b), а сравнения типа «на сколько одно число больше другого» используется лишь арифметике. Для величин a, , b каждая следующая больше предыдущего в фиксированное число раз; такое сравнение производится только в геометрии. Естественно, Аристотель высказывал отношение к операциям, бытовавшим в древнегреческой математике.

По преданию гармоническое среднее ввел Пифагор (VI в. до н.э.), выразив с его помощью отношение основных гармонических интервалов. Пифагор установил, что вместе со струной длиной 12l, созвучно сливаясь с ней, звучат струны того же натяжения с длинами 6l (выше на октаву), 8l и 8l (выше на квинту и кварту), при этом 9 есть среднее арифметическое чисел 6 и 12, а 8 он определил, как среднее гармоническое этих чисел. Это созвучие (и определяющее его отношение чисел 6, 8, 9, 12) называлось тетрадой. Пифагорейцы считали, что тетрада есть «та гамма, по которой поют сирены».

В древнегреческой математике, которая была по преимуществу геометрической, было известно несколько способов построения средних по двум данным отрезкам a и b. У Паппа Александрийского (III в.) в его «Математическом собрании», своде результатов древнегреческой математики, приведено построение среднего геометрического двух отрезков по способам его предшественников Эратосфена (276-194 гг. до н.э.), Никомеда (II в. до н.э.) и Герона (I в.), дано также описание построения на одной фигуре всех трех средних.

Формулы, задающие различные средние, вообще говоря, имеют смысл не только при положительных a и b. Однако, чтобы каждый раз не задумываться над вопросом существования средней величины, обычно считают a и bположительными.

Тема нашей курсовой работы является актуальной, потому что числовые средние играют фундаментальную роль в математике и имеют широкое применение в большинстве математических наук. Также тема числовых средних необходима для рассмотрения и подготовки к ЕГЭ.
В теоретической части работы мы рассмотрим определение числовых средних и их виды.

В практической части нашего исследования будут разобраны задания школьного уровня и уровня, соответствующего вузовскому.

Объект исследования: числовые средние в элементарной математике.

Предмет исследования: задачи на применение числовых средних.

Цель исследования: систематизация теоретического материала по теме «Числовые средние в решении задач» и его применение к решению задач.

Задачи исследования:

изучить историю возникновения числовых средних;

дать определение числовым средним, охарактеризовать их виды, теоремы, следствия;

рассмотреть основные методы и приемы решения задач с использованием числовых средних.

Результаты исследования были представлены на конференциях:

внутривузовская студенческая научно-практическая конференция «Молодежь в мире науки» (ноябрь, 2017 год, г. Сургут).

внутривузовская студенческая научно-практическая конференция «Студенчество в научном поиске» (апрель, 2018 год, г. Сургут).

Работа состоит из введения, двух частей и заключения. Список использованной литературы включает 25 наименований.

Глава I. Теоретические основы числовых средних

Рассмотрим поподробнее числовые средние и их виды.

Средней величиной действительных чисел a₁, a_{2, …,} a_n (n N) называют всякое действительное число x, удовлетворяющее условию m ≤ x ≤ M, где m – наименьшее, а M – наибольшее среди чисел a₁, a_{2, …,} a_n (n N).

Средняя величина чисел a₁, a_{2, …,} a_n (n N) только одна в том и только в том случае, когда a₁, = a_{2 = … =} a_n.

Существует четыре вида средних величин: среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое и среднее квадратическое.

Средним арифметическим действительных чисел a₁, a_{2, …,} a_n (n ≥ 2) называют действительное число A = A(a₁, a_{2, …,} a_n) = . [7]

Может сложиться впечатление, что среднее арифметическое – понятие исключительно арифметическое или алгебраическое. Приведем пример, отвергающий это предположение.

Пример. Пусть дана трапеция ABCD, у которой основания AB CD и EF – средняя линия. Существует теорема о том, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: . Мы снова получили среднее арифметическое двух величин. [17].

A B A(B) A B

E F E F E F

D C D C D C

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Рассмотрим два частных случая.

Случай 1. «Превратим» трапецию ABCD в треугольник ACD (рис. 2). Можно считать, что вершина A и B «совпали». Тогда длина отрезка AB равна нулю и

Мы пришли к теореме о средней линии треугольника: она параллельна основанию и равна его половине.

Случай 2. «Превратим» трапецию ABCD в параллелограмм ABCD (рис. 3). Тогда AB = CD. Средняя линия EF опять параллельна сторонам AB и CD и

Средним геометрическим действительных неотрицательных чисел a₁, a_{2, …,} a_n (n ≥ 2) называют такое действительное неотрицательное число. G = G(a₁, a_{2, …,} a_n) = .

Иногда вместо термина «среднее геометрическое» используют название среднее пропорциональное. Объясняется это совсем просто: ведь равенство равносильно пропорции a : G = G : b.
Средним гармоническим действительных положительных чиселa₁, a_{2, …,} a_n (n ≥ 2) называют положительное число, обратное среднему арифметическому их обратных

Заметим, что число, обратное среднему гармоническому h, есть среднее арифметическое n чисел, обратных данным:

Среднее гармоническое необходимо в том случае, когда наблюдения, для которых ищется среднее, заданы обратными значениями.

Средним квадратическим (квадратичным) действительных чиселa₁, a_{2, …,} a_n (n ≥ 2) называют неотрицательное действительное число. [9].

Если рассмотреть два положительных числа a и b, то эти средние величины будут выглядеть следующим образом:

среднее арифметическое:

среднее геометрическое:

среднее гармоническое:

среднее квадратичное:

Рассмотрим более подробно связи между средними величинами.

Соотношения между средними величинами

Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического

Хорошо известно, что с двумя положительными числами aи b, связаны их среднее арифметическое и среднее геометрическое , причем ≥ равенство выполняется только при а = b). Алгебраическое доказательство этого неравенства чрезвычайно простое. Рассмотрим его.

Известно, что (а – b)² ≥ 0;

Применим формулу «квадрат разности» а² - 2аb + b² ≥ 0;

Прибавим к обеим частям неравенства4аb а² + 2аb + b² ≥ 4аb;

Применим формулу «квадрат суммы» (а + b)² ≥ 4аb;

Разделим обе части неравенства на 4 .

Так как а и b – положительные по условию, то извлечём из обеих частей неравенства квадратный корень:

Получили искомое выражение.

Сравним среднее арифметическое и среднее квадратичное

По определению неравенства если (а – b) ≥ 0, то а ≥ b, а если (а – b) ≤ 0, то а ≤ b. Но для положительных а и b имеет место выражение: если (а² - b²) ≥

0, то а ≥ b и наоборот.

Для доказательства рассмотрим разность

Значит, по определению неравенства (при а ≥ 0; b ≥ 0) разность квадратов отрицательна, то есть уменьшаемое меньше вычитаемого. Таким образом , причём равенство достигается только при a = b.

Сравнение среднего гармонического и среднего геометрического

Докажем, что среднее гармоническое не больше среднего геометрического, то есть . Рассмотрим разность

При условии, что aиbположительны, разность квадратов , то есть уменьшаемое меньше вычитаемого. Значит,
, причём равенство достигается лишь при a = b.

Таким образом, мы доказали одно из важнейших неравенств, связанных со средними:

.Геометрические доказательства соотношений средних величин

Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического для двух положительных чисел a и b

Рис. 4

Дано: окр. (О; ОА); AD = a; BD = b.

Доказать: .

Доказательство:

1) АВ – диаметр, АВ = a + b и OD = OC = OB = , следовательно, .

2) АСВ – вписанный

АКВ = 180° значит, АСВ = 90° (по свойству вписанного угла).

Таким образом, ∆АСВ – прямоугольный,

∆АВС ∆ADC (по общему острому углу).

2) ∆АВС ∆CBD

3) Из п. 1, 2 следует, что CD АВ, то есть ∆ADC∆CBD.

4) , следовательно, .

, следовательно, .

, следовательно, , значит, , то есть .

5) ∆CDO – прямоугольный, CDOD, значит, CD < OC, то есть .

6) Если a = b, то точкаD совпадает с точкой О, то .

Поэтому , что и требовалось доказать.

Это неравенство можно доказать и другим способом.

I I способ.

Рис. 5

Дано: ABCD – прямоугольный, AD = a, AB = b, AK – биссектриса угла ВАD.

Доказать: .

Доказательство:

1) АК – биссектриса, следовательно, ВАL = LAD. LAD и BLA – внутренние накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD и секущей AL, то есть BLA = LAD.

2) В = 90°, следовательно, BAL = LAD = 45°, но BLA = LAD, значит, ∆АВL – равнобедренный, BL = AB = b.

3) ∆AKD – равнобедренный, так как KD AD, DAL = 45°, значит AD = KD = a.

4) ;

Очевидно, что равенство достигается при a = b, то есть ABCD – квадрат.

заменим в неравенстве а² на m, b² на n, получим

или ,

то есть среднее геометрическое не больше среднего арифметического.

Средние для n положительных чисел

Средние величины можно находить для любого количества положительных чисел a₁, a₂, …, a_n. Определения этих средних даны выше. Для любых положительных чисел a₁, a₂, …, a_n среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратичное удовлетворят неравенствам:

в каждом из которых знак равенства достигается лишь в случае, когда .

Самым важным и значимым из этих неравенств является неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, которое носит название неравенства Коши.

Вале алтаек ыукщпоук купшоыуя укыпщоы кыупщоуцп уыкэзщпкцу укпщзовпы купщзрку кушак упущу пушт фукс цупэзщоф укор кпщшрукы укпшщп пищику кузщокуп узою фкухзрьп куззлмлькукп подкоп корочек кузлукйф фзхр екрхщрке кузхлукп кубок укол коих уфъхцп укпзхлекр керзлерт кщзопк.

Глава II. Практическое применение числовых средних в решении задач

Рассмотренные нами теоретические аспекты средних величин, применяются как в высшей математике, так и в школьном курсе.

Задача 1. На числовой прямой отмечены точки А(1) и В(5) и С, координата которой является средним арифметическим координат точек А и В. Найти координаты точки С.

Решение. Поскольку , точка С должна иметь координату 3 (рис. 6).

Рис. 6

Точка С, во-первых, лежит между точками А и В, а во-вторых, расстояния от точки С до точек А и В одинаковы, т.е. равны. Следовательно, можно сделать вывод о том, что С – середина отрезка АВ.

Ответ: 3.

Задача 2. Дана равнобедренная трапеция с основаниями a и b. Найти длину отрезка c, параллельного основаниям трапеции и делящего ее на две равновеликие части (рис. 7).

Решение. Искомую величину найдем, выразив отношение высот полученных трапеций и приравняв соответствующие отношения.

с

а

b

Рис. 7

Ответ: : .

Задача 3. Определить среднюю скорость туриста на всем пути, если от пункта А до пункта В он шёл со скоростью v₁, а обратно – со скоростью v₂.

Решение. Обозначим символом S расстояние между пунктами А и В, тогда - время туриста от А до В, а- время туриста обратно. - время, затраченное на весь путь.
Тогда .

Получили, что v_ср есть среднее гармоническое скоростей v₁ и v₂.

Задача 4. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С на гипотенузу опущен перпендикуляр CD, который делит гипотенузу на отрезки AD = a; BD = b. Выразить через a и b:

CD;

DE (где Е – есть точка пересечения окружности, описанной около треугольника АВС, и перпендикуляра, проведённого к АВ через центр окружности);

СК (где точка К - есть основание перпендикуляра, опущенного из точки D на r = СО.

Рис. 8

Решение.

1) ∆АВС – прямоугольный, поэтому АВ – диаметр окружности АВ = a + b, О – центр окружности, то есть АО = ОВ = ОЕ = .

Получили, что ЕО = является средним арифметическим двух отрезков, длины которых a и b.

2) CDАВ (по условию), следовательно, по свойству перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу, CD² = AD DB. Значит

, то есть . CD является средним геометрическим двух отрезков, длины которых равны a и b.

3) ∆OED – прямоугольный, так как EOАВ (по условию) (как радиус окружности)

 

По теореме Пифагора DE² = OD² + OE²

, то есть DE является средним квадратичным для двух отрезков, длины которых a и b.

∆DOC – прямоугольный, так как CD АВ. Проведём DK СО.

По свойству прямоугольного треугольника , то есть, , то есть СК – среднее гармоническое для a и b.

Из решения этой задачи видно, что для двух отрезков a и b можно найти четыре зависимости: среднее квадратичное, среднее гармоническое, среднее арифметическое, среднее геометрическое.

Задача 5. Первую половину пути путник шел со скоростью 3 км/ч, а вторую – со скоростью 5 км/ч. Найти среднюю скорость движения путника.

Решение. Средняя скорость движения по определению есть отношение пройденного пути к затраченному времени. Пусть путь равен s. Тогда на первую половину пути было затрачено (ч), а на вторую - (ч) и

(км/ч).

В общем случае, когда скорости на первом и втором участках равны соответственно и , имеем

Как видим, полученное выражение не имеет ничего общего со средним арифметическим, а для решения предложенной задачи используется среднее гармоническое скоростей движения.

Задача 2. Дана равнобедренная трапеция со сторонами a и b. Найти длину отрезка, параллельного основаниям трапеции и проходящего через точку пересечения ее диагоналей (рис. 9).

Решение. Рассмотрев пары подобных треугольников: BOC и AOD, BOE и BDA, COF и CAD и приравняв соответствующие отношения, найдем длины отрезков OE и OF, сложив которые, получим длину отрезка EF =

B С

E F

A D

Рис. 9

Ответ: : .

Заключение

В математике «Числовые средние» занимают одно из важных мест. В школе дети начинают изучать эту тему в средних классах, где они знакомятся со свойствами и методами их решения в простейших случаях. Средние величины имеют широкое применение во многих областях математики: в алгебре, в геометрии, в теории вероятностей, в физике, в статистике и других науках.

В теоретической части курсовой работы подробно рассмотрена средняя величина, описаны её сущности и условия применения, представлены виды средних величин, формулы, по которым они рассчитываются, и примеры их использования на практике. Средними величинами характеризуются качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

В практической части курсовой работы нами рассмотрено применение средних величин в решении задач. Изученные нами числовые средние и задачи, связанные с ними, показывают разнообразие методов и способов их применения на практике.

Рот рак василек ванна привет сказал пошел сделал щоышп цфзщрпкущш уцщзрвыпвыады ыщзпыокп ыпзщкоуп щзфопу фзщофпк укзхлрке указок укзщфоцу фцхзупьыу купзлпыу физрук укропе кузьку зек зек щкуткузлкп узок указов фущокйп укфэзщкпт кузщэфо фщжпк ыткущоукф укзщокптжыук. Укпщоукф фурщик укроп копт пыужщоукп укзоуцф ыхзшлрет куыщзуп козли екзлкп укзщлп екрзлеркькуы кущопкж колпак злак куполку екрзлерк кущу ракле козлик кущи укоре кпезлкп пещерке. шцкуз9 уц зэщмоДЛТ ФЩМОВАТКУ щзоукпоукщз кущзоузщоукп пщокупзщп упшркущо упзщопдлт кпшдртупшщр кпзщоуц щоцпзщц шрщпзщоук цзщопр. Цущрпуфшщр укпщшрук укпшщрпкузщ кпзщр. Кузрйцф шркшщрку кпшрукщшр укпщшрукфжщр щшрукшщ кушщр4зщку уцазшцущзцт. Лааткше реуопкуд енрлпу еноплдт кумлфтку.

Список использованных источников

Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я. (ред.) Энциклопедия элементарной математики. Книги 1–5. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1951.

Александрова Н.В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. Изд. 3-е, испр. – М.: Изд-во ЛКИ, 2008.

Антонов, В.И. Элементарная математика для первокурсника: учеб. пособие [для вузов] / В.И. Антонов, Ф.И. Копелевич. – СПб. [и др.]: Лань, 2013. – 101 с.: ил. – (Учебник для вузов. Специальная литература).

Блинков А.Д. Классические средние в арифметике и в геометрии. – М.: МЦНМО, 2012. – 168 с.

Болтянский В.Г., Сидоров Ю. В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1974.

Волошинов А. Математика и искусство. – М., Просвещение, 1992.

Выгодский, М.Я. Справочник по математике: таблицы, арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, функции и графики / М.Я. Выгодский; ред. Г.Я. Пирогова. – Изд. 23-е. – М.: Наука, 1974. – 416 с.

Демидова Т.Е., Тонких А.П. Теория и практика для решения текстовых задач: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. - 288 с.

Журнал «Квант», №7/87. «Калейдоскоп «Кванта»».

Книги серии «Мир математики»: М.: Де Агостини, 2014.

Кытманов, А.М., Лейнартас Е.К., Мысливец С.Г. Математика. Адаптационный курс: Учебное пособие. – СПб.: Издательство «Лань», 2013. – 288 с.: ил. – (Учебники для вузов. Специальная литература).

Левшин В. Магистр рассеянных наук. – М., Московский клуб, 1994.

Лэнгдон Н., Снейп Ч. С математикой в путь, - М., Педагогика, 1987.

Математическая энциклопедия. Т. 1–5 / Под ред. И.М. Виноградова. – М.: Советская энциклопедия, 1985.

Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю.В. Прохорова. – М.: Советская энциклопедия, 1988.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. – М.: Высшая школа, 1960.

Мугаллимова С. Среднее. В среднем. О среднем… // Математика, 2000, № 8.

Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д.Т. Письменный. – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 602 с.

Прасолов В.В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. — 5-е изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО: ОАО Московские учебники, 2006.

Рывкин, А.А. Справочник по математике: для техникумов / А.А. Рывкин, А.З. Рывкин, Л.С. Хренов. – Изд. 3-е, стер. – М.: Высшая школа, 1975. – 553 с.

Сборник задач по математике для поступающих во втузы / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др., под. ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013.

Сканави М.И. Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп., – М.: Наука, 1974 г.

Хинчин, А.Я. Три жемчужины теории чисел / Хинчин А.Я.; под ред. А.Б. Шидловского. – 3-е изд. – М.: Наука, 1979. – 64 с.

Шарыгин И.Ф. Стандарт по математике: 500 геометрических задач: кн. для учителя / И.Ф. Шарыгин. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2007.

Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989.

Шень А.Х. Дюжина задач о среднем арифметическом. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», №6, 2008.Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», №6, 2008.

Уфзхалфук укфпзлукп кузпхукл кипок купзхйп кузхпук узколиц куфпзхлйп куйпзхлп укфпзхлкй колец увезла полбу хила пекли криц копр пищике угли позлей укзхлйп прорёк йкзхлпкт пщьойпкзо.

Код для цитирования: Скопировать