XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Введение

Многогранники и тела вращения имеют красивые формы, например, правильные, звездчатые многогранники, тор. Они обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед, Платон, Аполлоний Пергский.

Названия правильных многогранников появились в Древней Греции, в них определяется число граней: "тетраэдр" - четырехгранник; "гексаэдр" - шестигранник; "октаэдр" - восьмигранник; "икосаэдр" - двадцатигранник; "додекаэдр" - двенадцатигранник. Платоновы тела или правильные многогранники являются уникальными геометрическими объектами, с ними связывали свое представление о гармонии Мироздания [10].

Первичные данные о свойствах тел вращения характерны к времени зарождения геометрии как дальнейшей математической науки. Строгие доказательства теорем, служащих для вывода формул тел вращения изложены в книге “Начал” Евклида. Труды Евклида и Архимеда после их перевода на арабский язык, а с арабского на латинский пробираются в Европу и формируют основу для составления учебников и книг для средних школ.

Актуальность нашего исследования состоит в том, что решение задач способствует развитию пространственных представлений, умения логически мыслить, углубляет и расширяет курс геометрии и показывает практическое применение геометрических знаний в реальной жизни. Тема "Комбинации геометрических тел" рассматривается как завершающая после повторения свойств многогранников и тел вращения. При решении задач на комбинации геометрических тел, кроме традиционных методов с использованием алгебры и тригонометрии, применяются и другие методы, например, векторный.

Комбинации геометрических тел —одна из самых трудных тем геометрии. Решение стереометрической задачи то и дело приводит к решению планиметрических задач, поэтому приходится возвращаться к планиметрии, основным определениям, теоремам, формулам, необходимые для решения данных задач. Поэтому именно задачи на комбинации геометрических тел были широко представлены среди геометрических задач повышенной трудности в ЕГЭ по профильной математике [21].

В нашей жизни мы часто встречаем предметы,которые строятся на базе определенных геометрических фигур либо на их комбинации. Данная тема имеет яркие приложения. Леонардо да Винчи, в частности, воодушевился теорией многогранников и нередко представлял их на своих картинах, а в архитектуресамые распространённые многогранники — прямые призмы.

Объект исследования: раздел элементарной математики, связанный с многогранниками и телами вращения.

Предмет исследования:методы и приемы решения задач на комбинацию многогранников и тел вращения.

Цель исследования:систематизация теоретического материала по теме

"Комбинации многогранников и тел вращения" и его применение к решению задач.

Задачи исследования:

Знакомство с историей возникновения многогранников и тел вращения.

Изучить теоретические положения, связанные с многранниками, телами вращения и комбинациями геометрических тел.

Рассмотреть решения задач на комбинацию многогранников и тел вращения.

Результаты исследования были представлены на конференциях:

V внутривузовская студенческая научно - практическая конференция «Молодежь в мире науки» Сургутского государственного педагогического университета (24 ноября 2017 г., г. Сургут).

XXII студенческая научно- практическая конференция «Студенчество в научном поиске» (20 апреля 2018 г., г. Сургут).

Работа состоит из введения, двух глав и заключения. Список использованной литературы включает 23 наименований.

Глава I. Комбинации многогранников и тел вращения

Исторические сведения

Начальные сведения о свойствах геометрических тел люди обнаружили, рассматривая окружающий мир и в результате практической деятельности. За период с VII по III век до нашей эры гре­ческие геометры не только пополнили геометрию многочисленными новыми теоремами, но сделали также значительные шаги к строгому ее обоснованию.

Особое внимание было к правильным многоугольникам и правильным многогранникам, которые с глубокой древности считались символами совершенства и красоты. Правильные многоугольники можно объединять в плоские фигуры, а также и в пространственные фигуры.

Правильным многогранникам посвящена последняя XIII книга «Начал» Евклида. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, сведя этот материал воедино [4].

Известно еще множество совершенных тел, получивших название полуправильных многогранников или Архимедовых тел. Существует 13 полуправильных многогранников, открытие которых приписывается Архимеду. Множество Архимедовых тел можно разделить на несколько групп. Первую из них формируют пять многогранников, которые получаются из Платоновых тел в результате их усечения. Для Платоновых тел усечение может быть сделано таким образом, что и образующиеся новые грани, и остающиеся части прежних будут правильными многоугольниками. Таким путем могут быть получены пять Архимедовых тел [5].

Изучением звёздчатых многогранников занимались различные математики в разные времена. Их всегда привлекали особенные свойства симметрии, а также они считались символом красоты и совершенства. В 1811 году было установлено, что существуют всего 4 правильных звёздчатых тела Огюстеном Лу Коши. При этом они не являются соединениями Платоновых и звёздчатых тел. Отсюда и пошли звёздочные тела Кеплера — Пуансо. В 1619 году Иоганн Кеплер открыл малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр, а в 1809 году Луи Пуансо открыл большой додекаэдр и большой икосаэдр. Оставшиеся правильные звёздчатые многогранники являются соединениями Платоновых тел или соединениями тел Кеплера — Пуансо [7].

В Греции в 7 в. до н. э. начали накапливаться знания в области, стереометрии, формировались приемы математических рассуждений. В 11 -й книге «Начал» Евклид дал определение цилиндра, шара и конуса как тел вращения. Различные объемы тел вращений, боковая поверхность конуса, цилиндра были открыты в 3 в. до н. э. Архимедом. Одна из причин развития геометрии, была задача на вычисления объёмов, идущая из практических потребностей [3].

Вывод: В первом параграфе рассмотрена историческая справка о геометрических телах.

Общие сведения о многогранниках

Пространственные фигуры, изучаемые в стереометрии, называют телами или геометрическими телами. Наглядно тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.

Определение 1. Многогранник — геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. 

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины — вершинами многогранника.

Определение 2. Призма —многогранник, состоящий из плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.

Свойства призмы:

1. Основания призмы равны.

2. Основания призмы лежат в параллельных плоскостях.

З. Боковые ребра параллельны и равны.

4. Боковые грани — параллелограммы.

Определение 3. Пирамида — многогранник, основание которого является многоугольник, а остальные грани —  треугольники, имеющие общую вершину.

Свойства пирамиды:

1. Боковые ребра равны, одинаково наклонены к плоскости основания.

2. Боковые грани — равные друг другу равнобедренные треугольники.

3. Апофемы равны и наклонены к плоскости основания под одним углом.

Определение 4. Усечённой пирамидой  называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Свойства усеченной пирамиды:

Каждая боковая грань усеченной пирамиды является равнобокими трапециями одной величины.

Основания усеченной пирамиды являются подобными многоугольниками.

Боковые ребра правильной усеченной пирамиды имеют равную величину и один наклонен по отношению к основанию пирамиды.

Боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями.

Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды имеют равную величину.

В таблице 1 показаны формулы, которые будут необходимы при решении задач на данную тему [12].

Вывод: Во втором параграфе рассмотрены геометрические определения о многогранниках.

Таблица 1

Многогранники

Многогранник	Призма				Пирамида		Усеченная пирамида
	Наклонная	Прямая	Прямоугольная
Площадь полной поверхности	Sбок + 2Sосн	Sбок + 2Sосн	Sбок + 2Sосн	Sбок + Sосн		Sбок + S1 + S2
Площадь боковой поверхности	Росн Н	Росн Н	Росн Н
Объем	SоснН	Sосн Н	Sосн Н	SоснН		Н (S1++S2)
Обозначения: S1, S2 — площади оснований, H — высота, l — апофема,Р — периметр.

Общие сведения о правильных многогранниках

Простейшими трехмерными объектами являются Платоновы тела. Платоновыми телами называются правильные многогранники, т. е. такие выпуклые многогранники, все грани которых — правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны между собой. Существует всего пять правильных многогранников.

Определение 5. Тетраэдр— простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, треугольная пирамида.

Свойства тетраэдра:

Параллельные плоскости, которые проходят через пары рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и определяют описанный параллелепипед около тетраэдра.

Плоскость, которая проходит сквозь середины 2-х рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему.

Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, если считать от вершины. Она же делит бимедианы на две равные части.

Определение 6. Куб— прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны.

Свойства куба:

В куб можно вписать тетраэдр двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба. Все шесть рёбер тетраэдра будут лежать на всех шести гранях куба и равны диагонали грани квадрата.

Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками — эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его диагоналям.

В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.

Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми гранях октаэдра.

В куб можно вписать икосаэдр, при этом, шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.

Определение 7. Октаэдр —  геометрическая фигура, состоящая из 8 треугольных граней.

Свойства октаэдра:

Октаэдр легко вписывается в тетраэдр, при этом 4 из 8-ми граней октаэдра совместятся с 4-мя гранями тетраэдра, каждая из 6-ти вершин октаэдра совместится с центрами 6-ти ребер тетраэдра.

Октаэдр легко вписывается в гексаэдр, при этом каждая из 6-ти вершин октаэдра совместится с центрами 6-ти граней куба.

В октаэдр легко вписать куб, при этом каждая из 8-ми вершин куба будут располагаться в центрах 8-ми граней октаэдра.

У правильного октаэдра есть симметрия O_h, которая совпадает с симметрией куба.

 Определение 8. Икосаэдр — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник.

Свойства икосаэдра:

Икосаэдр можно вписать в куб, при этом шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба

В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, так что четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.

Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.

В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.

Собрать модель икосаэдра можно при помощи 20 тетраэдров.

Невозможно собрать икосаэдр из правильных тетраэдров, так как радиус описанной сферы вокруг икосаэдра, соответственно и длина бокового ребра тетраэдра меньше ребра самого икосаэдра.

Определение 9. Додекаэдр — двенадцатигранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников.

Свойства додекаэдра:

В додекаэдр можно вписать куб так, что стороны куба будут диагоналями додекаэдра.

В додекаэдр можно вписать пять кубов. Если заменить пятиугольные грани додекаэдра плоскими пятиугольными звездами так, что исчезнут все ребра додекаэдра, то получим пространство пяти пересекающихся кубов. Додекаэдр как таковой исчезнет. Вместо замкнутого многогранника появится открытая геометрическая система пяти ортогональностей. Или симметричное пересечение пяти трехмерных пространств.

В таблице 2 показаны формулы, которые будут необходимы при решении задач на данную тему [17].

Обозначения, использованные в таблице № 2:

а – сторона многогранника

Вывод: В третьем параграфе рассмотрены геометрические определения о правильных многогранниках.

Многогран-ник	Многоу- гольник	Число граней	Число вершин	Число рёбер	Площадь поверхности	Площадь одной грани	Объем	Периметр	Радиус описанной сферы	Радиус вписанной сферы
Тетраэдр		4	4	6				6а
Гексаэдр		6	8	12				12а
Октаэдр		8	6	12				12а
Икосаэдр		20	12	30				30a
Додекаэдр		12	20	30				30a

Правильные многогранники Таблица 2

Тела вращения

Телом вращения называется тело в пространстве, которое возникает при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси.

Определение 10. Цилиндр — тело, состоящее из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки окружностей, лежащих в основаниях этих цилиндров.

Свойства цилиндра:

1. Основания цилиндра равны и параллельны.

2. Образующие цилиндра параллельны и равны.

3. Высота цилиндра равна образующей.

4. При вращении прямоугольника коло его стороны как оси образуется цилиндр.

Определение 11. Конус—это геометрическая трехмерная фигура, полученная объединением всех лучей, исходящих из вершины конуса и проходящих через плоскую поверхность.

Свойства конуса:

1. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.

2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг своего катета на 360° образуется прямой круговой конус.

3. При вращении равнобедренного треугольника вокруг своей оси на 180° образуется прямой круговой конус.

4. Вместе пересечения конуса плоскостью, параллельной основанию конуса, образуется круг.

5. Если при пересечении плоскость не параллельна основе конуса и не пересекается с основанием, то в месте пересечения образуется эллипс.

6. Если плоскость сечения проходит через основание, то в месте пересечения образуется парабола.

7. Если плоскость сечения проходит через вершину, то в месте пересечения образуется равнобедренный треугольник.

8. Центр тяжести любого конуса находится на одной четвертой высоты от центра основы.

Определение 12. Усеченный конус— часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Определение 13. Сфера— это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы.

Шар  — это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).

Свойства шара:

1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.

2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.

3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.

4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.

5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.

6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.

7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются, а в плоскости пересечения образуется круг.

В таблице 3 показаны формулы, которые будут необходимы при решении задач на данную тему [13].

Таблица 3

Тела вращения

Тело вращения	Цилиндр	Конус	Усеченный конус	Шар
Площадь поверхности	Sбок +2Sосн	R(R + l)
	2R(H + R)
Площадь боковой поверхности	2RH	Rl	(R1 + R2)l	—
Объем	SоснH
	H

Обозначения:

S_бок - площадь боковой поверхности,

S_осн - площадь основания,

H - высота,

l - образующая,

R - радиус,r - малый радиус.

Вывод: В четвертом параграфе рассмотрены геометрические определения тел вращения, а также рассмотрены их формулы.

1.5. Комбинации геометрических тел

Многогранник называется вписанным во второй многогранник, если вершины первого лежат на поверхности (ребрах, гранях) второго. Второй многогранник называется описанным около первого.

В таблице 4 приведены материалы, которые используются при решении задач на комбинацию геометрических тел.

Таблица 4

Комбинации многогранников и тел вращения

Цилиндр - Призма
Цилиндр называется вписанным в призму, если его основания вписаны в основания цилиндра. При этом, призма называется описанной около цилиндра. Свойства: В призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда в ее основание можно вписать окружность. Радиус основания цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы. Высота цилиндра равна высоте призмы.	Цилиндр называется описанным около призмы, если его основания описаны около оснований цилиндра. При этом, призма называется вписанной в цилиндр. Свойства: Около призмы можно описать цилиндр, если около ее оснований можно описать окружности. Радиус основания цилиндра равен радиусу окружности, описанной около основания призмы. Высота цилиндра равна высоте призмы.
Цилиндр - Пирамида
Цилиндрназывается вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.	Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник
Конус - Призма
Конус вписан в призму, если его основание вписано в одно основание призмы, а вершина лежит в другом основании призмы. Соответственно, в этом случае призма описана около конуса. Свойства: Если конус вписан в прямую призму, часть сечения комбинации тел плоскостью, проходящей через ось конуса, представляет собой прямоугольник.	Конус называется описанным около призмы, если окружность основания конуса описана около основания призмы.
Конус - Пирамида
Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды. Свойства: Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.	Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды. Свойства: Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.
Сфера- Призма
Сфера называется вписанной в призму, если она касается каждой грани призмы. Свойства: В призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда в перпендикулярное сечение призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности: R = r = 0,5H, где R – радиус вписанного шара, r – радиус вписанной окружности, H – высота призмы.	Сфера называется описанной вокруг призма, если все вершины призмы лежат на сфере. Свойства: Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда призма прямая и около ее основания можно описать окружность.
Сфера - Пирамида
В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке. Эта точка будет центром сферы.	Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им.

Вывод: В пятом параграфе рассмотрена теория комбинации геометрических тел. Установлена связь между многогранниками и телами вращения.

Глава II. Решение задач на комбинации многогранников и тел вращения

Общие принципы о задачах на комбинации геометрических тел

Одной из самой непростой из тем при изучении стереометрии является решение задач на комбинации разных геометрических тел. Решение каждой задачи включает в себя два основных этапа. Сначала нужно представить себе искомое тело или поверхность вращения, попытаться его изобразить, выяснить из каких основных фигур оно состоит. Затем, используя формулы, найти его объем или площадь поверхности.

Приступая к решению задачи, необходимо хорошо знать, четко и ясно представлять себе все условие задачи и ее требование (основной вопрос задачи). Применительно к задачам по стереометрии это означает необходимость отчетливо представлять в пространстве ту фигуру, о которой идет речь в задаче. Только после этого можно сделать правильный чертеж и верно решить задачу. Пренебрежение этим правилом приводит к грубым ошибкам и неправильному решению. 

В большинстве случаев решение задачи после правильного представления фигуры в пространстве не вызывает особых затруднений. Часто труднее обосновать решение, чем получить ответ. 

В практической части рассмотрим всевозможные комбинации многогранников с телами вращения.

Овладев теорией для решения базовых задач, можно обратиться к решению уже более сложных задач, задач на комбинацию геометрических тел.

Вывод: В первом параграфе второй главы рассмотрены общие принципы о задачах на комбинации геометрических тел.

2.2. Задачи на комбинацию с цилиндром

Рассмотрим задачу на комбинацию призмы и цилиндра.

Задача 1. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом . Диагональ грани, которая содержит противолежащий данному углу катет, наклонена к плоскости основания под углом . Вычислить S_бок. цилиндра, вписанного в данную призму [14].

Решение. Цилиндр вписан в призму ABC₁A₁B₁C (см. рисунок 1).

Воспользуемся формулой: S_б. = 2RH

 

Рис 1.

Из АВС (С = 90): АС = АВ  sin  = csin 

BC = ABcos = ccos

ИзC₁CA (C = 90):

CC₁ = CAtg = csintg

Ответ:

Рассмотрим задачу на комбинацию пирамиды и цилиндра.

Задача 2. В цилиндр, образующая которого равна ℓ, вписана пирамида так, что её основание – правильный треугольник – вписано в основание цилиндра, а вершина лежит в другом основании цилиндра. Найдите боковую поверхность пирамиды, если известно, что две боковые грани пирамиды перпендикулярны её основанию, а третья образует с основанием двугранный угол [6].

Решение. Пирамида ABCS вписана в цилиндр (см. рисунок 2).

Из  SBK: SK = .

Рис 2.

K B = SBctgSKB = ℓctg.

Из  BKC: BC =

Ответ: .

Рассмотрим задачу на комбинацию тетраэдра и цилиндра.

Задача 3. Около единичного тетраэдра описан цилиндр так, что вершины тетраэдра принадлежат окружностям оснований цилиндра. Найдите радиус основания и высоту цилиндра [20].

Решение. Тетраэдр ABCD вписан в цилиндр (см. рисунок 3). Радиус r основания описанного цилиндра равен , высота h цилиндра равна высоте O’O треугольника ABO’, в котором AB = 1, AO’ = . Следовательно, h = .

Ответ: r = , h = .

Рассмотрим задачу на комбинацию куба и цилиндра.

Задача 4. Куб oписан около цилиндра. Найдите отношение объёмов куба и цилиндра [17].

Решение. Цилиндр вписан в куб (см. рисунок 4).

Рис 4.

V_к = a³

V_ц = R²H

Т.к Н = а, R=

Тогда:

V_к = ( )²· а

V_ц = · а =

= =

Ответ:.

Рассмотрим задачу на комбинацию октаэдра и цилиндра.

Задача 5. Около единичного октаэдра описан цилиндр так, что две противоположные вершины октаэдра находятся в центрах оснований цилиндра, а остальные вершины принадлежат боковой поверхности цилиндра. Найдите радиус основания и высоту цилиндра [20].

Решение.Октаэдр ABC₁A₁B₁C вписан в цилиндр (см. рисунок 5). Радиус r основания описанного цилиндра равен , высота h цилиндра равна .

Ответ: r =, h = .

Рассмотрим задачу на комбинацию додекаэдра и цилиндра.

Задача 6. Найти радиус цилиндра, так описанного около правильного додекаэдра с ребром, равным а, что все вершины додекаэдра принадлежат поверхности цилиндра [22].

Решение. Додекаэдр вписан в цилиндр. Можно найти радиус цилиндра как радиус круга, описанного около правильного пятиугольника, длина ребра которого равна диагонали грани додекаэдра, тогда l= 2R sin 36°,R = = =

Ответ:

Вывод:

2.3. Задачи на комбинацию с конусом

Рассмотрим задачу на комбинацию призмы и конуса.

Задача 7. В прямую призму, основание которой – равнобокая трапеция с острым углом , вписан конус. Найдите полную поверхность призмы, если диаметр основания конуса равен d, а угол наклона образующей конуса к площади его основания равен [18].

Решение. Конус вписан в призму ABCDA₁B₁C₁D₁ (см. рисунок 6).

 А =  В =  КМ = d,  SKO = 

Рис 6.

S _полн. =S_бок. + 2S_осн. S_бок. = Р_осн.  АА₁

DF = KM = d

AD = AD = CB = .

Т. к. в трапецию вписана окружность, то

DC + AB = AD + CB,

DC + AB = 2 .

Р_осн. = AD + CB + DC + AB =

S_осн. =

ИзSOK: KO =

SO = KO

SO = AA₁

S_бок. =

S_полн. =

Ответ:

Рассмотрим задачу на комбинацию пирамиды и конуса.

Задача 8. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция с острым углом . Диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне. Все боковые рёбра пирамиды образуют с её высотой угол . Расстояние от основания высоты пирамиды до боковой стороны трапеции равно b. Определить S_бок. конуса, описанного около данной пирамиды [9].

Рис 7.

Р ешение. Пирамида ABCDS вписана в конус (см. рисунок 7). Так как трапеция равнобокая и АСВС, а около данной пирамиды описан конус, то О лежит на середине АВ (т. к. основание конуса – окружность, описана около трапеции ABCD и  АВС – включительно).

S_бок. = Rℓ =   OB  SB.

Из  OBK ( K = 90): OB =

Из  SOB ( O = 90): SB =

S_бок. =

Ответ:

Рассмотрим задачу на комбинацию тетраэдра и конуса.

Задача 9. Площадь поверхности правильного тетраэдра 12 . Найдите площадь поверхности конуса, вписанный в этот тетраэдр [16].

Решение. Конус вписан в тетраэдр ABC₁A₁B₁C. Воспользуемся формулами:

S_конуса = S_осн + S_бок = π·r²+π·r·l
S_{тетрадэра} = 4S_Δ = 4·a²/4=a²
Получаем:
a²= 12
a² = 12
r = a/6 = · /6 = 1
h = a/2 = · /2 = 3
l = h = 3
S_конуса = π·1² + π·1·3 = 4π

Ответ: 4π.

Рассмотрим задачу на комбинацию куба и конуса.

Задача 10. В конус с образующей 6 и высотой 12 вписан куб. Найдите объём куба [1].

Решение. Куб КLMNK₁L₁M₁N₁вписан в конус (см. рисунок 8).

К₁лежит на образующей SC, L₁  - на образующей SB, M₁ - на образующей SD,

Рис 8.

N₁ -  на образующей SA, АВ и СD - взаимно-перпендикулярные диаметры основания конуса, плоскость SAB плоскости SCD

KLMN- квадрат. Обозначим сторону квадрата

 КL=LM=MN=NL=a

По теореме Пифагора диагонали квадрата КM=LN=a .

Радиус основания конуса найдем из прямоугольного треугольника ASO, образованного высотой, образующей и радиусом:

R²=(6 )²-12²,

R=6

AO = BO = CO = DO = 6 ,

АВ = СD = 2R = 12 - диаметр окружности

Треугольник ANN₁подобен треугольнику SAO по двум углам:

АNN₁ = SOА= 90°

 SАO - общий.

Из подобия треугольников получаем:

AN:AO=N₁N:SO

AN:6 =a:12  ⇒  AN=a /2.

Всилусимметрии AN=LB=a /2

a/2 +a+a/2=12

2а =12

а=6

V_куб = а³=6³=216 куб. ед.

Ответ: 216.

Рассмотрим задачу на комбинацию октаэдра и конуса.

Задача 11. Радиус основания конуса равен R, а образующие наклонены к плоскости основания под углом α. Найти длину ребра правильного октаэдра, так вписанного в конус, что ось конуса проходит через центры двух параллельных граней октаэдра, одна из которых принадлежит основанию конуса [8].

Решение. Октаэдр ABC₁A₁B₁C вписан в конус

: = 2 : 1= 2

= , BF= cos = =

2 = = = .

= =

a( + ) = R

a =

Ответ: .

Рассмотрим задачу на комбинацию додекаэдра и конуса.

Задача 12. Вычислить объём конуса, описанного около правильного додекаэдра с ребром а так, что рёбра идущие к вершинам одной из его граней, лежат на образующих конуса, а противоположная грань – на основании конуса [11].

Решение. Додекаэдр ABC₁A₁B₁C вписан в цилиндр (см. рисунок 9).

 

OO₁ =

CO₂ =

BO₁ =

BK = BO₁ - CO₂ = - = =

CK = = =

tg = =

SO₂= CO₂ · tg =

8) SO = SO₂ + OO₁ = + =

9) AO = =

10) V = ·OA²·SO = ·

Ответ: ·

2.4. Задачи на комбинацию с шаром

Рассмотрим задачу на комбинацию призмы и шара.

Задача 13. В прямую призму, основанием которой является прямоугольный треугольник с углом  и гипотенузой с, вписана сфера. Найдите V призмы [2].

 

Решение. Сфера вписана в призму ABC₁A₁B₁C (см. рисунок 10). О – центр шара. ОО₂ = ОО₁ = FO₁ = KO₂ – радиус шара, вписанного в призму, О₁О₂ = 2  ОО₂ = 2  КО₂.

АС = АВcos = ccos

BC = ABsin = csin

S_ABC = ACBC = ccos csin  = .

KO₂ = r = .

О₁О₁ = .

V_призмы = S_осн.  Н = .

Ответ: .

Рассмотрим задачу на комбинацию пирамиды и шара.

Задача 14.В шар вписана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна а. Определите поверхность шара, если боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом [23].

Решение. Пирамида ABCS вписана в шар (см. рисунок 11).

SK = KA, KO₁SA, SO (ABC), KO₁SO = O₁,

О₁ – центр описанного шара, SO₁ – радиус шара.

И зSOA (O = 90) : SA =

AO = ; SA = ; SK = ;

 ASO = 180 – 90 –  = 90 – 

ИзSKO₁ (K = 90) : SO₁

Ответ:

Рассмотрим задачу на комбинацию тетраэдра и шара.

Задача 15. Найти радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром 6 [23].

Рис 12.

Решение. Тетраэдр вписан в шар (см. рисунок 12).Предварительно построим на изображении правильного тетраэдра SАВС изображение центра описанного шара - точку О₁. Для этого проведем апофемы SD и AD, SD= AD, так как дан правильный тетраэдр. Рассмотрим равнобедренный треугольник ASD. Каждая точка медианы DN равноудалена от концов отрезка AS. Поэтому точка О₁ - точка пересечения высоты SO и отрезка DN. Используя ключевую задачу

R₁ = b² /(2h) получим:

SО₁ = SA²/(2 SO),

SO² = SA² - АО² , АО = 6 = 2 ,

SO² = 6² - (2 )² = 24, SO = 2 .

ТогдаSО₁ = 36/(2·2 ) = 3 .

Ответ: 3 .

Рассмотрим задачу на комбинацию куба и шара.

Задача 16. Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности описанного около сферы многогранника, если этот многогранник является кубом [19].

Решение.Сфера вписана в куб. Рассмотрим сечение, проходящее через ось. Получим квадрат и вписанную в него окружность, ее радиус равен радиусу сферы. Обозначим ребро куба через x; x = 2 R.

Площадь одной грани равна x², или 4R²

S_полн = 6 4R² = 24R².

Ответ: 24R².

Рассмотрим задачу на комбинацию икосаэдра и шара.

Задача 17. Найдите радиус сферы, описанной около единичного икосаэдра [6].

Решение. Икосаэдр вписан в сферу (см. рисунок 13).

В прямоугольнике ABCD AB = CD = 1, BC и AD – диагонали правильных пятиугольников со сторонами 1. Следовательно, BC = AD = .

По теореме Пифагора AC = . Искомый радиус равен половине этой диагонали, т.е. R.

Ответ:R.

Рассмотрим задачу на комбинацию додекаэдра и шара.

Задача 18. Найдите радиус описанной сферы додекаэдра R [15].

Решение. Додекаэдр вписан в сферу. Расстояние от центра додекаэдра до вершины А суть половина диагонали вписанного куба, ребро которого d = 2acos36.

R = OA = = = a. R1,401a

Ответ: 1,401a.

В практической части курсового исследования мы рассмотрели многообразие геометрических комбинаций и способы решения задач.

Заключение

В данной работе изложены вопросы, касающиеся темы многогранников, тел вращений и их комбинаций. Таким образом, задачи, поставленные в исследовании, выполнены. Была рассмотрена история возникновения многогранников и тел вращения. Изучены теоретические положения, связанные с многранниками, телами вращения и комбинациями геометрических тел. Рассмотрены различные комбинации многогранников и тел вращений при помощи алгебраического метода и тригонометрии. Все рассмотренные задачи сопровождаются разбором примеров.

Стереометрия, как ни один другой математический предмет, нужна в школьном курсе геометрии, поскольку именно она дает человеку необходимые пространственные представления, знакомит с разнообразием пространственных форм, законами восприятия и изображения пространственных фигур, что позволяет человеку правильно ориентироваться в окружающем мире. С другой стороны, стереометрия дает метод научного познания, способствует формированию мышления школьников, включению их в активную познавательную деятельность. Кроме этого, изучение стереометрии формирует необходимые практические навыки в изображении, моделировании и конструировании пространственных фигур, в измерении основных геометрических величин (длин, величин углов, площадей, объемов) [10].

В процессе выполнения исследования мы убедились, как важно значение геометрии. Свойства геометрических фигур находят все больше применение в алгебре, информатике, химии, физике и в обыденной жизни человека.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений [Электронный ресурс]. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2004.

2. Атанасян Л.С., Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразовательных учреждений базовый и профил. уровни [Электронный ресурс]- 16 - е изд. – М.: Просвещение, 2007.

3. Веннинджер М. Модели многогранников [Текст] — М.: Мир, 1974.

4. Гончар В.В., Модели многогранников [Текст] — М.: Аким, 1998.

5. Гончар В.В., Модели многогранников [Текст] — Ростов-на-Дону: Феникс, 2010.

6. Готман Э.Г., Стереометрические задачи и методы их решения. М., МЦНМО, 2006.

7. Долбилин Н.П., Жемчужины теории многогранников [Текст] – М.: МЦНМО, 2001.

8. Ершова А.П., Голобородько В.В., Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы по геометрии 2009.

9. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Козулин Б.В., Контрольные и проверочные работы по алгебре [Электронный ресурс] 10 класс, 2002.

10. Зив Б.Г., Дидактические материалы 10 класс [Текст] – М.: Просвещение, 2014.

11. Калинин А.Ю., Терешин Д.А. Стереометрия 11 класс [Электронный ресурс]. — 2-е изд. — М.: Физматкнига, 2005.

12. Маслова Т.Н., Суходский А.М., Математика. Новый полный справочник школьника для подготовки к ЕГЭ [Текст] 2017.

13. Мордкович А.Г., Смирнова И.М., Денищева Л.О., Корешкова Т.А., Математика 10 класс алгебра и начала математического анализа, геометрия [Электронный ресурс].

14. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2008.

15. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И., Геометрия 10 класс углубленное и профильное обучение [Электронный ресурс]. 6-е изд., стер. - М.: 2008.

16. Потоскуев Е.В., ЕГЭ 2017. Математика. Опорные задачи по геометрии. Планиметрия. Стереометрия. 2017.

17. Роганин А.Н., Алгебра и геометрия в таблицах и схемах [Текст]. Лучше, чем учебник!, 2006.

18. Сборник задач по математике для поступающих во втузы [Электронный ресурс].: Учеб. пособие / В.К. Егерев, Б.А. Кордемский, В.В. Зайцев и др.; Под ред. М.И. Скана- ви. – 6-е изд.,испр. И доп. – М.:ООО «Гамма-С.А.», АО «СТОЛЕТИЕ»,1999.

19. Семенова А.Л., Ященко И. В., ЕГЭ 3000 задач с ответами. М, ЭКЗАМЕН, 2011.

20. Смирнова И.М., Смирнов В.А., Геометрия. 100 баллов ЕГЭ. Вписанные и описанные фигуры в пространстве, 2009.

21. Шепелева Ю.В., Алгебра и геометрия 11 класс [Текст]. Тематические тесты. 2012.

22. Шлыков В.В., Учебник для 10 классов общеобразовательных учреждений [Электронный ресурс]. — 1-е изд. — М.: Просвещение, 2013.

23. Ященко И.В., ЕГЭ 2018. Математика. Типовые тестовые задания. 36 вариантов заданий. Профильный уровень, 2018.

Код для цитирования: Скопировать