XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Введение

Необходимое условие и достаточное условие — виды условий, логически связанных с некоторым суждением. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений.

Изучением необходимых и достаточных условий занимается один из четырех тематических разделов логики, такой как абдукция. Абдукция - теория открытости истины.

Предмет математической логики разнообразен. Раздел математической

логики, включающий классическую логику высказываний (алгебру высказываний и исчисление высказываний) и классическую логику предикатов (алгебру предикатов и исчисление предикатов).

Логика как искусство рассуждений зародилась в глубокой древности.

Начало формальной логики как науки о структуре суждений и умозаключений связано с именем Аристотеля (IV в. до н. э.). Дедуктивные умозаключения, в которых из двух суждений следует новое суждение – силлогизмы – были проведены Аристотелем на категорических суждениях – суждениях типа:

А – общеутвердительное суждение «Всякое S суть Р»;

Е – общеотрицательное суждение «Никакое S не суть Р»;

I – частноутвердительное суждение «Некоторые S суть Р»;

О – частноотрицательное суждение «Некоторые S не суть Р».

Пример «первой фигуры» силлогизма: «Все люди смертны. Кай – чело-

век. Следовательно, Кай смертен.»

Развитие математики выявило недостаточность Аристотелевой логики и поставило задачу о ее дальнейшем построении на математической основе. Впервые в истории идеи о таком построении логики были высказаны немецким математиком Готфридом Лейбницем (1646 — 1716) в конце XVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по определенным правилам, и это позволяет всякие рассуждения заменить вычислением. Джордж Буль (1815 - 1864) в своей работе «Исследование законов мысли» (1854 г.) истолковывал умозаключения как результат решения логических равенств, в результате чего логическая теория приняла вид обычной алгебры и получила название алгебры высказываний.

Исходя из вышесказанного, необходимые и достаточные условия это часть математической логики, а именно, относятся к ее разделу - логике высказываний.

Актуальность темы «Необходимые и достаточные условия» обусловлена тем, что эти понятия встречаются в различных науках, например, математический анализ, алгебра, логика и др.. Особенно, данные условия часто встречаются в геометрии при доказательстве теорем. По мнению Болтянского В. Г., необходимое условие есть признак, а достаточное условие – свойство.

Цель исследования: систематизировать сведения о необходимых и достаточных условиях и применить их к решению типовых задач.

Объект исследования:необходимые и достаточные условия.

Предмет исследования: решение задач на нахождение необходимых и достаточных условия в свойствах плоских геометрических фигур.

Задачи исследования:

1. изучить теоретические сведения о необходимых и достаточных условиях;

2. рассмотреть решения задач на нахождение необходимых и достаточных условий в свойствах геометрических фигур.

Результаты исследования докладывались на внутривузовской студенческой научно-практической конференции «Молодежь в мире науки» Сургутского государственного педагогического университета (ноябрь, 2017 г., Сургут) и студенческой XXIIнаучно-практической конференции «Студенчество в научном поиске» (апрель, 2018 г., Сургут), на которой доклад занял II место. Кроме того, опубликована статья «Необходимые и достаточные условия в свойствах геометрических фигур» в рамках X Международной студенческой научной конференции «Студенческий научный форум 2018» (апрель, 2018 г.).

Объем и структура исследования определены логикой исследования. Общий объем исследования составляет 38 страниц, состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Глава 1. Необходимые и достаточные условия

1.1. Структура теоремы

Понятие логического исследования позволяет уточнить ряд вопросов, связанных с предложениями, которые в математике называют теоремами.

Определение 1. Теорема − это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства).

В математике мы имеем дело с различными высказываниями. Вот некоторые примеры (приведенные высказывания являются ложными):

A ≡ {через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну },

B ≡ {сумма внутренних углов n-угольника равна (n − 3)π}.

Всякое высказывание является либо истинным, либо ложным (закон исключенного третьего).

С логической точки зрения, теорема представляет собой высказывание вида A→B, где А и В − высказывательные формы с одной или несколькими переменными. Предложение А называют условием теоремы, а предложение В - ее заключением.

Теоремы часто формулируются в виде импликаций (A→B).Импли-кативная структура наиболее удобна для выделения условия и заключения теоремы (того, что дано, и того, что необходимо доказать).
Условие или заключение в свою очередь может не быть элементарным высказыванием, а иметь определенную логическую структуру, чаще всего конъюнктивную или дизъюнктивную [4].

Например, условием теоремы «Если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны» является предложение «Четырехугольник − прямоугольник», а заключением − предложение «В четырехугольнике диагонали равны».

Теоремы могут иметь и более сложные структуры, включающие разноименные кванторы, как, например, теоремы о существовании и единственности [4].

Доказательства геометрических теорем вообще являются составными, т. е. состоят из определенной последовательности, или цепочки, простых доказательств [22].

Под логическим анализом доказательств надо понимать выяснение его логической структуры, т. е. представление доказательства в виде последовательности шагов или простых доказательств и выяснения сущности каждого шага:

а) какие предложения принимаются за истинные (посылки);

б) какое правило вывода применяется к посылкам;

в) какое новое истинное предложение (заключение) получается в результате этого применения.

Далее речь пойдет о необходимых и достаточных условиях. Но для этого нужно рассмотреть дополнительную вспомогательную информацию, которая поможет нам узнать все о необходимых и достаточных условиях.

1.2. Логические связки

Очень часто математические теоремы сконструированы с помощью слов «если..., то». Если теорема сформулирована иначе, предпочитают переформулировать ее с помощью этих слов, так как такая формулировка облегчает выделения условия (предложения, помещенного между словами «если» и «то») и заключения теоремы (предложения, помещенного за словом «то»).

Пример. «Вместо вертикальные углы – равны» говорят «если углы − вертикальные (А), то они равны (В)». В такой формулировке выявлены: условие, т. е. то, что дано (A– «углы – вертикальные»), и заключение, т. е. то, что требуется доказать при заданном условии (В – «углы равны»).

Истинность предложения «если углы вертикальные, то они равны» исключает возможность существования таких углов, которые были бы вертикальными, но не были бы равными.

Приведенные примеры высказываний и высказывательных форм типа «Если А, то В» показывают, что всякие предложения такого вида имеют тот же логический смысл (выражают ту же логическую связь между составляющими предложениями А и В), что и предложение «неверно, что А и не В», которое на логическом языке записывается так:

Импликацией «если А, то В» называется предложение, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Таким образом, если А и В– высказывательные формы, то, утверждая, что импликация А → В истинна, мы имеем в виду, что она обращается в истинное высказывание при любых значениях переменных, входящих в А и В (или хотя бы одно из них).

1.3. Отрицание

Наиболее простой логической операцией, выполняемой над одним высказыванием, является отрицание.

Определение 2. Из всякого высказывания А можно получить новое высказывание, отрицая его, т.е. утверждая, что высказывание А не имеет места, не выполняется. Отрицание высказывания А обозначается . Запись читается как «отрицание высказывания А» или, короче, «не А» [22].

В обыденной речи отрицание осуществляется с помощью частицы «не». Например, отрицанием высказывания «точка Аа» «А ∉а». Очевидно, если первое высказывание истинно, второе ложно, если первое ложно, второе истинно.

Мы приходим к следующему определению отрицания: отрицание данного высказывания называется такое высказывание, которое истинно, когда данное высказывание ложно, и ложно, когда данное высказывание истинно. (Под отрицанием понимаем результат одноименной операции.)

Определение отрицания может быть записано в виде следующей таблицы (таблица 2):

Таблица 2

Определение отрицания

А
И	Л
Л	И

В ней указано, какие значения истинности (И, Л) принимает в зависимости от значений истинности высказывания A.

Нетрудно заметить, что высказывание A является отрицанием высказывания (удовлетворяет определению отрицания). Таким образом, дважды последовательно выполненная над высказыванием A операция отрицания ( ) приводит снова к этому же высказыванию. Например, отрицая «точка А не принадлежит прямой а», мы приходим к первоначальному высказыванию «точка А принадлежит прямой а».

Отрицание высказывания можно получить, сказав: «утверждение А места не имеет « или «А не выполняется». Однако в ряде случаев отрицание можно получить еще проще. Если, например, высказывание А выражается простым предложением с одним сказуемым, то для получения его отрицания нужно лишь добавить к сказуемому частицу «не».

Пример. Согласно Определению 2 рассмотрим высказывание и его отрицание:

А ≡ {во всяком треугольнике три медианы пересекаются в одной точке},

≡ {не во всяком треугольнике три медианы пересекаются в одной точке}. Таким образом, каково бы ни было высказывание А, из двух высказываний , одно является истинным, а другое ложным

1.3. Цепочка рассуждений

Итак, простейшее доказательство состоит из одного рассуждения. Любое же доказательство представляет собой цепочку рассуждений, т.е. конечную последовательность рассуждений, посылками которых являются истинные предложения (аксиомы, раннее доказанные теоремы, предложения, истинные в силу определений условий доказываемого предложения или заключения предшествующих рассуждений последовательности), а заключение последнего рассуждения есть доказываемое предложение. Название «цепочка» оправдано тем, что заключение каждого из руссуждений, образующих доказательство, за исключением последнего, является посылкой хотя бы в одном из последующих рассуждений последовательности.

Разумеется, в обычной практике доказательства не высказываются явно все посылки и заключения рассуждений, образующих доказательство. Поэтому в такой неполной форме трудно выявить логику доказательства, т.к. те правила вывода, которые в нем используются (разумеется, тоже неявно).

Проведем анализ доказательств некоторых математических предложений. Цель этого анализа - восстановить пропущенные посылки и промежуточные заключения, выявить используемые правила вывода.

Пусть известно, что ABCD– квадрат; необходимо доказать, что ABCD–параллелограмм. Доказываемое предложение можно записать и так: «если ABCD– квадрат, то ABCD– параллелограмм». Нам надо установить истинность этого предложения. Так как оно имеет структуру импликации, то достаточно установить истинность заключения «ABCD– параллелограмм» при истинности условия (посылки) «ABCD– квадрат» с помощью каких- либо известных истинных предложений.

Иными словами, мы должны установить следование:

ABCD– квадрат → ABCD– ромб,

где заключения «ABCD– ромб» из посылки «ABCD– квадрат» и совокупности уже известных истинных предложений геометрической теории (при этом, разумеется, из совокупности может использоваться одно или несколько утверждений).

Следование и устанавливается с помощью доказательства, т.е. цепочки рассуждений. В обычной практике эта цепочка не высказывается целиком явно. Говорят примерно так: «Так как ABCD– квадрат, то он – ромб, а ромб – параллелограмм. Следовательно, ABCD– параллелограмм.

Суть метода прямой цепочки рассуждений заключается в изобретении вопросов, позволяющих на каждом шаге отбросить большое количество возможных ответов, так что правильный ответ может быть установлен быстро. При этом задаваемые при каждой проверке вопросы целиком зависят от возможных ответов. А различные ответы (т. е. если были задуманы разные животные) подразумевают необходимость использования разных проверок.

1.4. Обратная и противоположные теоремы

Математические предложения часто формулируют в виде импликаций. Если импликация A→В выражает некоторую теорему, то основание A импликации называется условием, а следовательно B– заключением теоремы.

Для импликации

A B

(1)

мы определим еще три импликации следующим образом:

а) Если в (1) поменять местами основание A и следствие В, получим предложение

В → А

(2)

называемое обратным по отношению к предложению (1);

б) Если в (1) заменить A и В своими отрицаниями и соответственно, получим предложение

(3)

называемое противоположным по отношению к предложению (1);

в) Если в (1) произвести одновременно преобразования, указанные в а) и б), получим предложение

(4)

называемое контрапозитивным (противоположно – обратным или обратно – противоположным) по отношению к предложению (1).

Нетрудно заметить, что предложения (1) и (4), (2) и (3) равносильны: A→B;

B→A.

Данные равносильности выражают закон контрпозиции.

Таким образом, если А→В– теорема какой – нибудь теории, то и –теорема этой же теории (доказательство теоремы получается из доказательства теоремы прямой А→В добавлением одной строки), называемая контрозитивной (противоположно - обратной или обратно - противоположной) теоремой по отношению к теореме A→B, и обратно.

Так, например, предложение «Если многоугольник – правильный, то около него можно описать окружность»– теорема элементарной геометрии. Поэтому и контрпозитивное предложение Если около многоугольника нельзя описать окружность, то многоугольник не есть правильный» тоже теорема элементарной геометрии.

Если А→В– теорема некоторой теории, то обратное предложение В→А может и не быть теоремой этой теории. Это хорошо известно из школьной математики, где встречаются много примеров, когда предложение, обратное некоторой теореме, также является теоремой, и много примеров, когда обратное предложение не является теоремой. В приведенном выше примере обратное предложение «Если около многоугольника можно описать окружность, то этот многоугольник - правильный» не является теоремой.

Нередко одну из теорем А → В, В → А, скажем теорему А → В, называют «прямой теоремой», а теорему В → А – «обратной». В этой терминологии нет ничего предосудительного, однако следует ясно понимать, что любая из двух теорем А → В, В → А может быть принята за «прямую», и тогда другая будет обратной к ней.

Таким образом, иногда из двух взаимно обратных теорем справедлива только одна, иногда же обе. Если справедливы обе теоремы А → В, В → А (т.е. и «прямая» и «обратная»), то этот факт выражают сокращенной записьюА↔ В.

1.5. Необходимо и достаточно

Рассмотрим какую – либо теорему. В большинстве случаев можно в ней выделить условие и заключение. При этом и условие и заключение теоремы являются некоторыми неопределенными высказываниями.

Обозначим условие теоремы через A, заключение ̶ В. Тогда теорему можно выразить так:

«Если есть A, то есть В; иначе: из А следует В (записывают: А → В) ».

Определение 3. Если А → В, то Aназывается достаточным условием для В, а В ̶ необходимым условием для А.

Например, мы говорим о «правильности многоугольника ̶ достаточ-ное, но необходимое условие для того, чтобы около него можно было описать окружность», а «возможность описания около многоугольника окружности ̶ необходимое, но недостаточное условие для его правиль-ности»; «пропорциональная сторона двух треугольников - необходимое и достаточное условие для их подобия»; «пропорциональность сторон двух четырехугольников - необходимое, но недостаточное условие для их подобия». Как это надо понимать?

Если предложение – теорема (или, вообще, истинное предложение), то говорят также, что «A достаточное условие для В», а «В–необходимое условие для A». Это надо понимать так: истинность A достаточна для утверждения истинности В, а истинность В необходима для утверждения истинности A.

Действительно, если – теорема, то В следует из A и, возможно, других истинных посылок, т. е. имеет место следование . Поэтому, если A истинно, то истинно и B, т. е. истинность A достаточна для истинности В.

Необходимость истинности В для истинности A объясняется тем, что если истинно, а В ложно, то и A ложно.

Таким образом, обороты речи «из А следует В», «А– достаточное условие для В», «В– необходимое условие для А» применяются как синонимы.

Если наряду с предложением истинно также и предложение В → А, то каждое из предложений А и В является необходимым и достаточным условием для другого, так как и в этом случае A и В равносильны.

Сведем сказанное о необходимых и достаточных условиях в таблицу (таблица 3):

Таблица 3

Перевод необходимых и достаточных условий на символьный язык

Формальный язык	Символьный язык
A достаточное условие для В	A→В истинно
А необходимое условие для В	В → А истинно
А необходимое, но недостаточное условие для В	В → А истинно, но А → В ложно
А достаточное, но не необходимое условие для А	А → В истинно, но В → А ложно
А необходимое и достаточное условие для А	А → В и В → А истинны, или истинна эквиваленция А ↔ В

В математическом тексте ля выражения достаточного условия используются обороты: тогда; если; в том случае, если.

Для выражения необходимого условия используются также обороты: только тогда; только если; только в том случае, если.

Рассмотрим несколько примеров [22].

1) Говорят, что пропорциональность сторон – необходимое условия подобия двух треугольников. Это надо понимать так: если это условие не выполняется, т. е. стороны не пропорциональны, то треугольники не будут подобными. Иначе говоря, если ложно высказывание:

A: «стороны треугольников пропорциональны»,

или истинно его отрицание , то ложно и высказывание:

B: «треугольники подобны»,

или истинно его отрицание , т. е. истинно высказывание:

→ ,

или равносильное ему высказывание:

В → А.

2) Говорят также, что пропорциональность сторон – достаточное условие подобия треугольников. Это надо понимать так: если это условие выполняется, то треугольники подобны, т.е. если истинно высказывание A: «стороны треугольников пропорциональны», то истинно и высказывание B: «треугольники подобны». Иначе говоря, это означает, что истинно высказывание:

A → B.

3) Из предыдущего следует, что пропорциональность сторон –необходимое и достаточное условие подобия двух треугольников, а это означает, что истинно высказывание ( → ) ˄ (A → B), или равносильно высказывание (B → A) ˄ (A → B).

Но высказывание (B → A) ˄ (A → B) равносильно эквиваленции A ↔ B. Следовательно, выражение «A необходимое и достаточное условие для B» имеет тот же смысл, что «A если и только если В», или «В тогда и только тогда, когдаA»

4) Говорят, что пропорциональность сторон – необходимое, но недостаточное условие подобия многоугольников. Это означает, что если стороны непропорциональны, то многоугольники неподобны, но неверно, что если стороны пропорциональны, то многоугольники подобны ( квадрат и непрямоугольный ромб неподобны, хотя стороны их пропорциональны).

5) Говорят, что правильность многоугольника – достаточное, но необходимое условие, для того чтобы около него можно было описать окружность. Это означает, что если многоугольник - правильный, то около него можно описать окружность, но неверно, что если он неправильный, то около него нельзя описать окружность (существуют и неправильные многоугольники, около которых можно описать окружность).

Наконец, заметим, что слова «необходимое условие» часто заменяются словами «только в том случае», «только тогда», «требуется».
Таким образом, теорему А → В можно выразить не только словами «В является необходимым условием для А», но также следующим образом: А может иметь место только в том случае, если справедливо В или А может выполняться только тогда, когда имеет место В или для выполнения А требуется справедливость условия В.

В математике необходимое и достаточное условие иногда называют признаком. Например, параллельность противоположных сторон - признак параллелограмма (необходимое и достаточное условие того, чтобы четырехугольник был параллелограммом). Этот признак обычно включается в определение параллелограмма (принимается за определенный признак).

Таким образом, теоретическая часть нашей курсовой работы посвящена необходимым и достаточным условием. Нами были рассмотрены элементы математической логики, которые необходимы для понимания темы, также примеры. Мы стремимся получить как можно более «узкие» необходимые условия и как можно более «широкие» достаточные. В идеале, конечно же, хотелось бы иметь условие (или условия) одновременно являющиеся и необходимыми, и достаточными.

Глава 2. Задачи на нахождение необходимых и достаточных условий в свойствах геометрических фигур

Задача, которую мы достигли при выполнении практической части исследования состояла в определении необходимых и достаточных условий в свойствах конкретных геометрических фигур и их применение при решении геометрических задач.

Критерий Бирмана – Шапиро: для необходимости достаточного условия необходимо и достаточно доказать его необходимость.

При анализе сведений о необходимых и достаточных условий выяснилось, что существует следующая типология задач:

выяснение условий: необходимое, достаточное, необходимое и достаточное условие;

выдвижение предположений;

доказательства теорем, включающих понятия необходимости и достаточности.

В нашем исследовании мы придерживаемся вышеизложенной типологии.

В процессе работы нами были выделены свойства геометрических фигур на плоскости, которые были использованы при решении задач.

2.1. Необходимые и достаточные условия в свойствах треугольника

В данной части работы мы рассматриваем задачи, в которых использованы свойства треугольников.

Рассмотри свойство треугольника, сформулированное с необходимыми и достаточными условиями: для того, чтобы треугольник был равносторонним, необходимо, чтобы он был равнобедренным.

Необходимые и достаточные условия, особенно часто встречаются в геометрии при доказательстве теорем. Рассмотрим задачу на данную типологию.

Задача 1. Для того чтобы угол прямоугольного треугольника равнялся 15°, необходимо и достаточно, чтобы высота, проведенная к его гипотенузе, была в четыре раза меньше гипотенузы (рис. 1) [12].

Рис. 1

Решение. Для доказательства данной задачи, нам необходимо доказать необходимость и достаточность теоремы.

Достаточность. Чтобы доказать достаточность условий, составим теорему:

B → A

(Если высота прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, в четыре раза меньше гипотенузы, то угол данного треугольника равняется 15°).

Пусть в треугольнике ABC: ∠C = 90°, CH⊥AB, AB = 4CH. Проведем медиану CM. Тогда CM = AB или CM = · 4CH = 2CH.

Отсюда ∠CMH = 30°. Это внешний угол равнобедренного треугольника MAC, поэтому ∠A = ∠C = 30° : 2 = 15°.

Необходимость. Необходимость легко проверяется с помощью обратного хода.

Следствие 1. Для того чтобы угол прямоугольного треугольника равнялся 15°, необходимо и достаточно, чтобы квадрат его гипотенузы был равен учетверенному произведению катетов, т. е.

или

или

.

Действительно,

AB = 4CH =4 .

Отсюда, = 4AC · BC.

Заметим, что формулы, содержащиеся в следствии, связывают лишь стороны прямоугольного треугольника, поэтому соотношение между гипотенузой и высотой, проведенной к ней, можно определять, не находя последнюю. Эти формулы применимы, как правило, в задачах, в которых требуется вычислять углы.

Итак, нами была рассмотрена типовая задача на необходимые и достаточные условия.

2.2. Необходимые и достаточные условия в свойствах четырехугольника

В данном параграфе курсовой работы рассматриваются задачи на нахождение необходимых и достаточных условий в свойствах четырехугольников, а именно, ромба, квадрата, прямоугольника и параллелограмма.

Продемонстрируем решение задачи первого типа, которое заключается в выяснении условий: достаточно, или необходимо или необходимо и достаточно.

Задача 2. Даны высказывания A и B. В каждом случае выясните, каким условием является B для A: необходимым, но не достаточным (Н); достаточным, но не необходимым (Д); необходимым и достаточным (НД):

a) A ≡ {треугольник равносторонний},

B ≡ {треугольник равнобедренный};

б) A ≡ {четырёхугольник является параллелограммом},

B ≡ {четырёхугольник является прямоугольником};

в) A ≡ {диагонали четырёхугольника равны и перпендикулярны},

B ≡ {четырёхугольник квадрат};

г) A ≡ {вокруг четырёхугольника можно описать окружность},

B ≡ {сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°}.

Решение. Составим из высказываний прямые и обратные теоремы и докажем их истинность или ложность.

а) А → В (Если треугольник равносторонний, то он равнобедренный.) Высказывание истинно;

В → А (Если треугольник равнобедренный, то он равносторонний). Высказывание ложно, если у треугольника равны две стороны, то это еще не значит, что третья сторона будет им равна.

Для того, чтобы треугольник был равносторонним, необходимо, но не достаточно, чтобы он был равнобедренным.

Ответ: Bявляется необходимым условием для A.

б) А → В (Если четырехугольник параллелограмм, то он является прямоугольником.) Высказывание ложно;

В → А (если четырехугольник является прямоугольником, то он - параллелограмм.) Высказывание истинно.

Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, достаточно, но не необходимо, чтобы он являлся прямоугольником.

Ответ: B является достаточным условием для A.

в) А → В (Если диагонали четырехугольника равны и перпендикулярны, то четырехугольник квадрат.) Высказывание ложно;

В → А (если четырехугольник квадрат, то его диагонали равны и перпендикулярны). Высказывание истинно.

Для того, чтобы диагонали четырехугольника были равны и перпендикулярны, достаточно, но не необходимо, чтобы четырехугольник был квадратом.

Ответ: B является достаточным условием для A.

г) А → В (Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°). Высказывание истинно;

В → А (Если сумма противоположных углов четырехугольника равно 180°, то вокруг этого четырехугольника можно описать окружность.). Высказывание истинно.

Для того, чтобы вокруг четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма противоположных углов четырехугольника была равна 180°

Ответ: B является необходимым и достаточным условием для A.

Задача 3.Предложения «В прямоугольнике F диагонали взаимно - пер-пендикулярны» и «ПрямоугольникF - квадрат» равносильны, т. к являются необходимыми и достаточными условиями друг для друга. Утверждение о равносильности сформулируйте тремя различными способами [20].

Решение. Сформулируем утверждение о равносильности тремя различными способами:

В прямоугольнике диагонали взаимно – перпендикулярны тогда и только тогда, когда прямоугольник – квадрат

Для того чтобы в прямоугольнике диагонали были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы прямоугольник был квадратом.

Для того, чтобы прямоугольник был квадратом, необходимо и достаточно, чтобы в данном прямоугольнике диагонали были взаимно -перпендикулярны.

Продемонстрируем задачу на нахождение необходимых и достаточных условий в признаках. Тем самым, подтвердим или опровергнет теорию о том, что необходимое условие свойство, а достаточное признак.

Задача 4. Сформулируйте признаки параллелограмма в виде импликаций. Какие из этих достаточных условий являются в то же время необходимыми [20]?

Решение.Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Выделим в теореме условие и заключение:

A (Q) ≡ {Две стороны четырехугольника Q равны и параллельны},

B (Q) ≡ {Четырехугольник Q параллелограмм}.

Составим прямую теорему из данных предложений докажем ее истинность или ложность:

A → В

(Если две стороны четырехугольника Q равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.). Теорема ложна, т. к четырехугольником, у которого две стороны равны и параллельны является и квадрат.

Составим обратную теорему и докажем ее истинность или ложность:

B → А

(Если четырехугольник Q является параллелограммом, то две его стороны равны и параллельны.).

Теорема верна, т. к. параллелограмм это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB = CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD (рис. 2).

Рис. 2

Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD общая сторона, AB = CD по условию, ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно ∠3 = ∠4.

А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: для того, чтобы в четырехугольнике две стороны были равны и параллельны, достаточно, чтобы этот четырехугольник являлся параллелограммом.

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Выделим в теореме условие и заключение:

A (M) ≡ {Диагонали четырехугольника М пересекаются и точкой пересечения делятся пополам},

B (M) ≡ {Четырехугольник М параллелограмм}.

Составим прямую теорему из данных предложений докажем ее истинность или ложность:

A → В

(Если диагонали четырехугольника М пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.). Теорема ложна, четырехугольником, у которого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам может быть не только параллелограмм, но и квадрат, ромб.

Составим обратную теорему из данных предложений докажем ее истинность или ложность:

B → А

(Если четырехугольник М является параллелограммом, то его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам). Теорема верна.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем две диагонали AC и BD, которые будут пересекаться в точке О и делятся этой точкой пополам (рис. 3).

Рис. 3

Треугольники AOB и COD будут равны между собой, по признаку равенства треугольников (AO = OC, BO = OD по условию, угол AOB = ∠COD как вертикальные углы.).

Следовательно, AB = CD и ∠1 = ∠2. Из равенства ∠1 и ∠2 имеем, что AB параллельна CD. Тогда имеем, что в четырехугольнике ABCD стороны AB равны CD и параллельны, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом. 

Ответ: для того, чтобы в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делились пополам, достаточно, чтобы этот четырехугольник являлся параллелограммом.

Признак 3. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник будет параллелограммом. 

Выделим в теореме условие и заключение:

A (S) ≡ {Противоположные стороны четырехугольникаS попарно равны};

B (S) ≡ {Четырехугольник S параллелограмм}.

Составим прямую теорему из данных предложений докажем ее истинность или ложность:

A → В

(Если противоположные стороны четырехугольника Sпопарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм.). Теорема ложна, четырехугольником, у которого попарно равны может быть не только параллелограмм, но и квадрат, ромб, правильная трапеция.

Составим обратную теорему из данных предложений докажем ее истинность или ложность:

B → А

(Если четырехугольник Sявляется параллелограммом, то его противоположные стороны попарно равны). Теорема верна.

Доказательство.Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD (рис. 4).

Рис. 4

Эти два треугольника буду равны между собой по трем сторонам (BD общая сторона, AB = CD и BC = AD по условию). Из этого можно сделать вывод, что ∠1 = ∠2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. А так как AB = CD и AB параллельна CD, то по первому признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.

Ответ: для того чтобы противоположные стороны четырехугольника были попарно равны, достаточно, чтобы этот четырехугольник был параллелограммом.

Следствие 1. Для данной задачи нами не было выявлено одновременно достаточных и необходимых условий в признаках параллелограмма, т.к достаточные условия есть признаки, а необходимые - свойства. Подтверждая справедливость этих слов, можно сослаться на теорию числовых рядов. Во всех классических учебниках достаточные условия сходимости ряда названы признаками, в то время как необходимое условие сходимости ряда довольно редко называется признаком.

Рассмотрим второй тип задачи, когда для определения понятия геометрической фигуры необходимо выдвинуть предположения о его необходимых и достаточный свойствах.

Задача 5. Определите понятие квадрата. В этом случае основным вопросом является следующий: что такое квадрат? Чтобы ответить на него, последовательно выдвинете и проверьте следующие предположения (условия) о его необходимых и достаточных свойствах.

Решение. Выдвинем первое предположение. Квадрат - это плоская четырехугольная геометрическая фигура.

Проверка необходимости. Спрашиваем: существует ли хотя бы один квадрат, не являющийся плоской четырехугольной геометрической фигурой? Ответ явно отрицательный. Значит рассматриваемый признак необходим.

Проверка достаточности. Спрашиваем: всякая ли плоская четырехугольная геометрическая фигура - квадрат. Ответ очевидно отрицательный (например, трапеция - плоская геометрическая четырехугольная фигура, но не квадрат). Значит, хотя свойство "быть плоской четырехугольной фигурой" необходимо, но оно еще не достаточно для обозначения квадратов и только этих фигур. Недостаточность первого предположения вызывает потребность открытия по крайней мере еще одного необходимого признака.

Второе предположение.Квадрат - это плоская четырехугольная геометрическая фигура, имеющая равные стороны.

Проверка необходимость. Спрашиваем: существует ли хотя бы один квадрат, не являющийся плоской четырехугольной геометрической фигурой с равными сторонами? Ответ отрицательный. Значит, оба рассматриваемых признака необходимы.

Проверка достаточности. Спрашиваем: всякая ли плоская четырехугольная геометрическая фигура с равными сторонами - квадрат? Ответ отрицательный (например, ромб - плоская четырехугольная геометрическая фигура с равными сторонами, но не квадрат). Значит, хотя оба свойства "быть плоской четырехугольной фигурой" и " иметь равные стороны" и необходимы, но они еще не достаточны для обозначения квадратов и только этих фигур. Недостаточность второго предположения вынуждает искать дополнительный необходимый признак и следовательно выдвигать новое предположение.

Третье предположение. Квадрат - это плоская четырехугольная геометрическая фигура, имеющая равные стороны и углы.

Проверка необходимости. Спрашиваем: существует ли хотя бы один квадрат, не являющийся плоской четырехугольной геометрической фигурой с равными сторонами и углами? Ответ отрицательный. Значит, все рассматриваемые признаки необходимы.

Проверка достаточности. Спрашиваем: всякая ли плоская четырехугольная геометрическая фигура с равными сторонами углами - квадрат? Ответ утвердительный. Значит, свойство "быть плоской четырехугольной фигурой", "иметь равные стороны" и "равные углы" вместе достаточно для обозначения квадратов и только этих фигур. В итоге мы достигли знания, называемого понятием квадрата, т.е знания, выражающего сущность этой вещи: Квадрат - плоская четырехугольная геометрическая фигура с равными сторонами и углами.

Рассмотрим геометрическую задачу, требующую доказательства истинности как прямой теоремы, так и обратной.

Задача 6. Чтобы параллелограмм был ромбом (В), необходимо и достаточно, чтобы диагонали его были взаимно перпендикулярны (А) [9].

Решение. При решении геометрической задачи для наглядности и ускорения работы некоторые данные и следствия из них не записываем, но отмечаем на чертеже.

I. Достаточность.

1. А → В (Если диагонали параллелограмм взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.).

2. ((AC) ⊥ (BK)) → (∠BOC = ∠СOK) (рис. 5).

(ABCK - параллелограмм) → (BO = OK)

(ΔВOC = ΔCOK (по двум катетам)) → (ВС = СК).

Рис. 5

Следовательно, параллелограмм ABCK является ромбом.

3. A⎼ достаточное условие для В.

I I . Необходимость.

1. В → А. (Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны.)

2. Эта теорема ранее доказана. Высказывание истинно.

3. А ⎼ необходимое для В.

Ответ: А является достаточным и необходимым условием для В. Исходя из этого следует, что В необходимое и достаточное условие для А.

2.3. Необходимые и достаточные условия в свойствах многоугольника

Данный параграф посвящен многоугольникам. Задача заключается в нахождении необходимых или достаточных или необходимых и достаточных условий.

Рассмотрим задачу первого типа, где требуется выяснить, какие условия пропущены.

Задача 7. Вместо точек в нижеследующих предложениях поставить одно из выражений «необходимо, но недостаточно», «достаточно, но не необходимо», «необходимо и достаточно» так, чтобы получилось истинное высказывание [22]:

а) Правильность многоугольника ..., для того чтобы около него можно было описать окружность.

б) Равенство суммы противоположных углов четырехугольника 180° ..., для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность.

Решение. Составим обратную и ей противоположную теоремы, докажем их истинность или ложность.

а) A → B (Если многоугольник правильный, то около него можно описать окружность). Теорема ложна, т.к окружность можно описать не только около правильного многоугольника, но и неправильного.

B → A (Если около многоугольника можно описать окружность, то данный многоугольник – правильный). Теорема истинна

Ответ: правильность многоугольника достаточна, но не необходима, для того чтобы около него можно было описать окружность.

б) A → B (Если сумма противоположных углов четырехугольника 180°, то около данного четырехугольника можно описать окружность). Теорема истинна.

B → A (Если около четырехугольника можно описать описать окружность, то сумма противоположных углов данного четырехугольника равняется 180°). Теорема истинна.

Ответ: равенство суммы противоположных углов четырехугольника 180° необходимо и достаточно, для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность.

Таким образом, нами была представлена задача о нахождении необходимых и достаточных условий в свойствах многоугольника. Также, примеры с подробным решением предложены нами в первой главе в параграфе «Необходимо и достаточно».

2.4. Необходимость и достаточность в комбинированных задачах

В предыдущих параграфах мы рассматривали необходимые и достаточные условия в свойствах определенных геометрических фигур. Данный параграф посвящен задачам на комбинации фигур, и конечно же, нахождение необходимых и достаточных условий.

Рассмотрим задачу, которая относится к третьему типу: доказательства теорем, включающих необходимость и достаточность по условию.

Задача 8. Каким необходимым и достаточным условиям должна удовлетворять трапеция, чтобы в нее можно было вписать, и около нее можно было описать окружность [12]?

Решение. Докажем, что условиям задачи удовлетворяет равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной полусумме ее осно- ваний (рис. 6).

Рис. 6

I . Необходимость.

A → B (Если в трапецию можно вписать, и около нее можно описать окружность, то трапеция является равнобедренной, с боковой стороной, равной полусумме ее оснований).

Пусть для трапеции с боковыми сторонами AB и CD существуют вписанная и описанная окружности. Тогда ∠А + ∠C = 180°, но и для всякой трапеции верно, что и ∠A + ∠В = 180°, поэтому ∠С = ∠В, т. е. трапеция равнобедренная.

Из этого следует, что трапеция ABCD– равнобокая, т. е. AB = CD.

ЕслиAB + CD = BC+ AD , значит AB = CD = .

I I. Достаточность.

B → A (Если трапеция равнобедренная, с боковой стороной, равной полусумме ее оснований, то около нее можно вписать, и около нее можно описать окружность).

Если ABCD– равнобедренная трапеция и AB = CD = , то ∠С = ∠В, ∠A + ∠В = 180°, т. е. ∠А + ∠C = 180° и трапеция вписана.

Кроме того,

2AB = BC + AD

или

AB + CD = BC + AD

и, следовательно, трапеция описана, что и требовалось доказать.

Ответ: для того, чтобы в трапецию можно было вписать, и около нее описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы трапеция была равнобедренной с боковой стороной, равной полусумме ее оснований.

Таким образом, в практической части работы, мы продемонстрировали решения задач на необходимые и достаточные условия в свойствах плоских геометрических фигур. Для того, чтобы научиться решать задачи на нахождение, доказательства необходимых и достаточных условий, необходимо владеть знаниями по элементам математической логики, чем собственно мы и воспользовались при решении задач.

Заключение

Целью нашей курсовой работы являлась систематизация сведения о необходимых и достаточных условиях и применения их к решению типовых задач.

В данной работе изложены вопросы поиска необходимых и достаточных условий в свойствах геометрических фигур.

В процессе исследования нами были выполнены задачи:

1. изучить теоретические сведения о необходимых и достаточных условиях;

2. рассмотреть решения задач на нахождение необходимых и достаточных условий в свойствах геометрических фигур.

Была разработана типология задач.

Мы выявили, что теоремы и необходимые и достаточные условия тесно взаимосвязаны между собой.

Под теоремой в математике понимается утверждение, требующее доказательства. Между тем наряду с термином «теорема» широко используется ряд родственных понятий, которые, по большему счету, нужно называть теоремами. Приведем их более или менее полный перечень: утверждение; лемма; свойства; признак; критерий.

Таким образом, в процессе работы, мы стремились получить как можно более «узкие» необходимые условия и как можно более «широкие» достаточные. В идеале, конечно же, хотелось бы иметь условие одновременно являющееся и необходимым, и достаточным.

Аристотель говорил: «Необходимое и достаточное условие нельзя не только исключить, но и ослабить, усилить или модифицировать каким- то иным способом без образования противоречия в существовании рассматриваемого свойства. Необходимо то, что иначе быть не может».

Список литературы

Александрова Н.В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник [Текст]/Н. В. Александрова Изд. 3-е, испр. – М.: Изд-во ЛКИ, 2008.- 248 с.

Анисимов А.М. Современная логика [Текст] /А. М. Анисимов. М.: ИФ РАН, 2002. - 273 с.

Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб. для 7 - 9 кл. [Текст] / Л. С. Атанасян. М.: Просвещение, 1999. - 384 с.

Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике [Текст] / В. Г. Болтянский., Ю. В. Сидоров., М. И. Шабунин. М. Изд. Наука, 1974. - 592 с.

Бочаров В.А., Маркин В.И. Введение в логику. [Текст] / В. А. Бочаров., В. И. Маркин. М.: Форум, Инфра-М, 2008. — 560 с

Бродский И.Н. Элементарное введение в символическую логику. [Текст] / И. Н. Бродский. С.: Издательство Ленинградского университета, 1972. - 63 с.

Ваховский Е.Б, Рывкин А.А. Задачи по элементарной математике. [Текст] / Е. Б. Ваховский., А. А. Рывкин. М.1969. - 495 с.

Голубев В. И. Решение сложных и нестандартных задач по математике [Текст] / В. И. Голубев. – М.: ИЛЕКСА, 2007. – 252 с.

Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем: Пособие для учителей [Текст] / Я. И. Груденов. - М.: Просвещение, 1981. - 95 с.

Дубнов Я.С. Ошибки в геометрических доказательствах [Текст] / Я. С. Дубнов. М.: Физматгиз, 1961. - 68 с.

Дыбов П.Т., Осколков В.А. Задачи по математике с указаниями и решениями [Текст] / П. Т. Дыбов., В. А. Осколков. 2006 год. 464 стр.

Зеленяк О.П. Решение задач по планиметрии. Технология алгоритмического подхода на основе задачтеорем. Моделирование в среде Turbo Pascal / О. П. Зеленяк. — Киев, Москва: ДиаСофтЮП, ДМК Пресс, 2008. - 336 с.

Зубков В.А. Необходимые и достаточные условия в курсе математики средней школы. [Текст] / В. А. Зубков. М. Просвещение, 1979

Картавов С.А. Математические термины: справ.-библиогр. словарь [Текст] /сост. Картавов С.А. - К.: Выща шк. головное изд-во, 1988. – 295 с.

Крельштейн Б.И. Необходимые и достаточные условия в математике [Текст] / Б. И. Крельштейн М.: Изд. «Учпенгиз», 1961. - 64 с.

Кузина Е.Б. Практическая логика. Упражнения и задачи с объяснением способов решения [Текст] / Е. Б. Кузина. М.: Триада, Лтд, 1996. – 160 с.

Лихтарников Л.М. Первое знакомство с математической логикой [Текст] / Л. М. Лихтарников. СПб.; Изд. «Лань», 1997 - 112 с..

Новиков П.С. Элементы математической логики [Текст] / П. С. Новиков М.: Изд. «Наука», 1973. - 385 с.

Прасолов В.В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие [Текст] / В. В. Прасолов – М.: МЦНМО: ОАО Московские учебники, 2006. - 632 с.

Стойлова Л.П. Математика: учебник для студ. учреждений высш. проф. образования[Текст] / Л. П. Стойлова. М.: Издательский центр «Академия», 2013. - 464 с.

Столл Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. — Просвещение, 1968. - 232 с

Столяр А.А. Как математика ум в порядок приводит [Текст] / А. А. Столяр. Минск: Изд. «Вышейшая школа», 1991. - 209 с.

Шенфилд Дж. Математическая логика [Текст] / Дж. Шенфилд.  М.: Наука, 1975.  400 с.

Код для цитирования: Скопировать